高考数学测试卷三角形“四心”的一种向量表示

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 例(一)．将平面向量与三角形心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）BCHA图6（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则A BC A OB A OC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++uu u r uu r uu r uu u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222O C O B O A ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A O B A O C B O C ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠uu u r uu u ruu u r uu u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=uu u r uu u r uuu r，由平行四边形性质知12OE OD =uu u r uuu r ，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

高中数学三角形的“四心”的向量表示
三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。

证明：由
，得，即，所以。

同理可证。

故O为△ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。

证明：由
，得
，所以。

同理可证。

容易得到
由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心。

证明：由，得。

设BC边中点为M，
则，所以，即点G在中线AM上。

设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。

结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。

证明：由，得
，得。

由结论3知点G为△ABC的重心。

结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足
，则点P为△ABC的内心。

证明：由于
，可得。

设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。

因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。

由，知点P在∠A的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。

故点G为△ABC的内心。

结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以
同理得
由题意得
，所以，得。

故点O为△ABC的外心。

三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

● 与“重心”有关的向量问题【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'A【命题2】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.● 与“垂心”有关的向量问题【命题3】P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同图⑴图⑵理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.【命题5】若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的垂心 证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+∙=+∙得()0HA HB CA CB BA +--∙= 即()0HC HC BA +∙= AB HC ∴⊥图⑶ 图⑷A同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题【命题6】已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.【命题7】已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心． 【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分图⑸图⑹B。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

高中数学：三角形“四心”的向量表示
平面向量是历年高考必考的热点与重点，一般为中档偏易的选择题或填空题，命题突出考查向量的基本运算与工具性，并渗透对数学运算和数学建模等核心素养的考查。

在解答题中常和三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系等问题相结合，主要以已知条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等。

例题
解题反思
该题中利用了三角形重心的性质——到顶点的距离等于其到对边中点距离的2倍.在求解最值时，根据已知和目标代数式的结构特征直接利用了基本不等式。

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方法总结
三角形“四心”的向量表示
▍ 来源：综合网络。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 例(一)．将平面向量与三角形心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）BCHA图6（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是AABC 的重心 O OA+OB + OC=0=AAOe = AAOB若0 是AABC 的重心，则“g AAX一故OA+OB + OC = 0；PC = 4-(戸N + RS + OG 为A4BC的心.ABoe △ABC2. 0 是AABC的垂心o OA OB =OB OC = OC・OA ；若0是AABC （非宜角三角形）的垂心，则^ABOC：S MO"S DB = tan A：taii B：taii C 故tan AOA + tan BOB + tan COC= 03. 0 是AABC的外心o lOAimOBITOCI (或dX? =OB^ =OC^)若0 是AABC 的外心则'ABOC：S^OB = sinZBOCtsinZAOC ：slnZAOB = $ln2A ; sIn2B:sln2C故sInZAOA + slnlBOB + sInZCOC =CAI CAI ICBI4. 0是内心AABC的充要条件是6^"珞-篦川页务-壬引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记而,，不的单位向量为引，则刚才0是IBCIAABC 内心的充要条件可以写成OA. (Cj+63)= OB.(e,+€2)= 00.(62+63) = 0AABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB+cOC = 0 。

若o是AABC的内心，则S QM； S4WB = 3： bj c故aOA + b 而 + cOC = OsSsInAOA + sInBOT + sInCOC = 0I丽1疙+|5?1莎+1乙5lP5 = 6oP是AABC的内心;向助鴿+ 所在直线过WC的内心（是ZBAC的角平广n分线所在直线）;（一）将平面向量与三角形内心结合考査例1. 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OA + 2(AB AC —+）,A € [0,4-3）JOO P点的轨迹一定通过M3C的（）A Cl（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心4 R解析：因为A"_是向量廳的单位向量设廳与疋方向上的单位向量分别为勺和又AB "OP-OA = AP,则原式可化为川>=久2|+勺），由菱形的基本性质知AP平分Z3AC,那么在MBC中，AP平分ZBAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理”例2. 〃是△磁所在平面内任一点，HA H B^HB HC^HC HA O点〃是△磁的垂心.由蔽帀=帀汞0帀蔽-丽=0 0市益-oo丽丄衣,同理花丄而，HA±^•故〃是△磁的垂心•（反之亦然（证略））例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，若PA・PB = PB、PC = P CPA,则P是ZkABC的（D ）D.垂心A.外心B.内心C.重心解析：由莎•而=而•尢得莎而一而药=0.即PB・（PA — PC）=（X即PB・C4 = 0则PB丄（X同理PA丄BUPC丄AB所以P为MBC的垂心•故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考査“重心定理”例4. G是△磁所在平面内一点，刃+而+云=0o点G是△磁的重心.线. 证明作图如右，图中^ + GC = GE连结朋和⑦ 则d包，庞曲70 磁F为平行四边形=>e是％的中点，Q为％边上的中将而+云=52代入方+而+炭=0,得^ + ^=0=> ^ = -GE = -2GD,故G是△磁的重心•（反之亦然（证略））例5. P是△磁所在平面内任F G是△磁的重心。

三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴图2而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴ 变式：已知DE F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GCCF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足图3⎪⎭⎫⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：由已知得()AP AB AC λ=+，设BC 的中点为D ，则根据平行四边形法则知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，故P 的轨迹过△ABC 的重心，选C.题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心 解：由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+，由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C =，∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+，设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A .题7：已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++(,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点解：CP OP OC =-=1[(1)(1)2(1)]3OA OB OC λλλ-+---=1[()()]3OA OC OB OC λ--+-=1()3CA CB λ-+,由平行四边形法则知CA CB +必过AB 边的中点，注意到0λ≠，所以P 的轨迹在AB 边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：若OA OB OC ++= 0, 则OA OB OC +=-，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAC 1B ，设OC 1与AB 交于点D ，则D 为AB 的中点，有1OA OB OC +=，得1OC OC =-，即C 、O 、D 、C 1四点共线，同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线，所以O 是△ABC 的重心. 选C .题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：由已知得3PO OA OP OB OP OC OP =-+-+-，∴33PO OP OA OB OC +=++，即OA OB OC ++= 0，由上题的结论知O 点是△ABC 的重心. 故选C .例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

用向量表示三角形的四心由高中数学新教材中的向量知识出发，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.【例】 如图9-5-14，在△ABC 中，F 是AB 上的一点,E 是AC 上的一点,且FB AF=l m ,EC AE =l n(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数)，连结CF 、BE 交于点D.求D 点的坐标.解：在平面上任取一点O ，连结O A 、O B 、O C 、O D 、O E 、O F ，由定比分点的向量表达式，得：OF =(OA +l m ·OB )÷(1+l m)=m l OB m OA l +•+• ①=l n l n+•+1=n l OCn OA l +•+• ② 又=λλ+•+1=u u +•+1 ③(其中DC FD =λ,u DE BD=).整理①、②、③式得λ=1+m n.所以OD =n m l l ++OA +n m l m ++OB +n m l n++OC ④由④式出发，可得三角形四心的向量表达式：（1）若BE 、CF 是△ABC 两边上的中线，交点G 为重心.由④式可得重心G 的向量表达式：OG =31(OA +OB +OC ).（2）若BE 、CF 是△ABC 两内角的平分线，交点I 是内心.因为FB AF =a b ,EC AE =a c,由④式可得内心I 的向量表达式： OI =c b a a ++OA +c b a b ++OB +c b a c++OC .（3）若BE 、CF 是△ABC 两边上的高，交点H 是垂心.EC AE =C a A c cos cos ••=A aCccos cos . 同理FB AF =A a Bbcos cos .由④式可得垂心H 的向量表达式：=OA C c B b A a C a cos cos cos cos +++C c B b A a C b cos cos cos cos +++C c B b A a C ccos cos cos cos ++.（4）若BE 、CF 的交点O ′是△ABC 的外心，即三边中垂线交点，则O ′A=O ′B=O ′C.根据正弦定理：EC AE =CBE C BE EBA ABE ∠•∠•sin sin sin sin =)(21sin sin )(21sin sin C BO A B AO C '∠-•'∠-•ππ =A A C C cos sin cos sin ••=A C2sin 2sin . 同理FB AF =A B2sin 2sin . 由④式可得外心O ′的向量表达式：OO =C B A A 2sin 2sin 2sin 2sin ++OA +C B A B2sin 2sin 2sin 2sin ++OB +OC C B A C 2sin 2sin 2sin 2sin ++.这四个向量表达式，都由④式推出，都有着各自轮换对称的性质.好记，好用!新教材的优越性,由此可见.。

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：1．“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA ＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13(PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33. (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心．(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心．(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心．2．关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．[解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，根据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之．[例2] 已知△ABC 内一点O 满足关系OA ＋2OB ＋3OC ＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值．[解] 延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1，如图所示，则1OB ＝2OB ，1OC ＝3OC ，由条件，得OA ＋1OB ＋1OC ＝0，所以点O 是△AB 1C 1的重心．从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积，所以S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. [点评] 本题条件OA ＋2OB ＋3OC ＝0与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC ＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA ＋λ2OB ＋λ3OC ＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证：△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ，易知OG ＝OA ＋OB ＋OC 2，对于△ABC 的垂心H ，设OH ＝m (OA ＋OB ＋OC )，则 AH ＝AO ＋m (OA ＋OB ＋OC )＝(m －1) OA ＋m OB ＋m OC .由AH ·BC ＝0，得[(m －1) OA ＋m OB ＋m OC ](OC －OB )＝0，(m －1) OA ·(OC －OB )＋m (OC 2－OB 2)＝0， 因为|OC |＝|OB |，所以(m －1) OA ·(OC －OB )＝0.但OA 与BC 不一定垂直，所以只有当m ＝1时，上式恒成立．所以OH ＝OA ＋OB ＋OC ，从而OG ＝13OH ，得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系：HG ＝13(HA ＋HB ＋HC )． [点评] 这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量．[例4] 设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5 是平面内给定的5个不同点，则使1MA ＋2MA ＋3MA ＋4MA ＋5MA ＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10[解析] 根据三角形中的“四心”知识，可知在△ABC 中满足MA ＋MB ＋MC ＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个．[答案] B[点评] 本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的详细解答过程如下：对于空间两点A ，B 来说，满足MA ＋MB ＝0的点M 是线段AB 的中点；对于空间三点A ，B ，C 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＝0，可认为是先取AB 的中点G ，再连接CG ，在CG 上取点M ，使MC ＝2MG ，则M 满足条件，且唯一；对于空间四点A ，B ，C ，D 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD ＝0，可先取△ABC 的重心G ，再连接GD ，在GD 上取点M ，使DM ＝3MG ，则M 满足条件，且唯一，不妨也称为重心G ；与此类似，对于空间五点A ，B ，C ，D ，E 来说，满足MA ＋MB ＋MC ＋MD ＋ME ＝0，可先取空间四边形ABCD 的重心G ，再连接GE ，在GE 上取点M ，使EM ＝4MG ，则M 满足条件，且唯一．。