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二次根式复习专题讲义(补课用)详解

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二次根式复习专题讲义 一、二次根式的概念： 1.二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 ①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。 ②. a（a≥0）是一个非负数。 ③. （a）2＝a（a≥0）；2a=a（a≥0） 2.二次根式的乘： ①.一般的，有a·b＝ab．（a≥0，b≥0） ②. 反过来，有ab＝a×b ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 ) 3.二次根式的除： ①. 一般地，对二次根式的除法规定： ab=ab（a≥0，b>0），

②. 反过来，ab=ab（a≥0，b>0） 4. 二次根式的加减法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 典型例题分析： 例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1xy、xy（x≥0，y•≥0）． 例2.当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？ 变式题1：当x是多少时，31x在实数范围内有意义？ 变式题2：①.当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？ 例3. ①.已知y=2x+2x+5，求xy的值．

②.若1a+1b=0，求a2004+b2004的值． ③.已知1xy+3x=0，求xy的值． 例4. 计算 1．（32）2 2．（35）2

3．（56）2 4．（72）2

例5. 计算 1．（1x）2（x≥0） 2．（2a）2 3．（221aa）2 4．（24129xx）2 变式题：计算

1.（-323）2 2.(2332)(2332) 例6.在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 例7.化简 （1）9 （2）2(4) （3）25 （4）2(3) 例8.填空：当a≥0时，2a=_____；当a<0时，2a

=_______，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若2a=a，则a可以是什么数？ （2）若2a=-a，则a可以是什么数？ （3）2a>a，则a可以是什么数？

例9.当x>2，化简2(2)x-2(12)x． 例10．先化简再求值：当a=9时，求a+212aa的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 变式题1．若│1995-a│+2000a=a，求a-19952的值． （提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值） 变式题2． 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+2(3)x+21025xx。

例11．计算

（1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6

分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35

（2）13×9=193=3 （3）9×27=292793=93 （4）12×6=162=3 例12 . 化简 （1）916 （2）1681 （3）81100 （4）229xy （5）54

例13 . 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49

（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83

变式题1：若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，•那么此直角三角形斜边长是（ ）． 变式题2：化简a1a的结果是（ ）． 变式题3：1014=_______．√169×6 变式题4：一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）223=223

验证：223=22×23=2223=332(22)233 =3222222222(21)221212121=223 （2）338=338 验证：338=23×38=338=3233331 =222223(31)33(31)3313131=338 同理可得：44441515 55552424，…… 通过上述探究你能猜测出： a21aa=_______（a>0）,并验证你的结论． 例14．计算： （1）123 （2）3128 （3）11416 （4）648

例15．化简： （1）364 （2）22649ba （3）2964xy （4）25169xy

例16．已知9966xxxx，且x为偶数，求（1+x）22541xxx

的值．

变式题1.计算112121335的结果是（ ）． 变式题2.阅读下列运算过程： 1333333，225255555

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理

化”，那么，化简26的结果是（ ）． 变式题3.已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_______． 变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 变式题5.计算 （1）32nnmm·（-331nmm）÷32nm（m>0，n>0） （2）-3222332mna÷（232mna）×2amn （a>0） 例17.把它们化成最简二次根式： (1) 5312; (2) 2442xyxy; (3)238xy 总结：二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

BA

C 例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121=1(21)2121(21)(21)=2-1，

132=1(32)3232(32)(32)=3-2，

同理可得：143=4-3，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （121+132+143+……120022001）（2002+1）的值．

练习： 一、选择题 1．如果xy（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A．xy（y>0） B．xy（y>0） C．xyy（y>0） D．以上都不对 2．把（a-1）11a中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A．1a B．1a C．-1a D．-1a 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）

A．53=315 B．12=±122 C．4ab=a2 b D． 32xx=x1x 4．化简3227的结果是（ ）

A．-23 B．-23 C．-63 D．-2 二、填空题 1．化简422xxy=_________．（x≥0） 2．a21aa化简二次根式号后的结果是_________． 三、综合提高题 1．已知a为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：

2．若x、y为实数，且y=224412xxx，求xyxy

的值．

例20.计算 （1）8+18 （2）16x+64x

总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例21．计算

（1）348-913+312 （2）（48+20）+（12-5）

例22．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）

-（x21x-5xyx）的值． 练习： 一、选择题

1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③

2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题

1．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有________． 2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________． 三、综合提高题

1．已知5≈2.236，求（80-415）-（135+4455）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值． （6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy），其中x=32，y=27．

例23．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点

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人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件

人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件

a
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
二次根式辅导讲义

二次根式辅导讲义

二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。

二次根式总结复习讲义

二次根式总结复习讲义

欢迎阅读二次根式复习讲义 知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 1取值最小，并求出这个最小值。

456【知识要点】1. 2. 3. （2 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()aaa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c--=，则=+-cba．举一反三：1、若0)1(32=++-nm，则m n+的值为。

2312=-+-yx【例6】已知2x<,A、2x-B、2x+C、2x--D、2x-举一反三：1、( )A．-3 B．3或-3 C．3 D．92、已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a 3、若23a）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a的结a -（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥Ｂ．2a ≤Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）A. a=0B. a=1C. a=0或a=1D. a ≤1举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x 【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是（A 1 2 1（2【例11】在根式1)，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

二次根式综合复习讲义

二次根式综合复习讲义

二次根式复习知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。

二次根式的判定 【例1】下列各式1）22211,5,3)2,4,5)(),6)1,7)2153x a a a -+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A aB 10-C 1a +D 21a+#2a 2a b 1x +21x +3中是二次根式的个数有______个二次根式有意义的运用 【例2】3x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠42221x x-+-x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限二次根式定义的运用$【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=举一反三：111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 1取值最小，并求出这个最小值。

二次根式的整数部分与小数部分已知a b 是12a b ++的值。

、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 ]3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 二次根式双重非负性的运用【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．\举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。