《向量法解决立体几何问题》教学设计

人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思1. 教学目的本节课是人教B版选修2课程的一部分，主要教授空间向量在立体几何中的应用。

本课程将帮助学生：•深入理解空间向量的概念及其运算法则•掌握将空间向量应用于立体几何中的方法和技巧•发展自己的独立思考能力和解决问题的能力2. 教学内容2.1 知识点本节课的重点知识点为：•空间向量的定义•空间向量的基本运算法则•点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法•空间向量在几何问题中的应用2.2 教学步骤本节课教学步骤如下：第一步：导入教师简单介绍空间向量及其基本运算法则，引发学生对此概念的兴趣。

第二步：概念讲解教师详细讲解空间向量的概念，以及点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法。

为了增强学生的理解，教师可以使用相关的图形和实例进行讲解。

第三步：举例说明教师通过几个实例，向学生展示如何使用空间向量解决立体几何问题。

在示例中，教师应尽可能地让学生自己思考并尝试解决问题，同时指导学生正确的解决方法，让学生深入理解知识点。

第四步：练习安排学生进行一定数量和难度的练习，让学生掌握应用相关知识解决问题的方法和技巧。

第五步：讲解与总结最后，教师应总结本节课的主要内容，并对学生的问题进行讲解和解答。

3. 教学反思本节课的教学方法主要采用“以实例为主，以问题为导向”的方式，让学生能够在探究中理解和掌握知识点。

这种探究式学习的方法能够有效激发学生的主动学习意识和自主学习能力。

在实际教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，让他们能够独立思考和解决问题。

同时，教师还应充分利用技术手段，如音视频、实例演示等方式进行综合教学，探索出适合学生的多元化、个性化的教学方式。

在上述教学步骤中，教师尤其需要注意：•难度掌握：教师在设计实例和练习时，应根据学生的实际情况及能力水平，掌握好难度，以确保学生的接受能力和理解能力•差异处理：同学的学习能力和理解能力会存在差异，教师需要采用差异化教学方法，根据学生的特点进行教学•评估方法：教师应采用多种评估方法，对学生进行全面评价，如通过小组讨论、思维导图、课堂测验等方式，合理衡量学生的学习成果和进步情况总之，人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教学，应侧重于实践探究和知识应用，培养学生的独立思考和解决问题的能力，让学生能够掌握并应用相关知识，提高学生的立体几何解题能力，为日后的数学学习打下基础。

空间向量在立体几何中的应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解空间向量的概念和性质，掌握空间向量的基本运算法则。

2.能力目标：能够应用空间向量的知识解决立体几何中的问题，如线段长度、向量共线、线段垂直等。

3.情感目标：培养学生的观察力和分析问题的能力，增强解决问题的自信心。

二、教学重点与难点1.教学重点：空间向量的概念和运算法则。

2.教学难点：将空间向量的知识应用到立体几何问题中。

三、教学准备白板、黑板笔、投影仪、屏幕、计算器等。

四、教学过程Step 1 引入1.教师出示两个立方体模型并提问：你们能用线段表示两个立方体顶点之间的距离吗？2.引出空间向量的概念，并与平面向量进行比较，说明二者的区别。

Step 2 理论讲解1.教师通过投影仪将空间向量的定义、表示和性质呈现给学生，学生做好笔记。

2.教师讲解空间向量的基本运算法则，例如加法、数乘和点乘，并通过具体的例题演示计算过程。

Step 3 实例分析1. 教师出示一道题目：“已知直线l: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$，过直线l上一点A(2,3,4)，作与直线垂直的平面，并找出平面与原点O(0,0,0)的距离。

”2.请学生先思考如何解决这个问题，然后汇报自己的解题思路。

3.教师引导学生运用空间向量的知识来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 4 拓展应用1.教师设计一道拓展题：“已知线段AB与线段CD的中点E重合，向量BD的坐标为(1,2,3)，向量CE的坐标为(4,5,6)，求向量AD的坐标。

”2.学生尝试解答，提出自己的解题思路。

3.教师引导学生应用向量共线的性质来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 5 总结与归纳1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结空间向量的基本性质和运算法则。

2.学生通过小组合作的方式归纳学习过程中的思考和解题方法。

立体几何中的向量方法教案第一章：向量基础知识回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（箭头表示法和平面向量表示法）。

通过实例讲解向量的长度和方向。

1.2 向量的运算向量的加法、减法和数乘运算规则。

利用图形和实例演示向量加法、减法和数乘的运算过程。

1.3 向量的坐标表示二维和三维空间中的向量坐标表示方法。

利用坐标轴上的点表示向量的起点和终点，推导向量的坐标表示。

第二章：向量在立体几何中的应用2.1 向量在空间解析几何中的应用利用向量表示空间中的点、直线和平面。

讲解如何利用向量求解空间中的距离、角度和夹角。

2.2 向量与空间几何图形的关系向量与线段、射线、直线的关系。

利用向量研究空间中点、线、面的位置关系和相互转化。

2.3 向量与空间角的计算利用向量计算空间中的角度和夹角。

讲解向量点积和向量叉积的概念，并应用于空间角的计算。

第三章：向量在立体几何中的线性方程组3.1 向量线性方程组的定义和性质介绍向量线性方程组的概念和基本性质。

讲解向量线性方程组的解的存在性和唯一性。

3.2 向量线性方程组的求解方法利用高斯消元法求解向量线性方程组。

利用矩阵和行列式的方法求解向量线性方程组。

3.3 向量线性方程组在立体几何中的应用利用向量线性方程组求解空间中的点、直线和平面的位置关系。

讲解向量线性方程组在立体几何问题中的应用实例。

第四章：向量在立体几何中的几何意义4.1 向量的模和长度向量的模和长度的定义及性质。

利用向量的模和长度研究立体几何图形的大小和形状。

4.2 向量的方向和角度向量的方向和角度的定义及性质。

利用向量的方向和角度研究立体几何图形的位置关系和角度大小。

4.3 向量的夹角和向量积向量的夹角的定义及性质。

利用向量积研究立体几何图形之间的相互关系和角度大小。

第五章：向量在立体几何中的综合应用5.1 向量在立体几何中的举例应用利用向量解决立体几何中的距离和角度问题。

利用向量求解空间中的点、直线和平面的位置关系。

空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课 授课班级：高二（9）班 授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感， 从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法启发式教学、讲练结合 教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型 新授课教学过程一、知识的复习与引人 自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ， 直线l 2的方向向量为2l ， 直线a 的方向向量为a ， 直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。

立体几何中的向量方法教案教案标题：立体几何中的向量方法教案教案目标：1. 了解立体几何中的向量概念和基本性质。

2. 掌握运用向量方法解决立体几何问题的技巧和方法。

3. 培养学生的空间思维和几何推理能力。

教学重点：1. 向量的定义和性质。

2. 向量在立体几何中的应用。

3. 向量运算在解决立体几何问题中的作用。

教学难点：1. 运用向量方法解决立体几何问题。

2. 空间几何推理能力的培养。

教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算机、几何软件等。

2. 学生准备：教材、笔记本、几何工具等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些立体几何图形，引起学生的兴趣。

2. 提问：你们对立体几何中的向量有什么了解？二、知识讲解（15分钟）1. 向量的定义和性质：a. 向量的表示方法。

b. 向量的加法和减法。

c. 向量的数量积和向量积。

2. 向量在立体几何中的应用：a. 向量的方向和模长在立体几何中的意义。

b. 利用向量表示线段、向量共线和垂直关系。

c. 利用向量表示平面和平行关系。

三、示例分析（20分钟）1. 结合具体的立体几何问题，演示如何运用向量方法解决问题。

2. 引导学生参与讨论，分析解题思路和方法。

四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 针对难点问题进行讲解和解答。

五、拓展应用（10分钟）1. 提供一些立体几何的拓展问题，要求学生运用向量方法解决。

2. 引导学生思考如何将向量方法应用到实际问题中。

六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课所学的立体几何中的向量方法。

2. 学生分享对本节课的收获和感想。

教学延伸：1. 引导学生自主学习更多立体几何中的向量应用。

2. 布置作业，要求学生运用向量方法解决相关问题。

教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和问题解决能力。

2. 批改学生的练习题和作业，评价他们的掌握程度。

教学资源：1. 教材：立体几何教材。

2. 投影仪、计算机、几何软件等。

立体几何中的向量方法的教学设计（五篇）第一篇：立体几何中的向量方法的教学设计《立体几何中的向量方法》的教学设计一、教材分析本节课是坐标法与向量有效结合的典型范例，有利于培养学生利用向量解决立体几何问题的能力。

二、教学目标通过类比平面内的点、线的位置可以由向量来确定，引导学生理解空间内的点、线、面的位置也可以由向量来表示，并进一步探究用空间向量的运算来表示空间线、面的位置关系。

从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用。

从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。

三、教学重点、难点由于建系求点坐标是向量方法中最大的障碍，所以把坐标法与向量法结合作为重点，而适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线作为难点。

四、教学手段用几何画板直观展示图形给学生立体感，通过问题链让学生有效地进行数学思维。

五、教学流程1、新课导入：同学们，在前面的学习中，我们已经接触过一些用空间向量的运算方法，所以这节课我们将使用一些用空间向量知识证明点、线、面的位置关系。

为了运用向量来解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？2、经典例题讲解：<例一> 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证：CC1⊥BD.分析：题目是让我们求证CC1⊥BD，我们可以利用向量垂直的方法来试着证明CC1.BD =0 <例二> 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点，求证：A1E⊥平面DBC1。

分析：该题主要是考察学生是否可以根据已知题目给出的信息将建立空间直角坐标系，本题以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，连接BD以BD为y轴，Z轴则平行与CC1建立了D-XYZ的空间直角坐标系。

思路探寻立体几何问题的命题方式较多，常见的有证明线面平行、求二面角、求点到平面的距离等.由于立体几何问题对同学们的空间想象和运算能力有较高的要求，所以对大部分的同学来说，解答这类问题存在一定的难度.若根据题意和几何图形的特点构造空间向量，则可利用向量法，简便、快速地求得问题的答案.接下来，通过几个例题介绍一下如何巧妙运用向量法解答立体几何问题.一、运用向量法求点到平面的距离一般来说，求点到平面的距离，可以运用定义法、等体积法、向量法.运用向量法求点到平面的距离，要先求出平面的一个法向量n ；再求出一个已知点P 与平面内任意一点M 的方向向量MP ，可得点P 到平面的距离为d =| MP |∙|cos < n , MP >|=| n ∙ MP || n |，其中| MP |是向量 MP 的模，| n |是平面的法向量n 的模.例1.如图1所示的多面体是由底面为ABCD 的长方形被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB =4，BC =2,CC 1=3,BE =1.试求点C 到平面AEC 1F 的距离.解：以DA 、DC 、DF 为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0),C (0,4,0),E (2,4,1),C 1(0,4,3)，CC 1=(0,0,3)，设F 点的坐标为（0，0，z ），由于AEC 1F 为平行四边形，所以 AF =EC 1，又 AF =(-2,0,z ), EC 1=(-2,0,2)，即z =2.设n 为平面AEC 1F 的一个法向量，因为 n 不垂直于平面ADF ，所以设 n =(x ,y ,1)，于是{n ∙ AE =0， n ∙ AF =0，即{4y +1=0，-2x +2=0，解得ìíîx =1，y =-14，设 CC 1与n 的夹角为α，可得cos α=| CC 1∙ n || CC 1|∙| n |=31，则点C 到平面AEC 1F 的距离为d =|CC 1cos α|=3×.先根据图形的特点建立空间直角坐标系，得到 CC 1；然后求出平面AEC 1F 的法向量，即可利用公式d =| CC 1|∙|cos < n , CC 1>|=| n ∙CC 1|| n |求解.在求平面的法向量时，可采用待定系数法，先设出平面的法向量；然后根据法向量与平面内的两个直线垂直的关系，建立方程组，解该方程组即可求出待定系数、法向量的坐标.二、运用向量法证明线面平行由线面平行的判定定理可知，要证明线面平行，只要证明直线与平面内的两条相交直线平行即可.但有时候很难在平面内找到两条相交的直线与已知直线平行，此时，可建立合适的空间直角坐标系，求得平面外一条直线的方向向量 l 和平面的法向量n ，只要证明 n ∙l =0，就说明直线l 与平面平行.例2.如图2，在直三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P =A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D ，求证：PB 1//平面BDA 1.图2图3证明：如图3所示，以A 1为原点，以 A 1B 1, A 1C 1,A 1A为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,2,0),B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,0.5)，所以 PB 1=()1,-2,0, BD =æèöø-1,1,-12, BA 1=(-1,0,-1)，设平面BDA 1的法向量为n =(x ,y ,z )，由ìíî BD ∙n =0，BA 1∙ n =0，得{-x +y -0.5z =0，-x -z =0，不妨令z =2，则x =-2，y =-1，可得n =(-2,-1,2)，则 PB 1∙ n =1×()-2+()-2×()-1+0×2=0，得 PB 1⊥ n ，所以PB 1//平面BDA 1.先建立空间直角坐标系，求得 PB 1、 BD 、BA 1，根据BD 、 BA 1垂直平面BDA 1的法向量，建立方程组，求得法向量n ，并证明 PB 1∙ n =0，即可证明平面BDA 1的法向量n 与PB 1的方向向量 PB 1垂直，这就说明PB 1//平面BDA 1.求解空间几何中的二面角、线面角等问题，也可以采用向量法.运用向量法求解立体几何问题，一要寻找题目或图形中的垂直关系，有时可以作一个平面的垂线，以建立方便求点的坐标的空间直角坐标系；二要熟记并灵活运用一些空间向量的运算法则、公式、定义等.（作者单位：江西省南昌市第十九中学）肖雪芝图147Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

《立体几何中的向量方法》教学设计一、教材分析：本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系，主要是平行。

在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

二、教学目标；A. 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.（数学抽象）B.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.（数学抽象）C.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.（逻辑推理）D.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.（逻辑推理、数学运算）1.教学重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系2.教学难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系三、学科素养；1.数学抽象：直线的方向向量与平面的法向量2.逻辑推理：直线、平面平行关系的判定；3.数学运算：空间向量的坐标运算解决直线、平面的平行关系.四、教学过程（一）情境导学上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间里向量解决了一些立体几何问题，初步体会了空间向量在解决立体几何问题中的作用，这一节我们将进一步学习立体几何中的向量方法。

立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。

【设计意图】引导学生回顾空间中线线、线面、面面的位置关系，利用空间里向量解决一些立体几何问题的方法，实现将空间几何问题代数化的基本思想。

（二）探究新知思考1：我们取一定点O,对于空间中的任意一点P能否用向量来刻画它的位置？学生：教师：当OP确定时点P位置是确定的，反之，如果点P位置确定，则有唯一的OP，所以我们可以用OP 来刻画点P 的位置。

空间向量与立体几何教案教案：空间向量与立体几何一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握空间向量的基本概念和运算法则，并能够运用空间向量解决立体几何问题。

2.过程与方法目标：培养学生的观察能力和逻辑思维能力，通过实例分析和综合运用，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。

3.情感态度目标：培养学生的合作学习精神，增强学生对数学的自信心和探究精神。

二、教学重点难点：1.教学重点：空间向量的概念、性质及运算法则。

2.教学难点：如何灵活应用空间向量解决立体几何问题。

三、教学方法：1.教师讲授与学生合作探究相结合的方法。

2.案例分析和综合运用的方法。

四、教学过程：第一节空间向量的概念和性质（40分钟）1.通过引入空间向量的概念，让学生了解空间向量的定义，并掌握向量的表示方法。

2.解释向量的性质，如向量的加法、数乘、共线和共面性质。

3.设计一些简单的例题进行讲解，引导学生掌握和理解空间向量的性质。

第二节空间向量的运算法则（40分钟）1.通过实例引导，让学生掌握向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则。

2.类比二维向量，在立体几何实例中引入空间向量运算，帮助学生理解和应用空间向量运算。

第三节空间向量在立体几何中的应用（40分钟）1.通过立体几何实例，引导学生运用空间向量解决立体几何问题。

2.给学生创设情境，让学生在小组合作的形式下，互相讨论和解决立体几何问题。

3.设计不同难度的立体几何问题，让学生进行综合运用，提高解决问题的能力。

第四节拓展课程与归纳总结（40分钟）1.设计拓展课程，引导学生发现和探究空间向量在其他学科中的应用，如物理、工程等领域。

2.巩固和总结空间向量的知识点，通过小测验和思维导图等方式，让学生检验和反思自己的学习效果。

五、教学资源准备：1.多媒体教学设备和教学课件。

2.各类立体几何教具和实物模型。

3.教科书及参考资料。

六、教学评价与反思：1.课堂提问与讨论，根据学生的回答和互动评价学生的理解和能力。

立体几何中的向量方法教学设计在立体几何的学习过程中，向量方法是一种重要的教学手段。

通过向量方法，学生可以更加直观地理解和应用立体几何的概念和性质。

本文将围绕立体几何中的向量方法进行教学设计，旨在帮助学生提升对立体几何的理解和应用能力。

一、引言在立体几何的学习中，向量方法有其独特的优势。

通过引入向量的概念和运算，可以将立体几何的问题转化为向量的运算问题，简化了问题的分析和求解过程。

同时，向量方法也能够提供一种直观的几何思维方式，使学生更好地理解立体几何的性质和关系。

二、教学目标本教学设计的目标是使学生：1. 理解向量及其在立体几何中的应用；2. 掌握向量的基本运算法则；3. 能够运用向量方法解决立体几何问题。

三、教学内容及步骤1. 向量的定义和性质- 向量的定义：向量是有大小和方向的量，可以用一个带箭头的线段表示。

- 向量的性质：平行向量、共线向量、共面向量等。

2. 向量的表示方法- 基本表示法：- 关于坐标表示法，引入坐标系，讲解向量的坐标表示方法。

- 角度表示法，讲解向量的模长和方向角的概念。

- 运算表示法：- 向量的加法：矢量三角形法则、平行四边形法则。

- 常数倍数乘法：向量与实数相乘。

3. 向量的基本运算- 向量的加法和减法：定义和几何意义，运算法则。

- 向量的数量积和方向角：定义和几何意义，数量积的运算法则，方向角与坐标的关系。

- 向量的夹角和垂直关系：夹角的概念和计算方法，垂直关系的判定条件。

4. 应用实例分析- 利用向量方法解决立体几何中的问题，如点与平面的距离计算、点是否在平面上的判定等。

- 利用向量方法解决棱柱、棱锥、球体等几何体的性质和问题。

5. 综合练习- 设计一些综合性的练习题，要求学生结合向量方法解决问题。

四、教学评价1. 指导学生进行课堂练习的环节，及时纠正学生的错误并给予指导。

2. 结合学生的学习情况，布置课后作业，用于复习和巩固所学内容。

3. 设计一份综合性的考试试卷，测试学生对向量方法的理解和应用能力。

易知 AC 与 BD 的夹角为 0 , ••• CA BD =-AC BD =m.ncos 0课题：向量法解决立体几何问题（1） 个人备课笔录［分析］女口图 3, AC 1=AB BC CC^ AB AD AA 1执笔人：郭炜 2010 。

12.25 单位：江西省宜春市万载中学（ 336100） 课 题：空间向量的运算及其应用（1） 教学目标：理解“数量积”在“异面垂直” 、“求角求距离”等 方面的应用 教学重点：数量积的应用 教学难点：向量的正确分解；夹角公式的应用 教学方法：讲解法、启发引导法 教学过程：一、知识复习：数量积的概念及其性质 二、典型例题分析例 1，如科（1） V — ABC 中，VU BC, VB 丄 AC 求证：VC 丄 AB2 .2 __________________ 2 -. 2 _____________________ . _______ , _________ _______ :. _________ . _______ ..AC , =AB AD AA , 2AB AD 2AB AA 「2 AD AA ,=16+9+25+0+2 • 4 • 5cos60 o+2 • 3 • 5cos60o =85即 | A®85［分析］易知 VA BC 二VA(VC -VB)二 VA VC -VA VB =0①例 4,如图 4, O-ABC 中，OA=8 AB=6, AC=4, BC=5 / OAC=45), / OAB=60),求OA 与BC 所成的角。

［分析］AO AC =84 cos 45= 16、2 ,AO AB =86 cos 60 = 24 ,.AO BC 二 AO (AC - AB) =16、. 2 - 24 ,同理 VB VC -VB VA =0 ②①-②得VA VC -VB VC =0 即(VA-VB) VC =BA VC••• VCL AB例2，如图2, V — ABC 是正四面体，E 、F 分别为VA 、BC 的中点,求证：EF 是VA 与 BC 的公垂线。

3.2 立体几何中的向量方法（一）一、教学目标：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系。

二、教学重点、难点：重点：利用平面的法向量、直线的方向向量，判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。

难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。

三、教学过程：师：在第三章的第一节，我们学习了空间向量及其运算。

现在大家回忆一下学案上的三个问题。

生：填写学案上复习回顾的内容，温故知新。

1.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量；2.共线向量定理:对于空间中任意两个向量（ ），//的充要条件是存在实数。

3.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使。

师：提问三个同学。

师：前面，我们把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些立体几何问题，这节课，我们进一步学习立体几何中的向量方法（引出课题并板书）。

师：立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。

一、用向量表示空间中的点、直线和平面的位置师：在空间中，给定一个参照点O(基点)，你能确定空间中任意一个点P的相对位置吗？生：思考后回答。

师：O P OP OP P 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。

我们把向量称为点的位置向量。

师：在空间中，给定直线上的一个点A 和一个定方向（向量），你能确定这条直线在空间中的位置吗？生：思考后回答。

师：以及一个定方向确定。

一个定点上的位置可以由空间中任意一条直线A l l师：给定平面上的一个点O 和两个定方向（向量），你能确定这个平面在空间的位置吗？生：思考后回答。

师：空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。

师：给定平面上的一个点A 和平面的一个定方向（向量），你能确定这个平面在空间的位置吗？生：思考后回答。

同学个性化教案设计方案日期学生姓名上课时间课时 2教师辅导科目数学学生年级高三学生签字教学目标利用向量法解决立体几何问题教学重点空间向量在立体几何中的应用教学难点立体几何问题的类型及解法授课要点老师教学要点学生活动要点设计目的一、两个重要的空间向量1、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量。

如图所示，在空间直角坐标系中，由),,(),,,(222111zyxBzyxA确定的直线AB的方向向量是2、平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.思考？？？在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a =0且n·b = 0,则n⊥α.求平面的法向量的坐标的步骤二、第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).三、第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组四、第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.五、第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.六、例1 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是平面ABCD的中心,求面OA1D1的法向量.七、立体几何问题的类型及解法八、判定直线、平面间的位置关系（1）直线与直线的位置关系❖不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b例2 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证: C C1⊥BD。

(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L α.①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥α.例3 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A 1E ⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1例4如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.(3)平面与平面的位置关系❖平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2= 0,则α⊥β例52.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.例6 (2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．(2)直线与与平面所成的角若n 是平面α的法向量,a 是直线L 的方向向量,则L 与α所成的角θ=2π -<a,n >或θ= <a,n >-2π .例7 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,高为a 2 ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角（3）二面角❖设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.例8 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90，侧棱SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离九、两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.十、如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量AB在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.十一、∴nnAB d ⋅=即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.例9 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.例10 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AC=BC=1,∠ACB=90,求B1到面A1BC的距离.会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例11 四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4,∠ABC=60, 侧棱PA⊥底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.小结：空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。

立体几何中的向量方法教案向量方法是立体几何中的重要工具，通过引入向量的概念和定理，可以简化很多几何问题的求解过程，提高解题效率。

在立体几何中，向量方法可以用来解决线段、平面、立体体积等多个问题。

一、向量的基本概念1. 向量与点的关系：点A到点B的位移可以表示为向量AB，也可以表示为从原点O出发到点B的位移向量。

2. 向量的大小与方向：向量的大小表示为向量的模，一个向量可以有无数个方向，但是它们都具有相同的模。

3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量之和的大小等于平行四边形的对角线的大小。

4. 向量的减法：向量的减法可以通过取其相反向量后进行加法运算来实现。

二、向量的表示法1. 坐标表示法：向量可以通过坐标表示法来表示，一个向量AB可以表示为(ABx, ABy, ABz)，其中ABx为x轴上的位移，ABy为y轴上的位移，ABz为z轴上的位移。

2. 特殊向量表示法：单位向量是模为1的向量，零向量的大小为0，方向可以是任意的。

与坐标轴平行的向量分别称为与x轴平行的单位向量i，与y轴平行的单位向量j，与z轴平行的单位向量k。

3. 共线向量与平行向量：如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是共线向量；如果两个非零向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

三、向量的运算1. 数乘：将一个向量与一个实数相乘，结果是一个与原向量方向相同（反向相反）的向量，且大小为原向量的大小乘以这个实数。

2. 内积：内积也叫点乘，两个向量的内积表示为A·B，结果是一个实数，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的余弦值。

3. 外积：外积也叫叉乘，两个向量的外积表示为A×B，结果是一个向量，大小等于两个向量的模的乘积乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量所在平面，遵循右手法则。

四、运用向量方法求解几何问题1. 线段的中点：设直线L上有两个点A和B，求直线L上距离点A和点B的距离相等的点P。

基向量法解决立体几何问题教学目标：能够用基向量法解决立体几何中证明求解的问题教学重点：基底建模.教学难点：基底建模.教学过程:问：空间向量基本定理的内容是什么？它的作用是什么？答：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.作用：能将空间中任意向量用其他不共面向量表示。

引例：已知空间四边形OABC中，/ AOB=Z BOC=Z AOC,且OA=OB=OC.M , 分别是OA, BC的中点，G是MN的中点. 求证：OG丄BC.【分析】要证0G丄BC,只须证明OG・BC = 0即■可.而要证OG • BC = 0，必须把OG、BC用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为/ AOB= / BOC= / AOC,且OA=OB=OC , 因此可选OA,OB,OC为已知的基向量.【过程】略总结：基底建模法.根据题意在立体几何图形中选定一个基底，然后将所需的向量用此基底表示出来，再利用向量的运算进行求解或证明，这就是基底建模法。

它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法例1:平行六面体ABC D ABCD中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60° .(1)求AG的长；⑵求BD与AC夹角的余弦值.A B练习：三棱柱ABC- ABC 中，AA1 丄底面ABC AB= BC= AA, / ABC= 90°,点E、F分别是棱AB BB的中点，求直线EF和BC所成的角是例2：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB = 4, AC = 6，BD = 8,求CD的长小结：在四面体、平行六面体等图形中，当不易找到（或作出）从一点出发的三条两两垂直的直线建立直坐标系时，可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底，并用它们表示出指定的向量，再利用向量的运算证明平行和垂直，求解角和距离。