高考数学总复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件理新人教A版

3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f'(x0) 的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线 经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有 多条.
考点1
考点2
-15-
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ������l1n������(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ������
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ ������ →0
������ ������

＝－1nx－n2 －1＝－1nx－n+n1 ，
∴f ′(1)＝－1n，
由 f ′(1)＝－13得－1n＝－13，得 n＝3.
3.利用导数公式求切线方程
例题 1 求过曲线 y＝cosx 上点 Pπ3，12且与在这点的切线垂直 的直线方程．
[解析] ∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，
曲线在点 Pπ3，12处的切线斜率是
[解析] (1)∵a 为常数，∴a2 为常数， ∴y′＝(a2)′＝0. (2)y′＝(x12)′＝12x11. (3)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45. (4)y′＝(lgx)′＝xln110.
规律总结
1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利 用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
牛刀小试
• 2．函数f(x)＝0的导数是( )
• A．0
B．1
• C．不存在
D．不确定
• [答案] A
• [解析] 常数函数的导数为0.
3．已知函数 f(x)＝1x，则 f ′(－2)＝( )
A．4
B．14
C．－4
D．－14
• [答案] D
[解析] ∵f ′(x)＝1x′＝－x12， ∴f ′(－2)＝－x12|x＝－2＝－14.
∴函数 f(x)在 x＝1 处的导数为－12.
规律方法
• 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： • (1)先求函数的导函数； • (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
跟踪训练
已知
f(x)＝ 1 ，且 nx
f
′(1)＝－13，求
n.
[解析] f ′(x)＝n1x′＝(x－1Байду номын сангаас )′

A．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1

y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1

[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，

cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x

故 e＝f′(x0)．
故 a＝d＝e.故选 B.
【警示】fx0＋ΔΔxx－fx0中的 x0 是常数，Δx 是可趋 近于 0 的变量，其形式可以变化，如变成－Δx,2Δx 等，要 正确表示出相应的导数，应保持分子和分母同步变化．
1．函数 y＝f(x)在某一点 x＝x0 处的导数就是函数 y＝f(x)
3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是
米，t的单位是秒，那么物体在t＝3秒时的瞬时速度是( )
A．7米/秒
B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒
【答案】C
4．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.
【答案】1
求瞬时速度
【例1】 一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆汽 车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．
对导数定义式的理解易错
【示例】 已知 a＝Δlxi→m 0 fx0＋ΔΔxx－fx0，
b＝Δlxi→m 0 fx0－ΔΔxx－fx0，c＝Δlxi→m 0 fx0＋2ΔΔxx－fx0，
d＝Δlxi→m 0 fx0＋Δx2－Δxfx0－Δx，e＝Δlxi→m 0 fxx－－fx0x0，
则 b，c，d，e 中与 a 相等的是( )
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【答案】A 【解析】当 f(x)＝b 时，瞬时变化率 liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 bΔ－xb＝0，∴f(x)的图象为一条直线．
3．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，
如果第
x
小 时 时 ， 原 油 温 度 ( 单 位 ： ℃) 为
f(x)
＝
1 3
刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均