第2章 系统的数学模型

1/R2
I2(s)
Uc
I2
1/C2S
Uc(s)
双RC网络动态结构图
2.4.2. 动态结构图的等效与简化
1 串联连接的传递函数
X 2 (S ) G2 (S ) X 3 (S ) X1(S) X 3 (S ) G1 (S ) X 1 (S ) G(S) G1 (S)G 2 (S)
X3(S) X2(S) G2(S) G1(S)
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描 述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
例 试绘制如图所示无 1 源网络的结构图i i1
Ui
i i1 i2 ui i 1R1 u0 u0 iR2 1 i2dt R1i1 c 由(1)式有 I1(S)
i2
C
பைடு நூலகம்
R1
R2
U0
解:
I(S) I1 (S) I 2 (S) (1) U i (S) I1 (S)R1 U 0 (S) (2) U 0 (S) R 2 I(S) (3) R 1I1 (S) 1 I2(S ) CS (4)
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)

第2章 自动控制系统的数学模型
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2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
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1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即

5 比较点的移动 比较点的前移：
Rs
Cs
Rs
Cs
Gs
Gs
Qs
1 Qs
Gs
若要将比较点由方框后移至方框的前面，为保持信号 的等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越 过的方框的倒数。
5 比较点的移动 比较点的后移：
Rs
Cs Gs
Rs Gs
Cs
Qs
Qs
G(s)
若要将比较点由方框前移至方框的后面，为保持信号的 等效，要在移动后的信号线上加入一个比较点所越过的 方框。
2-3 控制系统的结构图与信号流图
控制系统的结构图概述
控制系统的结构图(block diagram)是描述系统各元部 件之间信号传递关系的数学图形，表示了系统中各变量 间的因果关系以及对各变量所进行的运算。通过对系统 结构图进行等效变换（equivalent transform）后，可 求出系统的传递函数。
G1(s)
-1 H(s)
R(s)=0
f
(s)
C(s) F(s)
G2 ( s) 1 G2 (s)H (s)(1)G1(s)
G2 ( s) 1 G2 (s)G1(s)H (s)
G2(s) G2(s) 1 G(s)H(s) 1 Gk (s)
单位反馈系统H(s)=1,有
f
(s)
C(s) F(s)
若令：G(s) G1(s)G2(s) 为前向通路传递函数，
则：
B(s)
Gk (s) (s) G(s)H(s)
可见：系统开环传递函数Gk(s)等于前向通路传递函 数G(s)=G1(s)G2(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积。
R(S) ε(s) G1(s)
F(s)

时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O

t
（b）单位斜坡函数
F (s)

0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O

0


(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st

图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。