谈立体几何教学

谈立体几何教学 戴喜 学习要点

1. 如何解决立体几何内容过多、课时不足的问题？

2. 如何把握判定定理、性质定理的不同处理方式？ 3. 三视图的学习要求与初中阶段有何不同？ 4. “立体几何初步”安排“空间几何体”一节内容的意图是什么？ 5. 立体几何初步为何不讲三垂线定理？ 6. 为什么要学习空间直角坐标系？ 7. 如何检验学生的达成情况？

各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块2-9立体几何部分解读，将邀请戴喜老师主讲。戴喜老师是南京市金陵中学教师，南京市优秀青年教师，全国优质课评比一等奖。下面请戴老师就高中数学模块2-9立体几何部分予以解读。

我们就这一部分的内容结构、编排思考、教学建议以及达成评价情况请戴老师以几个问题的形式给予讲解。

那么第一个问题，如何解决立体几何内容过多、课时不足的问题？ 数学必修2中的这个“立体几何初步”部分，从实际的教学情况来看，教师普遍都认为内容多、课时紧，教和学都比较吃力。根据普通高中数学课程标准，立体几何部分大概18课时，而传统的“直线、平面、简单几何体”部分也要需要36课时，因此，仍然按照原来的模式来教学肯定是行不通的，这也不符合课标的要求。

所以我们的教学时特别要注意这么几个方面： 第一个，我们在教学当中，只需要了解“角”，这里包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，以及“距离”包括点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离和两个平行平面之间的距离这些概念，而对于计算不要作太深的要求。这是因为文科的学生是不学“空间向量与立体几何”，这一部分将在选修2-1当中学习，因此必修2“立体几何初步”的学习重点应放在定性研究上，过多的增加和补充“角”与“距离”的计算显然是不合适的。 教学时我们还要特别注意： 判定定理是可以借助长方体等立体模型，只要通过直观感知、操作确认后归纳得出就可以了，不必进行严格的证明，因为这一部分我们将在“空间向量与立体几何”中继续证明。

请问戴老师我们如何把握判定定理、性质定理的不同处理方式呢？ 我们新教材对于判定定理不要求证明是有多种用意： 第一点就是合情推理与逻辑推理的有机结合。 合情推理包括归纳和类比等，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。合情推理和演绎推理联系紧密、相辅相成。我们记得波利亚曾经说过“数学家创造性的工作是论证推理，也就是证明。但这个证明是通过合情推理和通过猜想来发现的”。

新教材包括我们的课标对于判定定理和性质定理的不同要求，是为了教师提供了一个培养学生合情推理能力的极好素材。教学时对判定理和性质定理一视同仁，一一加以证明，有悖于课标的初衷，不仅增加了教学负担，也错失了一个培养学生合情推理能力的机会。

合情推理与逻辑推理的有机结合，可以避免以往几何课程中以论证几何为主线展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生带来的困难，有利于学生在自然的探索中学习数学的思考方式。

第二点，这种安排方式也规避了一个教学难点。 比如说大家所熟知的线面垂直的判定定理的证明，在以往的教材中就是一个教学难点，新教材通过直观感知和操作确认，再归纳得到的线面垂直的判定定理，这种处理方式，使教学过程更加流畅，学生更容易接受。

当然，合情推理不能代替证明。我们可以告诉学生，在后续的学习中，我们不难运用向量的工具就可以完成这些判定定理的证明。

那么请问戴老师，“立体几何初步”安排“空间几何体”这一节内容的意图是什么呢？ 以往我们立体几何的处理方式都是从局部到整体，也就是从点、线、面到柱、锥、台，而新教材的处理方式而是从整体到局部，先看到了柱、锥、台，再到点、线、面，再到后续的度量计算，强调通过“直观感知→操作确认→思辨论证→度量计算”的这个过程，这种方法认识在探索几何图形及其性质，比较符合学生的学习几何的认知规律。

设置空间几何体这一节还有这样的一些意图： 第一点，降低了学习起点，为后续的学习做好铺垫。 本节实际上也可称为直观立体几何，它的要素有，比如说我们对空间几何体的观察，比如说我们对空间几何体结构特征的认识以及三视图对这些内容的理解，我们会画出直观图。这些内容都为下一节的学习包括逻辑推理，都提供了一个载体，比如说我们见到的长方体这种模型，那么学生得到这些立体的过程中，它就有一个丰富的背景，为后续的学习就会提供很大的帮助。

我们在这里设置空间几何体这一节还有这样的想法： 是从动和静两个方面来认识几何体。以前我们对圆柱、圆锥、圆台、球都是采用运动的观点，就是旋转的观点来揭示外部特征的，棱柱、棱锥和棱台在这里呢，我们也采用了运动的观点，比如说采用的是平移、收缩来描述的，这种刻画的优点就是它的形象直观，把柱锥台的问题和圆柱圆锥圆台的问题就统一起来了，那么也便于我们制作多媒体课件进行演示，有利于提高学生的学习的兴趣和提高他们的空间想象能力。

那请问戴老师，三视图的学习要求与初中阶段有什么不同呢？ 这里边其实学生在初中阶段的确也学习过三视图，但初中阶段的三视图主要以定性为主，我们会判断找出与三视图对应的那个直观图，高中阶段所学的三视图它除了在定性分析的基础上，还有了一个定量的要求。比如说，这里边要求学生要理解主视图、俯视图、左视图之间它的“长对正，高平齐，宽相等”的这个含义以及三视图在位置上的这些要求。那么通过画几何体的三视图，可以进一步加深学生对于几何体的结构的认识。

当然，在三视图这个问题上，我们教学的时候，还是要控制下难度的，我们仅限于对于长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱这样的一些简单的几何体的简易组合，比如说我们看到有些问题当中让学生画一个三棱锥的三视图，那么这个就明显超出了要求。另外，我们让学生画三视图的时候，一定要先给出一个正视的方向，这样才便于学生来作图。

也就是说，我们不要过多的拔高我们的难度。那么请问戴老师，立体几何初步为何不讲三垂线定理？

新教材不讲三垂线定理，我们的三垂线定理它是以一个结论的形式出现在了后续的习题当中，但是也没有提到“三垂线定理”这个词，这样处理的理由有几个方面：

第一个，三垂线定理的确是在作出二面角的平面角的时候比较方便，但是必修2的“立体几何初步”这一部分内容，它的重点是放在定性研究，定量的处理我们是在选修2-1这个“空间向量与立体几何”当中来完成。利用空间向量，那就不必通过作出这个二面角的平面角来求这个二面角的大小，只要计算这两个平面法向量就可以了。所以在这个内容当中，三垂线定理就失去了它的一个作用。这是第一点。

第二点，三垂线定理本身在证明方面它的价值并不是很大的。一个是因为这个定理的叙述比较长，要涉及到斜线、射影等诸多概念；第二是三垂线定理与三垂线定理的逆定理也让一些学生非常迷惑，不知道哪一个是定理，哪一个是逆定理，运用的时候难免张冠李戴；第三是，三垂线定理并不是一个知识链上很重要的一环，比如说对线面垂直、线面平行的判定，包括线面平行的性质定理，包括面面平行的判定和性质定理，相比较而言，三垂线定理它不是一个很重要的环节，而且它的证明也非常简单，所以在这个证明的问题上，缺它也无所谓，那么对于熟悉三垂线定理的那些教师来讲，可能不是很习惯，但对于学生而言，这一点应该不会有太大的影响。

那戴老师，能不能请您用几个具体问题来说明如何去检验学生的达成情况呢？ 在立体几何这一部分当中呢，我们的确是需要一些习题来检测学生的达成情况。 比如说这一道题，它是给出了一个立体的三视图，那么根据三视图让我们来判断一下这个四面体的四个面当中面积最大的是多少。我觉得这一道题就能够比较好地检测学生的空间想象的能力，因为它需要先根据这个三视图来想象出这个立体图形，最好能把这个立体图形的直观图画出来，从而再去想象出它的四个面的面积情况，当然也可以去想象出这个立体图形的体积情况，应该说这种问题应该比较适合能检测学生对于知识的一个达成情况。

你再比如说这道题，它是一个让我们来求证面面垂直和线面平行的问题，这个题目并不是很难，但是呢，它能够很好地检查学生对于线面关系，面面关系的判定和性质定理的掌握情况。尤其是这里面有一个底面ABCD是菱形，那我们对于底面ABCD的研究，就需要把这个立体的问题转化为平面的问题，而这也真是立体几何的研究问题的基本思路。所以我认为这样的问题可以更好的来检验学生的达成情况。

我们今天就如下问题： (1)如何解决立体几何内容过多、课时不足的问题？ (2)如何把握判定定理、性质定理的不同处理方式？ (3)在新教材中，三视图的学习要求与初中阶段有何不同？ (4)“立体几何初步”安排“空间几何体”一节内容的意图是什么？ (5)立体几何初步为何不讲三垂线定理？ (6)为什么要学习空间直角坐标系？ (7) 如何检验学生的达成情况？ 这几个问题和戴老师进行了讨论。 在这里我们给学员们留下几个问题： (1)学好立体几何需要有较好的空间想象能力，我们对如何培养学生的空间想象能力，有什么具体的策略？

(2)在立体几何教学中，如何进行立体几何和平面几何的类比？ 本讲的节目就到这里，谢谢！ 各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块2-9立体几何部分解读，将邀请戴喜老师主讲。戴喜老师是南京市金陵中学教师，南京市优秀青年教师，全国优质课评比一等奖。戴喜老师将就杨佳冬老师的教学案例《平面与平面的位置关系——两平面平行》这节课给予点评。

下面，请各位学员观看面向中等偏上水平学生的一节《平面与平面的位置关系——两平面平行》这节课的案例。

好！刚才，我们一起观看了杨佳冬老师的一节课，下面请戴喜老师给予点评。