高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课件9 北师大版选修2-1

x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2

结论：已知F1，F2分别是双曲线C：

知新探究
利用信息技术作图.如图，F是定点，是不经
过点的定直线，是直线上任意一点，我们先
连接，再作的垂直平分线，过作定直
线的垂线，交直线于点.你能发现点满足
的几何条件吗？拖动点，观察点的轨迹，它
的轨迹是什么形状呢？你是否接触过类似的图
形呢？
可以发现,在点M随着点H运动的过程中，始终有ǀMFǀ=ǀMHǀ,即点M与定点F的
并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
3.数学抽象素养和数学运算素
养.
知新引入
通过前面的学习可以发现点M到定点F的
距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比
为k，当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当
k>1时，点M的轨迹为双曲线；当k=1时，即
动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离
相等时，点M的轨迹会是什么形状？
∴4＝－2p×(－3)或9＝2p×2.
∴ =
2
或
3
=
9
．
4
4
3
9
2
∴所求抛物线方程为 2 = − 或 2 = .
初试身手
1.⑴已知抛物线的方程是y=-2x2，求它的焦点坐标和准线方程;
1
2
⑵已知抛物线的准线为y=- ,求它的标准方程;
解： ⑴因为y=-2x2可化为x2 =-1y，抛物线焦点在y轴负半轴上，所以焦点
2
2
向向右.
p的几何意义是焦点到准线的距离(焦准距).
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的
标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表.
新知探究
图形
标准方程
y2=2px(p＞0)

l
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2

2
− 2

的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2

2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为

< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+

= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.

2
探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例3】 已知动点M(x,y)满足5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是
(
)
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
答案 D
2
解析 方程 5 (-1) +
2
(-1) +
2 表示点
2 =|3x-4y+2|可化为
2
(-1) +
规律方法 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以
及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后
结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练2
一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是
.
答案 y2=8
解析 设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和
离之和最小,最小值为|AF|= √5 .
图①
(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物
线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
图②
规律方法 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有
面宽为 2√6 米.
本节要点归纳
2
1
p=6;
若抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0),则由(-3) =-2p×(-1),解得