三角形的四心在向量中的应用

三角形的四心在向量中的应用相关知识点：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线⇔||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).（3）在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭。

如若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24(,)33-）；②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；④向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心；（3）若P 分有向线段12PP 所成的比为λ，点M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为12PP 的中点122MP MP MP +⇔=； （4）向量 PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得P A P B P C αβ=+且1αβ+=.如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图OC OB OA ++ 2=+= ∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bc +平分BAC ∠, (λ=∴bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc ++=（bc +) 化简得)(=++++c b c b a∴=++c b a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）B CDBCDA ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴AD OA OP λ2+= += λ2=∴ ∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心分析：分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +BC ⋅BCD++=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .例4：在ABC ∆中，3,2AB BC AC ===，若O 为ABC ∆的垂心，则AO AC ⋅的值为( C )（A ）2（B ）73（C ）3（D）5例5：.(2013年江西省重点中学盟校高三第二次联考，10,5分) 已知为锐角三角形的外心，, 且, 则实数的值为( A )A.B.C.D.例6：（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，10,5分）已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且若则（ A ）A ．B.C. D. 不能确定例7：(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，10,5分)已知为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点满足条件，则动点的轨迹一定通过的（ C ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心例8：（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知P 是ABC ∆内一点,且满足=++PC PB PA 320,记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ,则1S :2S :3S 等于 （ ）A ．3:2:1B ．9:4:1C ．3:2:1D ．2:1:3【答案】D例9：（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设点G 是ABC ∆的重心,若120=∠A ,1-=⋅,则的最小值是（ ）A ．33B ．32 C ．32 D ．43 【答案】B例10：（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）设P 为ABC ∆所在平面内一点,且520AP AB AC --=,则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于 （ ）A C D ．不确定【答案】C例11：（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）△ABC 外接圆的半径为1,圆心为O,且2,||3||,AB AC AO AB OA CA CB +==⋅则的值是（ ）A ．3B C D ．1【答案】D练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若AB C ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( ) A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。