指数分布参数的区间估计和假设检验

１ ２ 方 法二 ．
１ ２ １ 相关 结论 和定理 ．．
设 总体 服从 Ｘ 参 数 为 （＞ ０ 的指 数 分 布 ， ， … ， Ｘ 的一 个容 量 为 的样 本 ， ） Ｘ Ｘ ． Ｘ 是 记 ＝
ｍ Ｘ ＝ ｉ 则 ａ｛ ｍ ｛ ｘ ｎ 是 一 无 估计 由 序 计量 有 分 可以 ： 的 个 偏 量。 顺 统 的 关 布 得出
文献 标识 码 ： 文章 编号 ：０ ８ ６ ８ （ ０ ４ ０ － ０ １ － ０ Ａ． １０ － ７ １２０ ）３ ０ ２ ３
０ 引 言
随着科学技术 和生 产的不断发展 ， 数理统 计 的应用更加广 泛 。 而区间估 计和假设检验 问题在 统计推 断 中占有很重要 的地 位 。 对于 总体人们 常常假设为正态分布 ， 在正态总 体下派生 出了 Ｔ分布 、 Ｆ分布 、 分布， 并且研 究 了期望和方 差的各 种区间估计 和假设检验 。 而总体服从指 数分布也是实 际问题 中经常碰 到的 。在总体服从指 数分布 的情况下 ， 本文利用概率论 知识 对 区间估计 和假设检 验 问题进行 了研究 ， 并 给出指数分布参数 的区间估 计和假设检验 的两 种方法 。
ｆ ０
ｚ ＜０
１＝ － ｚ０ 【 两Ａ ｌ ．ｅ — ｗ－ ．
由结论 １ 可得 到 结论 ２ 统计量 ＝ 服从参 数 １ 的 分布 ， ， 即 的分 布密度 函数 （ ） ｚ 为
ｆ ｌ ０
一
… ｚ ， ＜０
１—） ～ ｚ０ 【 １ ｊ （ 一 ， ２ …
当
０ Ｆ（） ， 一０时 ， 定理得证 。
１ ２ ２ 参数 的的置信区间 ．．
设 总体 服从参 数为 （＞ ０ 的指 数分布 ． ． ． ， 是 的一个容量 为 １的样本 ， ） … ＇ ｌ 统计量 Ｚ —
（ ＋ ） 的分 布函数为Ｆ ． 于给定 的 ａ ０ １ ． （ ）对 ∈（ ． ） 由分布 函数Ｆ（） 可求 出 ， 使得 Ｐ｛昙 ＜ ＋Ｔ） （） （ ＜ 一 （ ） ＝１ 成立的临界值 昙 和 一 （ ）于是得 到参数 的置信度为 １ 要 ｝ 一ａ （） 罢” ． 一ａ的置信区间为 ：
一
＝
』 ～ 一 ～ 』 — ＋一 — 一— ｃ — ｄ
Ｉ 一１ ∑（ ）
专
ｏ
一
Ｐ ｄ
＋
一
＝
＾ 蓦一 一 一 ＾ 一 一 一 １ ） ｏ ■ （ （） （ ） 一 一Ｔ 争 蓦 １１ ｎ － ８ ＋
（ ９ 一６ ６ ， １ ） ． ８ 用样 本观测值 中的前 １ 个数据 代人统计 量 ， ９ 计算 得 一２ ９ ， ３０
于 总 的 均 命 的５的 信 间 （ ， ）（．，４６ 是 体 平 寿 ９ 置 区为 一３・ ．） 寺 器 ５７１ ・ ７ ３ ４９ ８
（） ２检验 原假设 Ｈ。÷ 一１７ 略） ： １０（ 。
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｓｐ ｐ ｒｅ ｐ ｕ ｄ ＷＯ ｍｅ ｈｏ ｓ ｎ ｅ ｖ ｌ ｓ ｉ ｔｏ ｎ ｙ ｔ ｅ ｉ ａ ｅ ｔｏ ａ ａ ｅ ｅ ｓ ｎ ｉ ｄ ｘ ｉ ａ ｅ ｘ ｏ ｎ ｓｔ ｔ ｄ ．ｉ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｍａ ｉ ｎ ａ ｄ ｈ ｐ ｈ ｔｃ ｌ ｓ ｆ ｒ ｍ ｔ ｒ ｅ ｏ ｔ ｐ ｏ ｎ
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嘉 兴学 院学 报
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第１卷第３ ０４ 月 ６ 期２ 年５ ０
。ｏ １ ｏ３ ２０． Ｖ１～Ｎ ． ．６ ０４５
１ ・ ２
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＪａ ｉ ｏｌ ｅ ｏｒａ ｉｘｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｇ ｅ
指 数分布参数 的 区间估计 和假设检 验
１ 区间估计 和假设检验 的方法
１ １ 方 法 一 ．
１ １ １ 相关结论 ．．
设总体 ｘ 服从参数 为 （＞０ 的指数分 布 ， ， ， ， 是 ｘ 的一个容量 为 的样本 ， 本 的均值 ） ｘ ｘ … 样 为 ， 作统计量 ＝ ， 分布 的相关性 质可得 ： 由 结论 １ 统计 量 ＝ 叉 服从参 数为 ， ｎ的 分布 ， 即随机变量 分布密度 函数 （ ） ｚ 为
选取 统计量 ｚ （ ＋丁） 当原假设成立 时 ． 一 ｓ ， ｚ的分 布函数为 Ｆ（） 给定显著性水 平 ａ 通过计算 可满足 ， ，
Ｐ ｚ三昙ｎ｝ ｛ 一 （）一号 ｛ （）＝Ｐ ｚ 昙ｎ）
成立 的临界值 （） Ｚ－ （ ）拒 绝域是 （ ’ａｎ ］ 一 （） ＋ｏ ） ｎ 和 １睾 ｎ ． ＯＺ （ ） Ｕ［ 导 ｎ ， 。 。 ＿ ，
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ｌ ・ ４
嘉 兴 学院 学报
第 １ 卷第 ３ ６ 期
Ｉ ｆ Ｓ－ 』 ｑＴ
＼
设 总 体 服从 参数 为 （＞ ０ 的指 数分 布 ． ） 用 的一个样 本 Ｘ ， ， ， 检验 原假设 日。 … ： 一
ｄｓｒｂ ｔ ｎ。ａ ｄ ｍａ ｅ ｏ ｐ ｒｓ ｎ ｂ ｅ ｎ ｆｎ ｍｅｉａ ａｃ ｌｔ ｎ ｉｔｉ ｕ ｉ ｏ ｎ ｋ ｓｃ ｍ ａ ｉｏ ｙｍ ａ ｓｏ ｕ ｒｃ ｌｃ ｌｕａ ｉ ． ｏ Ｋｅ ｒ ｓ ｉｄ ｘｄｉ ｒｂ ｔｏ ；ｉｔｒ ａ ｔ ａｉ ；ｈｙ ｏｈｅｉ ｅｔ ＣＬＣ ｔ １ ． ｙ ｗｏ ｄ ：ｎ ｅ ｓ ｉｕ ｉｎ ｔ ｎｅ ｌ ｉ ｔ ｖ ｓ ｅ ｍ ｏｎ ｐ ｔ ｓ ｓｔｓ ． Ｏ２ ２ １
蒋福坤 ’ ，刘正春
（ 兴学院信 息工程学院 ，浙江 嘉兴 ３ ４ ０ ） 嘉 １ ０ １
摘 要 ：该文 给 出了指 数 分布参 数 的 区 间估计和 假 设检验 的两种 方 法 ，并通 过数 值 计算进 行 了比较 。
关 麓 词 ：指数 分 布 ；区 间估计 ；假 设检验 。 中 图分 类号 ：Ｏ １． ２ ２１
１ １ ３ 参数 的假设检 验 ．． 设 总体 Ｘ 服 从参数 为 （＞０ 的指数分 布 ． Ｘ 的一个 样本 Ｘ ， … ， 检 验原假设 Ｈ。 一 ） 用 Ｘ ， Ｘ ：
选 取统计量 ７＝ａ Ｘ， ￣ ｏ 当原假设 Ｈ。 ｎ 成立时 ， 服从参数 为 １ 的 Ｆ分 布。给定显著性水 平 ａ 通过计算 ， ，
～
～
Ｐ～
Ｐ～
ｆ
０ 【
其 他
由结论 ２ 可得 到 定理 １ 当 为奇数时 ， 随机变量 Ｚ —Ｕ＋Ｖ 的分 布函数为
） 一
ｌ －（ １ ｎ了 ８ １ ） ｎ 【 ０
｝
一
０
证 明 当 ｚ Ｏ时 ， ＝Ｐ｛ ｝ Ｐｆ ＞ Ｆ（）＝ Ｚ ＝ 一 Ｕ＋
（） １求平均寿命÷的 ９ 的置信区间。 ５
（） ２ 问这种 电子元件 的平均寿命可 否认为是 １ ７ 小时 （一０ ０ ） １０ 口 ．５ 。
解： 采用方法 一计算
（） １ 已知 电子元件 的使用 寿命 Ｘ 服从参 数为 的指数分布 ， 样本容量 ｎ ０统计 量 ：ｎ 服从参 一２ ，
Ｐ｛ （ ） ： ， ： 卜 昙 ｝ １ ＜ ２ 一 （ ） ： 一口 ＜
成的界 ９（于得参 置度 １ 的信间ｆ ， ） 立临值２和－）是到数的信为一 置区 ， 兰 ＇ （ １ ， ） ｚ ａ 从
＇ 收稿日期 ：２ ０ —０ －２ ．作者简介：蒋福坤 （９３ ０３ ９ ７ １ ５一 ） ，男，浙江桐乡人，嘉兴学院信息工程学院。
（ ８ １ １ ） ７ ７， ９ １ 。
，
） ＝
（） ２ 检验原假设 Ｈ。 １一订１ 即 ： ， 一订１
因 一０ 。 立 ，计 卉 服 参 为１０ 分 。 ａ０ ５ 计 得 为ｎ ２当日 成 时统 量 一 从 数 ， 的Ｆ 布 由 一・ ， 算 临 ， ２ ０经
界 值 。 （０ ＝１ ． ２ 。 （０ 一２ ． ７ 拒绝域 为 ［ ，２ ２ ３ －９ ６ ， 。 ； ． ２ ） ２２ ． ． ２ ） ９６ ， 。 ０ １ ． ２ Ｕ［ ． ７ ＋ｏ ） 由样 本观测 值得 叉＝ ２ １６， １ ８ 统计量 ＝ Ｙ ６ｆ － ． ａｒ １ ＝１ ． ７ － ， ２２ ］ － ９ ６ ， 。 ， 以接 受原假设 ， ９ ９ ０ １ ． ２ Ｕ［ ． ７ ＋ｏ ） 所 ｅ［ ２ 即
可得：
ｐ 导 ）一 ｛ ｛ （ ｝ Ｐ
一（）一 导 ｝姜
成立 的临界值 导 和 一 （ ）拒绝域是 ［ ．１ ］ 要 ， 。 。 （） 导 ， ０ ２ ） Ｅ 一 （ ） ＋。 ） （ Ｕ ｒ
由样本值算 出统计 量 的值 ． 若 的值落入拒 绝域 ， 则拒绝 原假设 Ｈ。否则 ， ； 接受 Ｈ。 。
由样本观测值 算出统计量 ｚ的值 ， ｚ的值 落人拒绝域 ， 若 则拒绝原 假设 Ｈ。否则 ， ； 接受 Ｈ。 。
１ ３ 举 例 ．
例 ： 已知某种 电子 元件 的使用寿命 服从参数为 的指数分布 。现从 中抽 取 ２ 个 元件进行 寿命测 ０
试． 得数据如下 （ － ： 时 ） ０位 小
结论 １ 二元 随机 向量（ ， 的联合分 布密度 函数是 Ｓ ）
．） ￡ 一 卜
其 中 ： （ ）Ｆ（ ） 户 ｚ ， ｚ 分别为 Ｘ 的密 度函数与分布 函数 。由结论 １又可得 出 ：
结论 ２ 二元 随机 向量（， ） ａ ） 【． 一（ Ｓ． 的分布 密度 函数 为
认为这种 电子元件 的平均 寿命 为 １ ７ 小 时 。 １０
采 用方法二计算
（） １ 这里取样 本容量 ｎ ９ 用统 计量 ｚ— （ ＋ ． 口 ． ５时 ， Ｚ的分 布函数 Ｆ（ ） 一１ ． Ｓ ） 当 一０ ０ 由 可得 到临
界值 。 １ ） ． ７ ， （９ ＝１ ７ ７
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蒋福坤 ． 刘正 春 ： 数 分布 参数 的 区间 估计和假 设检 验 指
・１ ３．
而， 总体 的平 均值 的置信度 为 １ 一ａ的置信 区间为
‘
，
）
其 ： ｈ ｚ 号 中』 ’）一 ． （ ｚ ｌ 号 ０（ ｄ ＝ 一 ）＝ ｄ＝
数 为 １２ ，０的 ｒ分 布 ． １ 一０ ９ ， 口 ． ５ 经计算 ． 由 ～口 ． ５ 得 一０ ０ 。 得到临界值 。 ２ ） ２ ２ ，。７ ２ ） ９ ． （０ ＝１ ． ２ ＿ （０ 一２ ． 。 ９ ６ ，由样 本观测值 算 出 ￣ １ ８ 于是 总体 平均寿命 的 ９ 的置 信 区间是 （ ７ ＝１ ６ ． ５
１ ５ １ ０ １ ８ １ ０ １ ０ １ ６ １ ９ １ ８ １ ８ １ ２ ０ ０ １ Ｏ ０ ０ ２ ０ ３ ０ ０ ０ ０ ０ ００ １ ０ ３ ０ １ ５ １ ４ １ ６ １ ５ １ ５ １ ５ １ １ １ ９ １ ４ １ ６ ２ ０ ３ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ２ ０ ３ ０ ０ ０ １ ０ １ ０
１ １ ２ 参数 的 １ ．． 一口的置信 区间 设 总体 ｘ 服从 参数 为 （＞ ０ 的指数分 布 ． ， ， ， 是 ｘ 的一个样 本 ， ） ｘ ｘ：… ｘ 统计 量 ＝ａＸ 服从 ｎ 一 参数 为 １ ， 的 分布 ， 对于给定 的 ａ ０ １ ． 分布密度函数 ｒ ｘ － 以求 出 ， ∈（ ，） 由 （ ）－ Ｕ Ｉ 使得