第7 章 刚体的平面运动2n

7刚体的平面运动半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动,如图所示。

已知轮心A在图示瞬时的速度为vA及加速度为aA。

求该瞬时车轮边缘上瞬心C的加速度aC.AvACaAAvACwAaA解:轮A作平面运动，C为其瞬心.AwAaAaAaAaCatCAanCA在图示的平面机构中，O1A=AB=2l，O2B=l，摇杆O1A以匀角速度w1绕轴O1转动。

图示瞬时，A、B两点的连线水平，两摇杆O1A、O2B方向平行，且q=600。

试求矩形板D的角加速度a1和摇杆O2B的角加速度a2。

O2O１AＢqqw1D解：杆O1A、O2B作定轴转动，矩形板AB为瞬时平动。

vAvBw2。

O2O１AＢqqw1aAatBAaABxy。

O2O１AＢθθw1aAatBanBx方向投影:y方向投影得:A为基点，B点的加速度：图示的曲柄连杆机构中，已知连杆AB长1m，曲柄OA长0.2m，以匀角速度w=10rad/s绕轴O转动。

求在图示位置时滑块B的加速度和连杆AB的角加速度。

OAＢ45°w45°解：杆OA定轴转动，滑块B平动，杆AB作平面运动，速度瞬心I。

vAvBI?ABOAＢ45°w45°xyaABOAＢ45°45°waAaBanBAatBAA为基点，点B的加速度的矢量式：y方向投影:x方向投影:rROBlAvAC图示瞬时滑块A以匀速度vA=12cm/s沿水平直槽向左运动，并通过连杆AB带动轮B沿圆弧轨道作无滑动的滚动。

已知轮B的半径为r=2cm，圆弧轨道的半径为R=5cm，滑块A 离圆弧轨道中心O的距离为l=4cm。

求该瞬时连杆AB,以及轮B 的角加速度。

C?BO?BvBOBAvA解：滑块A作平动，杆AB瞬时平动、轮B作平面运动。

轮B的速度瞬心为C。

B点的轨迹圆周运动，角速度：y方向投影:x方向投影:A为基点，B点的加速度：轮B的角加速度：求导：CwBaBaCatBanBBatBCanBCxyCaABaBOOBAatBatBAanB半径为r的圆轮在一静止曲面上作只滚不滑的运动，图示瞬时，曲面的曲率半径为R，轮心O的速度为vO，切向加速度为ato，试求圆轮边缘上A、B、C三点的加速度。

变更三者之一都将改变力对物体的作用效果
作用在刚体上的力是滑移矢量(sliding vector):
将力
F
的作用点沿着其作用线由A移动到B：
F
F
F
MO

dLO dt
F maC
C A F
O
B
• 不改变对刚体质心运动的影响
• 对参考点O的力矩不变 对刚体转动的影响不变
均质物体


rC
rdV
V
dV
V
2011年12月7日 8:00-9:50
7.2 刚体的动量和质心运动定理
2
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
角动量定理:
(MOi )ext

dLO dt

(O: 固定点或刚体质心)
外力的力矩使刚体 绕空间某点转动
适用于刚体 的一般运动
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
5
7.2.2 基本动力学方程
2. 内力对刚体运动的影响
• 不影响刚体质心的运动和刚体的角动量； • 内力所作的总功为零
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
9
7.2.4 力偶和力偶矩
1. 力偶(couple):
大小相等、方向相反、彼此平行且非共线的一对力.
合力为零不影响刚体的平动 只影响刚体的转动 力偶矩

2 =0.2 × (-2)=-0.4 m/s aM= r
B
vM
M
aM
r A
aMn

O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？

7.5
第 7章
二、角速度ω
刚体转动的快慢用角速度来度量：
刚体的基本运动
7.2 刚体的定轴转动
* t
t →0
(1) 平均角速度

(2) 瞬时角速度
lim * lim
d t →0 t dt
单位为，式(7.2)表明：“转角φ对时间t的一阶导数，称为刚 体的角速度”。 ω为代数量，当dφ＞0时，ω＞0；当dφ＜0时，ω＜0。工程上 常给出转速n(单位为r/min)，换算：
z

ρ M O
M

M0


(b)
(a)
7.9
图7.6 刚体绕z轴转动
第 7章
一、M点的运动方程
刚体的基本运动
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
若以MO为计算起点，则当刚体转动φ角时，由图7.6(b)可知：
s f (t )
(7.9)
上式为用自然法表示的M点的运动方程。
二、M点的速度
0 0t t 2
1 2
2 0
2 2 0
7.8
(7.8)
第 7章
刚体的基本运动
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
工程上经常需要知道转动刚体的运动与刚体上一点的运动关系。即刚体整 体的运动和体内一点的运动关系。如：齿轮的转速和圆周上一点的速度的关系 等。现在来讨论这个问题。 设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到转动轴的距离 为ρ，M点的轨迹是半径为ρ的一个圆，如图7.6所示。
图7.5 刚体转动
2πn 60
式中n的单位为r/min。
7.6
(rad/s)
第 7章