向量复习讲义

对于 A，由题意可得P→A·P→B－P→B·P→C＝P→B·(P→A－P→C)＝P→B·C→A＝0，
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，
故A正确；
对于
B，如图设A→E＝
→ AB →
，A→F＝
→ AC →
，则|A→E|＝|A→F|＝1，
|AB|
|AC|
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形
32yx·32xy＝3，
故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题 例 3 (2024·开封模拟)已知等边△ABC 的边长为 3，P 为△ABC 所在平面
内的动点，且|P→A|＝1，则P→B·P→C的取值范围是
A.－32，92 C.[1,4]
√B.－12，121
D.[1,7]
方法一 如图，建立平面直角坐标系，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
∴B(
3，0)，C
23，23，
∴P→B＝(
3－cos
θ，－sin
θ)，P→C＝
23－cos
θ，32－sin
θ，
∴P→B·P→C＝(
3－cos
θ)
23－cos
θ－sin
θ32－sin
θ＝52－32
3 cos
设△ABC外接圆的半径为R，
则 R2＝R22＋ 222，
解得 R＝1，CD＝1＋ 22，
∴S△ABC＝12|AB||CD|＝12×
2×1＋
22＝1＋2
2 .
思维升华
用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题―设――向――量→向量问题―计――算→解决向量问题―还――原→解决几何问题.

3、射影面积法（cossS q=射影凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosSSθ=射斜）求出二面角的大小.4、用向量运算求平面与平面的夹角【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体--的正切值的大小；(1)求二面角1B AC D（2）连接,BE AE ,其中点E 为1B C 因为1BB BC =，1AB AC =,所以1BE B C ⊥，1AE B C ⊥，所以AEB ∠为二面角1A B C B --的平面角，在ABE 中，90ABE ∠= ，AB a =所以tan 2AB AEB BE∠==A B C B --【详解】⊥平面ADD A ''，又,AD AD ,AB AD AB ⊥⊥，所以∠45AD =︒，所以二面角D ．2】（2023·高一单元测试）如图，在正方体(1)求异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小；(2)求二面角1C AB C --的大小.【答案】(1)π3(2)π41ABCD（2）在正方体1ABCD A B -所以1C BC ∠是二面角1C AB -根据正方体的性质可知1C ∠所以二面角1C AB C --的大小为题型【答案】33【详解】的中点D ，连结PD ，AD ，因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，⊂平面PAD ，所以BC AD ⊥，PDA 即为二面角P BC A --的平面角，(1)求异面直线11B D 与AC 所成角的大小；(2)求二面角1B AC D --的余弦值．【答案】(1)π2(2)33-因为11//BB DD ，1BB DD =因为四边形ABCD 是正方形，所以所以11B D AC ⊥，即异面直线）AC 与BD 交于O ，连1B O ，因为四边形ABCD 是正方形，所以1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面AC BD ⊥，1BD B B B ⋂=，BD AC ⊥平面1B BD ，因为1OB ⊂B OD ∠就是二面角B AC D --【答案】2【详解】设AC BD O = ，连接POPA ⊥ 平面ABCD ，,BD AO ⊂平面 四边形ABCD 为正方形，BD ∴⊥PA AO A = ，,PA AO ⊂平面PAO 又PO ⊂平面PAO ，BD PO ∴⊥，∴∠由22AO a =，PA a =得：tan POA ∠(1)求证：11//A B DCC 面(2)若四棱柱体积为36，求二面角【答案】(1)证明见解析(2)2133【详解】（1）由题意得,A A AB ⊄平面D CD ，【典例1】（2023·全国·高二假期作业）如图120ABC DBC∠=∠=o，则二面角【答案】5 5 -【详解】过A作AE CB⊥的延长线于∵平面ABC⊥平面BCD，平面∴⊥AE平面BCD点即为点A 在平面BCD 内的射影，BDE △为ABD △在平面BCD 内的射影，AB a =，则sin 60AE DE AB ==⋅6,2AD a =由余弦定理可得cos ∠2211515248ABD S a a =⨯=V ，12BE a =，∴1322BDE S a =⨯⨯V 设二面角A BD E --为θ，∴cos θ而二面角A BD C --与A BD E --互补，∴二面角A BD C --的余弦值为-故答案为：55-【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体形，侧棱12AA =，过1BD 作平面________.【答案】2【详解】法一：根据题意作图，如图过点F 作FH ⊥BD 1交BD 1于因为长方体对面平行，所以截面BFD 1E 为平行四边形，则当h 取最小值时四边形BFD 易知h 的最小值为直线CC 1易知当F 为CC 1的中点时，过D 1作D 1H ⊥l 交l 于H .连接DH ，则∠根据射影面积公式1cos BFD E ABCD S S θ⋅=则当cos θ最大时，1BFD E S 最小.当cos 值为22，因为1ABCD S =，所以四边形故答案为：2【变式2】（2023·全国·高一专题练习）30︒和45︒角，则这个直角三角形所在的平面与平面【答案】6 4【详解】过点C作CD⊥平面α，垂足为题型04【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥(1)求证：BE 平面PCD；(2)求二面角E BD A--的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)75555则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0O A B 从而()12,2,0,3,,2DB DE ⎛==- ⎝ 设平面BED 的法向量为(,n x y = 220x y +=⎧(1)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；(1)求证：AB DH⊥；(2)若2AH=，求二面角【答案】(1)证明见解析(2)255ME平面PFD(1)求证：//(2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【变式2】（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在四棱锥⊥，四边形ABCD是菱形，∠BD PC(1)求三棱锥C BDE-的体积；(2)求平面PAB与平面ACE【答案】(1)3 24因E是棱PD上的中点，则E(1)当E为棱PB中点时，求证：(2)当F为棱BC中点时，求平面【答案】(1)证明见解析(2)310．10【详解】（1）因为底面ABCD(1)求证：1A C⊥平面BDE；B C的中点，求点(2)若点F为棱11B C上的动点（不包括端点），求锐二面角(3)若点F为线段11【答案】(1)证明见解析00DB m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即301322x y z ⎧=⎪⎨-+⎪⎩不妨取1z =，则3y =，则m =(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 【答案】(1)2411（2）连接DG ，因为DA DM =过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为则()1,0,0A ，()0,1,0M ，(0,2,0C 过P 作PH DG ⊥于点H ，由题意得【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）=，E，F分别为为正方形，AB BC(1)证明：BF DE⊥；BB C C与平面(2)求平面11【答案】(1)证明见解析(2)最小值为3，点D3【详解】（1）因为三棱柱(0,0,0)B ，(2,0,0)A ，(0,C 所以(0,2,1)BF = ，DE因为·0(1)BF DE a =⨯-所以BF DE ⊥，即BF ⊥（2）设平面DEF 的法向量为因为(1,1,1)EF =-，DE =(1)当13λ=时，证明：PC 平面(2)当λ为何值时，平面BFE 与平面【答案】(1)证明见详解(2)12λ=【详解】（1）设AC BE M =I ，(1)证明：平面PBC ⊥平面(2)若2CE EP =uur uu r，且二面角【答案】(1)证明见解析设OP t =，则()()0,0,,1,0,0P t B ∵2CE EP =uur uu r ，∴12,0,33t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴(42,0,,1,3,033t BE BA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭设平面EAB 的法向量为(,m x y =则4203330t m BE x z mBA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ 令2z =，得3,,23m t t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.平面ABD 的一个法向量为(0,0,1n =∵二面角E AB D --的大小为60【答案】(1,23,0)-2【详解】设(02)AE λλ=≤≤，平面由题可知()1,0,0A ，()10,0,1D ，(C 一个法向量为(0,0,1)n = ．(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若二面角P BE A --为60︒，求点C 到平面PBE 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)1【详解】（1）PA ⊥ 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，又BC AB ⊥ ，,PA AB ⊂平面PAB ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB ，又BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAB .（2）PA ⊥ 底面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，,PA AB PA AD ∴⊥⊥，因为AB AD ⊥，故以{},,AB AD AP 为正交基底，建立空间直角坐标系，设AE a =则()()()()()0,,0,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,,1E a P B EB a EP a =-=- ，设平面PBE 的法向量为(),,n x y z = ，(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)设Q 是线段PB 上一点，满足PQ mPB = ，试问：是否存在一个实数角的余弦值为24，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，12m =【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理得22231AC =+22222134AC BC AB ∴+=+==，CB CA ∴⊥，过点A 作AM PC ⊥交PC 于点M ，如图所示，又平面PAC ⊥平面PBC 由AM ⊂平面PAC ，所以AM ⊥平面PBC ，又所以AM BC ⊥，又BC 所以BC ⊥平面PAC ，又所以平面PAC ⊥平面ABC （2）由题知DA AC ⊥，即由（1）知PA BC ⊥，且PA ⊥平面ABC ，所以以则()0,0,3P ，(0,2,0)B AQ AP PQ AP ∴=+=+ 设1(,,)n x y z = 为平面QAC 由1111n AC n AC n AQ n AQ ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩ 令3y =得11,3,n ⎛=- ⎝且21241m n m ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，又易得平面PAB 的法向量为由122cos ,4n n =⇒(1)设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC l ⊥(2)在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析.【详解】（1）证明:延长,BA CD 相交于点E ，连接SE 则SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l ，由平面SAB ⊥平面ABCD ，BA AD ⊥，AD ⊂平面ABCD 且平面SAB 平面ABCD AB =，所以AD ⊥平面SAB ，又由AD ∥BC ，所以BC ⊥平面SAB ，因为SE ⊂平面SAB ，所以BC SE ⊥，所以BC l ⊥，（2）由（1）知：,,SA AB AD AB SA AD ⊥⊥⊥，以A 为坐标原点，以,,AD AB AS 所在的直线分别为x 轴、(1)求证：BC BD ⊥；(2)若1224AA BD BC ===，探索在棱在，求出1AE AA 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析设()04AE λλ=≤≤，则E 平面1BDD 的一个法向量为设平面BDE 的一个法向量n 令2z =，则0,y x λ==-，所以所以cos ,m n m n m n ⋅==⋅ 所以在棱1AA 存在点E ，使得二面角【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在直三棱柱形，90CAB ∠=︒，AC AB =(1)证明：1A M DN ⊥；(2)是否存在点D ，使得平面在，求线段AD 的长.【答案】(1)证明见解析(2)存在点D ，65AD =满足条件【详解】（1）证明：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系设()02AD a a =≤≤，则(0,,0D a 所以()11,0,2A M =- ，(2,DN a =- 因为112021A M DN a ⋅=⨯-⨯-⨯= 所以1A M DN ⊥.（2）由题意，AC ⊥平面11ABB A 因为()10,2,2C ，所以(10,C D a = 设平面1C DN 的法向量为(,n x y =。

(2)取 BC 的中点为坐标原点，OC，OH，OF 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系，利用坐标法求解．
解：(1)证明：如图，连接 AC 交 BD 于 H，连接 MH，
则 MH 为△ ACE 的中位线，所以 MH∥CE，又因为 MH⊄平面 CEF，CE⊂平面 CEF， 所以 MH∥平面 CEF．
因此，OM∥平面 ABD1E1；(2)易知点 D(0，2，0)，C( 3 ，1，0)，D1(0，2，4)，A(0，
－2，0)，A1(0，－2，4)，B( 3 ，－1，0)，设平面 AA1B1B 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
→ AB
＝(
3
，1，0)，AA1＝(0，0，4)，由nn··AA→AB1＝＝43zx2＝2＋0y，2＝0，
在平行四边形 BDEF 中，DB∥EF，BD⊄平面 CEF，EF⊂平面 CEF， 所以 BD∥平面 CEF 又因为 MH∩DB＝H
∴平面 CEF∥平面 BDM．
(2)取 BC 的中点 O，连接 OF，OH，则 OF⊥平面 ABCD， OH⊥BC，
因为 BF＝ 13 ，BO＝2，所以 OF＝ BF2－BO2 ＝3． 以 O 为坐标原点，OC，OH，OF 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
＝|－4＋0－1| 5
＝
5
．
答案： 5
4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面 PCD所成的角为________．
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝PA＝1，则A(0，0， 0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
2．直线与平面所成的角

抓住“爪形图”破解向量问题引例 (人A 必二P26例1)如图，OA →，OB →不共线，且AP →＝tAB →(t ∈R )，用OA →，OB→表示OP →.(引例)【解答】 因为AP→＝tAB →，所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tAB →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝OA→＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.平面向量共线定理：如图，若OA →，OB →不共线，设OP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的充要条件为λ＋μ＝1.“爪形结构”图：如图，若OC →＝kOP →，则OP→＝1k (xOA →＋yOB →)＝x k OA →＋y k OB →(A ，B ，P 三点共线)，所以x k ＋yk ＝1，即x ＋y ＝k .向量共线定理及其应用例1 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1) 若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；【解答】 若m ＋n ＝1，则OP→＝mOA →＋(1－m )·OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，所以OP→－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线．(2) 若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.【解答】 若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP→＝λBA →，所以OP →－OB →＝λ(OA→－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →，所以mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎨⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1. 变式 在△ABC 中，AE→＝2EB →，AF →＝3FC →，连接BF ，CE ，且BF ∩CE ＝M ，若AM→＝xAE →＋yAF →，则x －y 等于( C ) A. －112 B. 112 C. －16D. 16解析： 因为AE→＝2EB →，所以AE →＝23AB →，所以AM →＝xAE →＋yAF →＝23xAB →＋yAF →.由B ，M ，F 三点共线得23x ＋y ＝1①.因为AF →＝3FC →，所以AF →＝34AC →，所以AM→＝xAE →＋yAF→＝xAE →＋34yAC →.由C ，M ，E 三点共线得x ＋34y ＝10②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝23，所以x －y ＝12－23＝－16.等和线的应用(λ＋μ＝k )例2 如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到点P ，使得AP ＝9.若P A →＝mPB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是 185或0 .(例2)解析： 因为A ，D ，P 三点共线，所以可设P A →＝λPD →(λ>0)．因为P A →＝mPB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－m PC →，所以λPD →＝mPB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－m PC →，即PD →＝m λPB →＋32－mλPC→.若m ≠0且m ≠32，则B ，D ，C 三点共线，所以m λ＋32－m λ＝1，解得λ＝32.因为AP ＝9，所以AD ＝3.因为AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，所以BC ＝5.设CD ＝x ，∠CDA ＝θ，则BD ＝5－x ，∠BDA ＝π－θ，则由余弦定理可得cos θ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝x6，cos(π－θ)＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝(5－x )2－76(5－x ).因为cos θ＋cos(π－θ)＝0，所以x 6＋(5－x )2－76(5－x )＝0，解得x ＝185，所以CD 的长度为185.当m ＝0时，P A →＝32PC →，C ，D 重合，此时CD 的长度为0.当m ＝32时，P A →＝32PB →，B ，D 重合，此时P A ＝12，不合题意，舍去．变式 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是 2 .(变式)解析： 方法一：以O 为坐标原点，OA→所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y 取得最大值2.(变式(1))方法二：(等和线法)令x ＋y ＝k ，如图(2)所示，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k 取得最大值，由等和线法可知k ＝|DO→||OE →|＝2.(变式(2))“爪”形图主要有以下两种：(一)平面向量共线定理：已知OA →＝λOB →＋μOC →，若λ＋μ＝1，则A ，B ，C 三点共线；反之亦然．(二)等和线：如图，平面内一组基底{OA→，OB →}及任一向量OP →，OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立．我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．(1) 当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2) 当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3) 当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1＋∞)； (4) 当等和线过点O 时，k ＝0；(5) 若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数； (6) 定值k 的变化与等和线到点O 的距离成正比．。