451分组分解法-四川省成都南开为明学校八年级数学下册课件(共21张PPT)
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12.5.4因式分解(分组分解法,十字相乘法分解因式)知识要点:1、分组分解法:适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式,又不能直接利用公式分解。
但是如果前两项和后两项分别结合,把多项式分成两组,再提公因式,即可达到分解因式的目的。
例1分解因式:a2-b2+a-b =(a2-b2)+ (a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原则:分组后可直接提取公因式或直接利用公式,但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时,分组方法不唯一。
无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。
练习:把下列多项式分解因式⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc2、十字相乘法二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中若能把常数项q分解成两个因式a,b 的积,且a+b等于一次项系数中的p,则就可以分解成x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解注意:此公式的三个条件要理解·二次项系数是1·常数项是两个数之积。
·一次项系数是常数项的两个因数之和。
㈡对于x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)例如 x2+3x+2因式分解解:∵2=1×2且3=1+2∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)此方法称为十字相乘法十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:★常数项是正数时,它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数符号相同。
★常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
分组分解法学习目标:掌握分组分解法分解因式,能用分组分解法使分组后可以直接运用提取公因式法把多项式因式分解。
学习重点:熟练掌握把四项式二二分组,使整理后的两组之间可提取公因式进行因式分解 学习难点:掌握分组法的原则,并能合理地选择分组方法。
学习过程:1. 引入:先把下列各式分解因式,然后指出各式的公因式:⑴an am +与bn bm +⑵ab a -2与bc ac -解:⑴ ∵ )(n m a an am +=+;)(n m b bn bm +=+∴ an am +与bn bm +的公因式是)(n m +⑵ ∵ )(2b a a ab a -=-;)(b a c bc ac -=-∴ ab a -2与bc ac -的公因式是)(b a -2. 通过以上的练习,我们可以发现,如果要将由an am +与bn bm +组成的四项式bn bm an am +++进行因式分解,可将这个四项式分成an am +和bn bm +两组分别进行因式分解,让两组之间有公因式)(n m +,再通过提取两组间的公因式达到因式分解的目的。
即: bn bm an am +++)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++=))((b a n m ++=这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如果对四项式或四项以上的多项式因式分解,一般就是运用分组分解法来因式分解。
例1:把bc ac ab a -+-2分解因式。
分析:通过引例,我们可知道,把这个四项式按前两项与后两项分成两组,分别提取公因式a 与c 后,另一个因式)(b a -正好是两组的公因式,这样就可继续提公因式来进行因式分解。
因此,我们在利用分组分解时,在分组时要预先观察和想到分组后两组各有的公因式,而且两组之间还能继续提取公因式。
分组不是最后的目的,而是通过分组后把问题转化到可以通过提取两组间的公因式分解因式,这样选择分组方法是分组分解法的关键。
八年级数学教学设计:分组分解法教学目的1.使先生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式;2.经过因式分解的综合题的教学,提高先生综合运用知识的才干.教学重点和难点重点:在分组分解法中,提公因式法和分式法的综合运用. 难点:灵敏运用已学过的因式分解的各种方法.教学进程设计一、温习把以下各式分解因式,并说明运用了分组分解法中的什么方法.(1)a2-ab+3b-3a;(2)x2-6xy+9y2-1;(3)am-an-m2+n2;(4)2ab-a2-b2+c2.解 (1) a2-ab+3b-3a=(a2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)=(a-b)(a-3);(2)x2-6xy+9y2-1=(x-3y) 2-1=(x-3y+1)(x-3y-1);(3)am-an-m2+n2=(am-an)-(m2-n2)=a(m-n)-(m+n)(m-n)=(m-n)(a-m-n);(4)2ab-a2-b2+c2=c2-(a2+b2-2ab)=c2-(a-b) 2=(c+a-b)(c-a+b).第(1)题分组后,两组各提取公因式,两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组,应用完全平方公式分解因式,再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组,提取公因式,后两项分为一组,用平方差公式分解因式,然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组,提出一个〝-〞号,应用完全平方公式分解因式,第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式停止因式分解时,先依据所给的多项式的特点恰当分解,再运用提公因式或分式法停止因式分解.在添括号时,要留意符号的变化.这节课我们就来讨论运用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例1 把分解因式.问:依据这个多项式的特点怎样分组才干到达因式分解的目的?答:这个多项式共有四项,可以把其中的两项分为一组,所以有两种分解因式的方法.解方法一方法二例2 把分解因式.问:观察这个多项式有什么特点?能否可以直接运用分组法停止因式分解?答:这个多项式的各项都有公式因ab,可以先提取这个公因式,再设法运用分组法继续分解因式.解:例3 把45m2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.剖析:这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按:一、三〞分组原那么停止分组,然后运用公式法分解因式.解45m2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9m2-4x2+4xy-y2)=5a[9m2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3m2)-(2x-y) 2]=5a(3m+2x-y)(3m-2x+y).例4 把2(a2-3mn)+a(4m-3n)分解因式.剖析:假设去掉多项式的括号,再恰当分组,就可用分组分解法分解因式了.解 2(a2-3mn)+a(4m-3n)=2a2-6mn+4am-3an=(2a2-3an)+(4am-6mn)=a(2a-3n)+2m(2a-3n)=(2a-3n)(a+2m).指出:假设给出的多项式中有因式乘积,这时可先停止乘法运算,把变形后的多项式依照分组原那么,用分组分解法分解因式.三、课堂练习把以下各式分解因式:(1)a2+2ab+b2-ac-bc;(2)a2-2ab+b2-m2-2mn-n2;(3)4a2+4a-4a2b+b+1;(4)ax2+16ay2-a-8axy;(5)a(a2-a-1)+1; (6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2);答案:(1)(a+b)(a+b-c);(2)(a-b+m+m)(a-b-m-n);(3)(2a+1)(2a+1-2ab+b); (4)a(x-4y+1)(x-4y-1);(5)(a-1) 2 (a+1); (6)(bm+an)(am+bn).四、小结1.把一个多项式因式分解时,假设多项式的各项有公因式,就先提出公因式,把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的方式.假设另一个因式是四项(或四项以上)的多项式,再思索用分组分解法因式分解.2.假设多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例3),先去掉括号,把多项式变形后,再重新分组.五、作业1.把以下各式分解因式:(1)x3y-xy3; (2)a4b-ab4;(3)4x2-y2+2x-y; (4)a4+a3+a+1;(5)x4y+2x3y2-x2y-2xy2; (6)x3-8y3-x2-2xy-4y2;(7)x2+x-(y2+y); (8)ab(x2-y2)+xy(a2-b2).2.x-2y=-2b=-4098,求2bx2-8bxy+8by2-8b的值.答案:1.(1)xy(x+y)(x-y); (2)ab(a-b)(a2+ab+b2);(3)(2x-y)(2x+y+1);(4)(a+1) 2 (a2-a+1);(5)xy(x+2y)(x+1)(x-1); (6)(x2+2xy+4y2)(x-2y-1); (7)(x-y)(x+y+1); (8)(ax-by)(bx+ay).2.原式=2b(x-2y+2)(x-2y-2)当x-2y=-2,b=-4098时,原式的值=0.课堂教学设计说明1.突出〝通法〞的作用.关于含四项的多项式,可以依据所给的多项式的特点,常采取〝二、二〞分组或〝一、三〞分组的方法停止因式分解,这是运用分组法把多项式分解因式的通法,是带有规律性和顺序性的解题思绪,先生应实在掌握.布置例1的目的是:引导先生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式,促使先生能举一反三,举一反三.2.增强各种方法的纵横联络.把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体,停止纵横联络,综合运用,调查先生掌握因式分解的方法和技艺的状况是这节课教学设计的目的.经过讨论例3,引导先生综合运用三种方法把多项式分解因式,以开发先生解题思绪的变通性和灵性活,关于启迪先生的思想和开阔先生的视野起到重要作用.3.打通相反的思想进程.因式分解与整式乘法是相反的变形,也是相反的思想进程,先生在学习多项式的因式分解时,也应当适当联络整式的乘法.布置例4,目的是引导先生看法到,在把多项式因式分解时,假设给出的多项式出现了有因式乘积的项,但又不能提取公因式,这时就需求停止乘法运算,把变形后的多项式重新分组,再分解因式,从而启示先生在学习数学时,应擅长对数学知识和方法融汇贯串习气于正向和逆向思想.探求活动系数为1的型的二次三项式同窗们曾经会分解因式了,那么二次项系数不是1的二次三项式怎样分解呢?如:1. ;2. .有兴味的同窗可以模拟型式子的因式分解试着把下面两式分解因式,你能总结出规律吗?答案:1. ;2. .规律:二次项系数不是1的二次三项式分解因式时,假定满足以下条件,那么可将其分解为:可分解为,即可分解为,即,,,满足,即按斜线十字交叉相乘的积之和假定与一次项系数相等,那么可分解因式,第一个因式由第一行的两个数组成第二个因式由第二行的两个数组成分解结果为:。