2011年高考一轮数学复习 7-3简单线性规划及实际应用 理 同步练习(名师解析)

第七章不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书理新人教版1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．【知识拓展】1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3) 答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.4．(教材改编)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．答案 0解析 画出可行域为阴影部分．z ＝－3x ＋y ，即y ＝3x ＋z 过交点A 时，z 最小．解⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2＝0，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴z min ＝－3×1＋3＝0.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 xy资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23 C.43D.34答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·某某)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是______________________________． 答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝m ＋123＝43， ∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1 C.32D ．2 (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)B (2)A解析 (1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 32解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时z 取得最大值32. 命题点2 求非线性目标函数的最值例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值X 围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值X 围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的X 围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值X 围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值X 围是[1,5]． 引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值X 围． 解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率． ∴z 的取值X 围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝(|1－1＋1|12＋－12)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值X 围例5 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 (1)5 (2)12解析 (1)显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域， 其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a x －3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值X 围是________．答案 (1)C (2)[1，32]解析 (1)对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图①，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图②，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时，可行域如图③，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图④，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值X 围是[1，32]．题型三 线性规划的实际应用问题例6 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A 型或B 型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型和B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A 型和B 型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解 设生产A 型电视机x 台，B 型电视机y 台， 则根据已知条件知线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，4x ＋2y ≤120，x≥5，y ≥10，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，2x ＋y ≤60，x ≥5，y ≥10，x ，y ∈N .线性目标函数为z ＝6x ＋4y .根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，当直线l 0平移至点A 时，z 取最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝100，2x ＋y ＝60，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝20.所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大．8．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k x －1－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值X 围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y ＝2x ，当k <－1或0<k <2或k >2时，不等式组表示一个三角形区域．(2)由不等式组表示的可行域，可知z ＝ax ＋y 在点A (1,1)处取到最大值4， ∴a ＋1＝4，∴a ＝3.答案 (1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) (2)3 现场纠错解析 (1)直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)．z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ，因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号．1．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值X 围是( ) A ．m ≥1 B ．m ≤1 C．m <1 D ．m >1 答案 D解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.2．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y ＝log 2x 的图象过点(2,1)时，实数m 有最大值1.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值X 围是0＜a ≤1或a ≥43.5．(2016·某某)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 答案 B解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值， 可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8.7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4， 即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.8．(2017·枣庄月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1. 故选D.*9.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3,2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3)答案 C解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3>0，f 1>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C.10．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________． 答案 12或14解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值X 围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．(2016·某某中学、某某一中联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值X 围是________． 答案 [3,11] 解析 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋1x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1， 设z ′＝y ＋1z ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．*13.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．14.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值X 围． 解 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0. 原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值X 围是(－18,14)．15．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y轴上的截距z2 400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。

2014届高考数学一轮复习 7.3 简单的线性规划随堂检测 理（含解析）人教版 1．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是f(a)，那么y＝f(a)的图象可能是( ) 解析：选A.由，得交点坐标(0,2)，此点到直线x＝a(a[0,2])的距离为a，所构成的三角形的面积f(a)＝·a·2a＝a2(a[0,2])，故选A. 2．已知实数x，y满足，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为( ) A．a≥1 B．a≤－1 C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1 解析：选C.作出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示， 则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值． 又kBC＝－1，kAB＝1， －1≤－a≤1，即－1≤a≤1. 3．设实数x，y满足约束条件，则z＝的取值范围为( ) A．(－∞，－1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1][3，＋∞) D．(－∞，－3][1，＋∞) 解析：选C.不等式组 表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线x＝2上的点)． z＝＝＝1＋，表示可行域内的点(x，y)与点(2，－1)连线的斜率，结合图形可知≥2或≤－2，则z≥3或z≤－1，故z＝的取值范围为(－∞，－1][3，＋∞)． 4．(2013·南宁模拟)已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示． x－204f(x)1－11 若两正数a，b满足f(2a＋b)0，且f(2a＋b)<1， f(2a＋b)<f(4)，0<2a＋b<4. 作出的可行域如图所示， 求的取值范围就是求点P(－3，－3)与可行域内点的斜率的取值范围． kPA＝，kPB＝，<<. 答案：(，)。

第十二页，共44页。
点 拨： 关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确 定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定 域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点 O(0，0)为特殊点．
第十三页，共44页。
________．
x＋y－2≥0， 不 等 式 组x＋2y－4≤0，表 示 的 平 面区 域 的 面 积 为
若不等式组所表示的平面区域内的面积等于 2，则它是三角形，设 该三角形为△ABC，因为△ABC 的点 A 和 B 的坐标分别为 A(0，1)和 B(1， 0)，且 S△ABC＝2，设点 C 的坐标为 C(1，y)，则12×1×y＝2⇒y＝4，将点 C(1，4)代入 ax－y＋1＝0 得 a＝3.故选 D.
第二十八页，共44页。
点 拨： 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开 放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意 义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是 点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围. 即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数 的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如 z＝ax＋by.求这 类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－abx＋bz，通过求直线的截距的最值间接求出 z 的最值；(2) 距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 ；(3)斜率型：形如 z＝yx－ －ba， 本题属于距离形式．
(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点 (4，－ 6)在直线 3x－2y－a＝0 的两侧，则 a 的取值范围为 ()
A．(－24，7) B．(－7，24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解：根据题意知(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，即(a＋ 7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.故选 B.

7.3 简单的线性规划考试要求：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能将加以解决.基础知识1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线A x+B y+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.当B＞0时，①A x0+B y0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②A x0+B y0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式A x+B y+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B＞0时，①A x+B y+C＞0表示直线A x+B y+C=0上方的区域；②A x+B y+C＜0表示直线A x+B y+C=0下方的区域.2.线性规划：性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为（）问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做（），由所有可行解组成的集合叫做（）（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做（）.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.3.规律与方法(1)如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是那个顶点为最优解,有两种解定方法:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是;另一种方法是利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边平行时,其最优解可能有无组解.(2)求整点的最优解方法：①调整优值法,适用于较复杂的问题.②网格法,精确作图,适用于可行域较小的问题.③逐点验证法,可行区域是有限区域且整点个数又较少基础练习1.设x、y满足约束条件x≥0，x≥y，2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.2x－y+1≥0，x－2y－1≤0，2.不等式组表示的平面区域为x+y≤1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域3.点（－2，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是________________.4.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有______个.典例精讲例：求不等式|x －1|+|y －1|≤2表示的平面区域的面积.若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？随堂练习 x －4y+3≤0， 3x+5y －25≤0， x ≥1， 2.给出平面区域如图所示,目标函数t ax y =-, 若当且仅当24,35x y ==时,目标函数t ax y =-取 得最小值,则实数a 的取值范围是3.已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围4实系数方程f （x ）=x 2+a x+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域；（3）a +b －3的值域.1.变量x 、y 满足条件 设z =x y ，则z 的最小值为_______，最大值为。