导数的概念与运算知识点及题型归纳总结

导数的基础知识一．导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()limx yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx -=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -== ③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x x e e = ⑥()'ln (0,1)x xa a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x = 3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（）三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。

高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义：设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。

f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3．基本常见函数的导数:n①C '=0;（C 为常数）②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。

导数的知识点和典型例题一、导数的定义和概念导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数的定义如下：设函数y=f(x)，若极限lim（x→x0）[f(x)-f(x0)]/[x-x0]存在，则称此极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim（x→x0）[f(x)-f(x0)]/[x-x0]其中，x0为自变量的一个取值。

二、导数的求法1. 利用定义式直接求解。

2. 利用基本求导公式，例如：（1）常数函数y=C（C为常数），则y'=0；（2）幂函数y=x^n，则y'=nx^(n-1)；（3）指数函数y=a^x，则y'=a^xlna；（4）对数函数y=loga x，则y'=1/xlna；（5）三角函数和反三角函数等。

三、导数的性质1. 导数存在的充分必要条件是原函数在该点处可导。

2. 导数具有可加性、可减性、可乘性和常系数倍性。

3. 导数具有介值定理和零点定理。

四、典型例题1. 求解以下函数在给定点处的导数：(1) y=x^3+2x^2-3x+5，x=1；(2) y=sin x+cos x，x=π/4。

2. 求解以下函数在给定区间的导数：(1) y=x^3+2x^2-3x+5，[0,1]；(2) y=sin x+cos x，[0,π/4]。

3. 求解以下函数的导数：(1) y=e^(ax)，其中a为常数；(2) y=loga x，其中a为常数且a≠1。

五、总结导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

求解导数可以利用定义式或基本求导公式。

导数具有可加性、可减性、可乘性和常系数倍性等性质。

在典型例题中，需要注意区间和常数等问题。

掌握导数的知识点和求解方法对于学习微积分和其他相关学科都具有重要意义。

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。

对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。

例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧知识总结一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。

容易知道，割线的斜率是当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f （x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即。

二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。

求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四. 推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

类比推理的一般步骤：(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。

导数知识点归纳及应用●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念函数y=f(x),y=f(x),如果自变量如果自变量x 在x 0处有增量x D ，那么函数y 相应地有增量y D =f （x 0+x D ）－）－f f （x 0），比值x yDD 叫做函数y=f y=f（（x ）在x 0到x 0+x D 之间的平均变化率，即x y D D =x x f x x f D -D +)()(00。

如果当0®D x 时，x y D D 有极限，我们就说函数y=f(x)y=f(x)在点在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim ®D x x y D D=0lim ®D x x x f x x f D -D +)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0®D x 时，x y D D 有极限。

如果xyD D 不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

处不可导，或说无导数。

（2）x D 是自变量x 在x 0处的改变量，0¹D x 时，而y D 是函数值的改变量，可以是零。

以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的步骤：处的导数的步骤： ① 求函数的增量y D =f =f（（x 0+x D ）－）－f f （x 0）； ② 求平均变化率x y D D =xx f x x f D -D +)()(00；③ 取极限，得导数f’(x 0)=xyx D D ®D 0lim 。

例：设f(x)= x|x|, f(x)= x|x|, 则则f ′( 0)= . [解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(lim 0000=D =D D D =D D =D -D +®D ®D ®D ®D x x xx x x f x f x f x x x x ∴f ′( 0)=02．导数的几何意义函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f y=f（（x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。

在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。

2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。

这个值就是在点a处的导数。

它是一个数值，常常用f'(a)表示。

3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。

4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。

二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。

2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。

三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。

2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。

3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。

四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。

2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。

3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。

4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。

微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线是指以P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim →Δ0xf (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos_x ；④(cos x )′＝－sin_x ；⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；⑦(ln x )′＝1x ；⑧(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x 5x 2；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75.(4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .[题组训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.考点二 导数的几何意义考法(一) 求曲线的切线方程[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D[解题技法]若已知曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考法(二) 求切点坐标[典例] 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. [答案] C[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三) 求参数的值(范围)[典例] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[题组训练]1.曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B ∵y ′＝e x ，令e x ＝1，得x ＝0.当x ＝0时，y ＝1，∴点A 的坐标为(0,1)． 2.设曲线y ＝a (x －1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝a (x －1)－ln x ，∴y ′＝a －1x ，∴y ′|x ＝1＝a －1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2， ∴a －1＝2，解得a ＝3.3.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 因为点(0，－1)不在曲线y ＝f (x )上，所以设切点坐标为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( )A ．eB ．e ＋1C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e. 2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x ＝－1，∴ex ＝a ，又－1a·e 0x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 28．(2019·安徽名校联考)已知函数f (x )＝2x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2－a ，所以f ′(－1)＝－2－a ＝1，所以a ＝－3，所以f (x )＝2x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝09．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x ，所以y ′|=2x π＝－1，由条件知1a ＝－1， 所以a ＝－1. 答案：－110．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 211．求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos x ex .解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-343．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。

导数的概念与运算知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1、导数的概念设函数()x f y =在0x x =附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数()x f y = 在0x x =处的导数，记作()0x f '或.0x x y ='即()()()()().0000000lim lim lim0x x x f x f x x f x x f x yx f x x x x --=∆-∆+=∆∆='→→∆→∆ 2、导数的几何意义函数()x f y =在0x 处的导数()0x f '，表示曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线PT 的斜率，即()0tan x f '=α，其中α为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点P 的切线方程为()().000x x x f y y -'=-同样，可以定义曲线()x f y =在0x x =的法线为过点()()00,x f x P 与曲线()x f y =在0x x =的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为=-0y y()()()().010≠'-'-x f x x x f3、导数的物理意义:设0=t 时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().t S S =在10~t t 时刻，车走了()(),01t S t S -这一段时间里车的平均速度为()(),0101t t t S t S --当1t 与0t 很接近时，该平均速度近似于0t 时刻的瞬时速度.若令~1t 0t ，则可以认为()()0101lim1t t t S t S t t --→，即()0t S '就是0t 时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表3—1表3—1注：()().1ln ,11,212x x x x x x ='-='⎪⎭⎫ ⎝⎛='三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设()()x v v x u u ==,均可导，则（1）();v u v u '±'='± （2）()();R k u k ku ∈'='（3）();v u v u uv '+'='（4）().02≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 注：()()()().R c x f c x cf ∈'='四、复合函数的导数复合函数()[]x g f y =的导数与函数()()x g u u f y ==,的导数之间具有关系,x u x u y y '⋅'='该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把()x g 当作一个整体，把()[]x g f y =对()x g 求导，再把()x g 对x 求导，这两者的乘积就是复合函数()[]x g f y =对x 的导数，即()[]()()[]()x g x g f x g f '⋅'='.题型归纳及思路提示题型1 导数的定义思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.例3.1 设()0x f '存在，求下列各极限. (1)()();3000limx x f x x f x ∆-∆+→∆ (2) ()();000lim h x f h x f h --→分析 ()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0000lim0，导数的定义中，增量x ∆的形式是多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆必须选择相应的形式.利用函数()x f 在点0x 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式. 解析 （1）()()()()().333330000000lim limx f x x f x x f x x f x x f x x '=⋅∆-∆+=∆-∆+→∆→∆（2）()()()()()()00000001lim limx f h x f h x f h x f h x f h h '-=-•---=--→→评注 ()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0000lim0的几种等价形式：()()()=--='→000limx x x f x f x f x x ()()=-+→hx f h x f h 000lim()()hh x f x f h --→000lim等.变式1 若()(),132000lim0=∆-∆+→∆xx f x x f x 则()='0x f （ ）Ａ、32 B 、23C 、3D 、2 变式2 设()x f 在0x 处可导，则()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆3000lim0=（ ）A 、2()0x f 'B 、()0x f 'C 、()03x f 'D 、()04x f '题型2 求函数的导数思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.例3.2 求下列函数的导数.(1);5x y = (2);14xy =(3);53x y = (4);10x y = (5);log 2x y = (6)x y sin =. 解析 （1）;55415x x y =='- （2）();44455144xx x x y -=-=-='='----（3）;5353525253x x x y =='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='- （4）;10ln 10xy =' （5）;2ln 1x y =' （6）().cos sin x x y ='=' 评注 对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根式一般化成分数指数幂求导. 变式1 求下列函数的导数.（1）;3x y = （2）;21xy ⎪⎭⎫⎝⎛= （3）;log 3x y = （4）.cos x y =（3）3log y x =； （4）cos y x =. 例3.3 求下列函数的导数（1）432432x x x y x =+-+；（2）1ln y x x =+；（3）(21)xy x e =+⋅；（4）cos x x y e=. 分析 按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使用.解析 （1）()432432321432432x x x x x x y x x x x x ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+-+=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()22111111ln ln y x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）(21)(21)(21)()2(21)(23)x x x x x xy x e x e x e e x e x e ''''⎡⎤=+⋅=+⋅++⋅=++⋅=+⋅⎣⎦； （4）22cos (cos )cos ()sin cos sin cos ()()x x x x x x x xx x e x e x e x e x x y e e e e '''⋅-⋅-⋅-⋅+⎛⎫'====- ⎪⎝⎭. 评注 利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程.变式1 求下列函数的导数.（1）41y x x =-；（2）ln y x x =；（3）x x y e=； （4）sin xy e x =⋅；（5）sin 2y x =；（6）231x y x -=+.变式2 求下列函数的导数. （1）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）2cos y x x =；（3）sin x y x=；（4）tan y x =. 例3.4 求下列函数的导数. （1）32x y e+=；（2）2log (21)y x =+；（3）sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π；（4）11y x=-. 分析 设出中间变量，按照复合函数求导法则进行.解析 （1）设32u x =+，则uy e =，由复合函数求导法则，有()(32)3u u y e x e '''=+=，再把32u x =+代入得323x y e+'=；（2）设21u x =+，则2log y u =，所以22(log )(21)ln 2y u x u '''=+=，再把21u x =+代入，可得2(21)ln 2y x =+；（3）设23u x =+π，则sin y u =，所以(sin )22cos 2cos 233y u x u x '⎛⎫⎛⎫''=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ；（4）设1u x =-，则1y u =，所以2221111(1)(1)(1)y x u u u x '⎛⎫''=-=-⨯-== ⎪-⎝⎭. 评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数()y f ax b =+型的求导.这里设中间变量u ax b =+，按照复合函数求导法则，()()()y f ax b ax b af ax b ''''=+⨯+=+，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1 求下列函数的导数.（1）ln(21)y x =+；（2）sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π； （3）212ln(35)x y x +=++；（4）22(21)xy x x e -=+-.题型3 导数的几何意义思路提示函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.例 3.5 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C 在P 处切线的斜率的范围是[]0,1，根据导数的几何意义，只要函数223y x x =++的导数在这个范围即可.解析 22y x '=+，由于曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，所以其切线的斜率的范围为[]0,1，根据导数的几何意义，得0221x ≤+≤，即112x -≤≤-.故选A. 评注 函数()y f x =在某点处的导数、曲线()y f x =在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1 设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的斜率为1，则该曲线在点(1,(1))f --处的切线的斜率为 .例3.6 （1）曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 ；过点(1,1)的切线方程为 .（2）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-分析 若求曲线在点00(,())x f x 处的切线方程，则点00(,())x f x 为切点；若求曲线过点00(,())x f x 处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入00(,())x f x ，求其切点坐标.解析 （1）曲线3y x =在点(1,1)处的切线的斜率为1|3x y ='=，切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.设过点(1,1)的切线的切点坐标为300(,)x x ，则切线方程为320003()y x x x x -=-，代入点(1,1)得，3200013(1)x x x -=-，即2000(1)(1)x x x -++= 2003(1)x x -，得200(1)(21)0x x --+=，解得01x =或012x =-，所以切线方程为13(1)y x -=-或131()()842y x --=+，即320x y --=或3410x y -+=.（2）依题意，设切点坐标为320000(,21)x x x x --+，则切线方程为32000(21)y x x x ---+2000(322)()x x x x =---，代入点(1,1)-，得3220000001(21)(322)(1)x x x x x x ---+=----，即200(1)(1)0x x +-=，得01x =-或01x =，又01x ≠-，所以01x =，直线l 的斜率为01|1x y ='=-，故选C.变式1 （2012安徽理19）设函数1()(0)x x f x ae b a ae=++>，设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 变式2 （2012北京理18）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值.变式3 已知函数32()3611f x ax x ax =+--，2()3612g x x x =++和直线:9m y kx =+，又(1)0f '-=.（1）求a 的值；（2）是否存在k ，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.例3.7 在平面直线坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)xf x e x =>的图像上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 .分析 先设切点坐标00(,)xx e ，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出M 的纵坐标，同理可求出N 的纵坐标，将t 表示成0x 的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值. 解析 设00(,)xP x e ，00()|x x x k f x e='==，l 的方程为000()x x y ee x x -=-，令0x =，得00(0,(1))x M e x -.PN 的方程为0001()x x y e x x e -=--，令0x =，得0000,x x x N e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故00001(2)2x x x t e x e ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，设()(2)(0)x x g x x e xe x -=-+>，则()(1)()x xg x x e e -'=-+，令()0g x '=，得1x =，当01x <<时，()0()g x g x '>⇒在(0,1)上单调递增；当1x >时，()0()g x g x '<⇒在(1,)+∞上单调递减，故2max1()(1)e g x g e +==，所以的最大值是212e e+.评注 利用切点横坐标0x 可以表示曲线上任一点处切线的方程为：000()()()y f x f x x x '-=-. 变式1 （2012新课标理12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+最有效训练题1．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e B ．ln 2 C ．ln 22D ．e 2．若函数()f x 满足321()(1)3f x x f x x '=-⋅-，则(1)f '的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-3．曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．14．()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(4,0)(0,4)-⋃C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃5．正弦曲线sin y x =上一点P ，以点P 为切点的切线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A ．30,,44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭πππ B ．[)0,π C ．3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ D ．30,,424⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πππ 6．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+7．已知函数()2ln(3)8f x x x =+，则0(12)(1)lim x f x f x∆→-∆-∆的值为 ．8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45s t t =-米，则列车刹车后 秒内停下来，期间列车前进了米．9．如图3-2所示，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(4,4)，那么(3)(3)limx f x f x∆→+∆-∆ （用数字作答）．10．已知()(1)(2)(3)()(2,)f x x x x x n n n N *=+++⋅⋅⋅+≥∈，其导函数为()f x '，设(2)(0)n f a f '-=，则100a = ．11．已知曲线32:32C y x x x =-+. （1）求曲线在1x =处的切线1l 的方程；（2）若2:l y kx =，且直线2l 与曲线C 相切于点000(,)(0)x y x ≠，求直线2l 的方程及切点坐标； （3）在（1），（2）条件下，设1l 与2l 相交于A ，1l 与x 轴的交点为B ，求ABO ∆的面积. 12．已知三次曲线32:C y x bx cx d =+++的图像关于点(1,0)A 中心对称. （1）求常数b ；（2）若曲线C 与直线:412l y x =+相切，求曲线C 的方程.图3-2。

导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。