量子力学复习
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3．在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。
解： E 3eV 31.6 1019 J 4.81019 J 9.11031 kg
p 2E 9.351025 (kgm/ s)
由公式 h h 得： 7.08 Å p 2E
附件： 量子力学是将物质的波动性与粒子性统一起来的动力学理论。 1.如果一物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物质称为黑体！
t
2
2. 证明在定态中，几率流密度与时间无关
(r，t) (r ) f (t)
i Et
(r )e
J i (* *) 2m
i [ (r )e i Et（ (r )e i Et）* * (r )e i Et（ (r )e i Et）] 2m i [ (r ) *(r ) *(r ) (r )] 2m
3.2.氢原子处在基态 (r, ,) 1 er / a0 ，求： (1)r 的平均值； a03
(2)势能 e2 r
的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。
解：(1) r r (r, ,) 2 d 1 2 re2r / a0 r 2 sin drd d
可见 J与t 无关。
3. 由下列两定态波函数计算几率流密度
(1) 1
1 eikr r
(2) 2
1 e ikr r
从所得结果说明 ψ1 表示向外传播的球面波，ψ1 表示向内（即向原点）传播的球面波。
解： J1和J2只有r分量
在球坐标中
n (r , t)
n (r )eiEn t /
1 1
大小。 2、态叠加原理 指的是波函数的线性叠加，而不是概率的叠加。 ---粒子经过晶体反射后产生的衍射现象 。
cn n
n
3、薛定谔方程------反映了微观粒子的运动规律。
1.定态薛定谔方程
i/t -^2/2m^2 U (r)
2.含时薛定谔方程的一般解 （随时间变化的规律）
例如
i
2
2 U (r , t )
德布罗意波 h 普朗克常量 2.光电效应 是当光照射到金属上时，有粒子从金属逸出。只有当光的频率大于一定值时， 才有光电子发射出；如果光的频率小于这个值，无论光的强度多大，照射时间多长，都没 有光电子产生。光的强度越大，光电子的数目越多！光的能量只决定于光的强度，与光的 频率无关。
得出：光的频率决定光子的能量，光的强度只决定光子的数目，光子越多，产生的光 电子也多。 3.康普顿效应 凡是 h 在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。 光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为波粒二象性。（类微粒的二象性） 4.微粒的波粒二象性 德布罗意波 h 普朗克常量 德布罗意波长 电子衍射实验说明了电子具有波动性。
cos
sin
d
2
d
a03
0
0
2
r 2er / a0 dr
e
i
pr
cos
d ( cos )
(2)3/ 2 a03 0
0Leabharlann 2(2)3/ 2a03
r 2er / a0 dr
e
i
pr
cos
0
ipr
0
2
i
re r / a0 (e pr
e
i
pr
)d
r
(2)3/ 2 a03 ip 0
x neax dx n!
(0)
E(0) n
E(0) m
m
H11
E (1) n
H 21
H f 1
H12
H 22
E (1) n
H f 2
H1f H 2 f
c(0) n1
c(0) n2
0
H11
E (1) n
H 21
H ff
E (1) n
c(0) nf
H f 1
H12
H 22
E (1) n
H f 2
H1f
H2 f
0
H ff
2 0 0 0 a03
r2 dr dr
42 ( 1
(2r
r 2 )er / a0
dr
4 2
(2 a02 a02 )
2
2a03 a0 0
a0
2a04 4 4 2a02
(5)
c( p)
* p
(r )
(r
,
,
)d
c(
p)
1 (2)3/ 2
0
1
er / a0 r 2 dr
e
i
pr
E (1) n
（2）能量和时间的测不准关系 △E△t~h/2π,测量能量越准确，则用于测量的时间越长。 （3）量子体系能产生共振跃迁与角量子数和磁量子数有关。 △l=+-1,△m=0,+-1. （4）原子在光的照射下从高能态放出一个光子而跃迁到低能态就是一种量子跃迁过程，称 为原子的“受激辐射”。不受到光的照射，处于激发态的原子也可能自动跃迁到低能态，同时 放出一个光子，此过程称为“自发辐射”。 （5）跃迁前后描述初态和末态的物理量或量子数应满足一定的关系，这种关系称为“选择定 则”。
d 21 (x) dx2
x 1
2 4 3 1 0 e
2
可见 x 1 是所求几率最大的位置。
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 A 1 a
证： n
A sin
n a
(x a),
0,
由归一化，得
x a x a
1
n 2 dx
a A2 sin 2 n (x a)dx
dx
令 d1 (x) 0 ，得 dx
x 0
x1
x
由1(x) 的表达式可知， x 0，x 时，1(x) 0 。显然不是最大几率的位置。
而 d 21 (x) 2 3 [(2 6 2 x2 ) 2 2 x(2x 2 2 x3 )]e2x2
dx2
4 3 [(1 5 2 x 2 2 4 x 4 )]e 2x2
(r , t)
cn n (r )eiEn t /
w
J
n
0
t
量子力学中用波函数描写微光体系的状态。波函数应满足三个基本条件：连续性，有
限性，单值性。---自然条件。标准化条件
2、波函数的模方 (r,t) 2代表 t 时刻粒子出现在r 处的概率密度。
粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对
d(r) 4 (2 2 r)re2r / a0
dr
a03
a0
令
d(r) dr
0，
r1
0,
r2 ,
r3 a0
当 r1 0, r2 时，(r) 0 为几率最小位置
d 2(r) 4 (2 8 r 4 r 2 )e2r / a0
dr2
a03
a0
a02
∴ r a0 是最可几半径。
d 2(r)
8 e2 0
dr2 r a0
a03
(4)Tˆ 1 pˆ 2 2 2
2
2
2
1 r2
r
(r 2
) 1 r sin
(sin
) 1 sin 2
2
2
T
2
1 er / a0 2 (er / a0 )r 2 sin drd d
2 0 0 0 a03
2
2 1 er / a0 1 d [r 2 d (er / a0 )]r 2 sin drd d
第一章 绪论 小结：
p hn k
1、黑体辐射、光电效应等现象揭示了光的波粒二象性。
2、德布罗意波
E h
波粒二象性假设---微粒的粒子性（E，p）与波动性（v，波长或 w，k）。
1、光电效应和康普顿效应体现了粒子性。2、原子光体的线性结构导致量子力学的建立。
氢原子基本假设
（1）定态假设；（2）跃迁假设；（3）量子化假设。J n h En Em
的概率
d. 不确定关系 设 、 代表两力学量算符，且它们的对易关系为
，那么对于任
意的归一化波函数 ，有
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子的波粒二象性。
空间平移对称性导致动量守恒，空间旋转对称性导致角动量守恒，时间平移对称性导致能 量守恒，空间反演对称性导致宇称守恒。 5.对易：有组成完全系的共同本征态。 6.不对易：算符之间有不确定关系。
2 )4
第五章 微扰理论 的方法能否适用不仅决定于矩阵元的大小，同时还决定于能级间的距
离。 1.非简并定态微扰理论
En
E (0) n
Hˆ nn
m
/
H m n 2
E (0) n
E (0) m
求解 Hˆ 在En(0) 简并子空间中的本征方程，即 2.简并情况下的微扰理论
n
(0) n
m
/
Hm n
ik
1 r
)]r0
k mr 2
r0
k mr 3
r
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
(2)
J2
i 2m
( 2
* 2
2*
)
i [1 eikr 2m r
r
(1 eikr ) r
1 eikr r
r
(1 r
e
ikr
)]r0
i [1 ( 2m r
1 r2
ik 1) r
1 ( r
1 r2
ik 1r )]r0
简答题：分类说明从经典物理向量子物理跃变的实验事实
答：可分为两类（1）光的粒子性实验，如黑体辐射、光电效应、证实了光具有粒子性，从 而建立了光具有波粒二象性的概念；（2）粒子的波动性实验，如电子、中子在晶体表面的 衍射、电子 Young 双缝实验，证实了微光粒子具有波动性从而建立了物质波概念。
