必修4 平面向量(讲义和练习)

人教版数学必修2知识点总结第二章 平面向量一、 概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是（ ）A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行； 其中正确的序号为___________ ． 3. 下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ； ④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ； 其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15. 下列叙述中，正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等． 其中正确说法的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示（ ）A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km8. 化简以下各式：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其结果是为零向量的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（ ） A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d⃗ ，则下列说法正确的个数为（ ） (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |； (3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有（ ）A. a ⃗ =b⃗ B. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则（ ）A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为（ ）A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为___________ ．二、 图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为（ ） A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ； ③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A. 45a ⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a ⃗ −310b ⃗ D. 34a ⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A. 12b ⃗ +a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（ ） A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为（ ） A. 83 B . 38C. 16D. 630. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为（ ）A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ）A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（ ）A. 1B. 12C. 13D. 2333. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ___________ ．(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为（ ）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是（ ）A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 20 B. 15 C. 9 D. 639. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 3040. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 2441. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ）A. −58B. 18C. 14D. 11842. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______． 43. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．44. 如图，在平面四边形ABCD 中，若AC =3，BD =2，则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= _____．45. 菱形ABCD 的边长为2，∠A =60∘，M 为DC 的中点，则AM →·AB →的值为______ ．46. 在△ABC 中，已知∠ACB =90∘，CA =3，CB =4，点E 是边AB 的中点，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．47. 已知直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD =60∘，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC的中点，若AB =2，AD =√3，则EB ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 48. 在△ABC 中，∠A =60∘，AB =3，AC =2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则λ的值为______．(四)面积问题49. △ABC 所在平面上一点P 满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PAB 的面积与△ABC 的面积比（ ） A. 2：3 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：650. 设点O 在△ABC 的内部，且有OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A. 13B. 53C. 12D. 2351. 已知O 为正△ABC 内的一点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若△OAB 的面积与△OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（ ）A. 12B. 52C. 2D. 352. 已知点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△AMB 与△ABC 的面积比为（ ） A. 52B. 25C. 75D. 57三、 平行垂直判定53. 已知平面向量a⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,−2)，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则x 的值为（ ） A. −4 B. 4 C. −1 D. 154. 已知A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的单位向量为（ ）A. (45,35)或(−45,35) B. (35,−45)或(−35,45) C. (−45,−35)或(45,35) D. (−35,−45)或(35,45)55. 若向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)，c ⃗ =(x,1)满足条件3a ⃗ −b⃗ 与c ⃗ 共线，则x 的值（ ） A. 1 B. −3 C. −2 D. −156. 给定两个向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(2,1)，若(a ⃗ +x b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ )，则x 的值等于（ ）A. 32B. −1C. 1D. −3257. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b⃗ 平行，则实数λ=______． 58. 已知▱ABCD 的三个顶点A(−1,−2)，B(3,1)，C(0,2)，则顶点D 的坐标为（ ）A. (2,−3)B. (−1,0)C. (4,5)D. (−4,−1)59. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =（ ）A. −8B. −6C. 6D. 860. 设x ∈R ，向量a ⃗ =(x,1),b ⃗ =(1,−2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=（ ） A. √5B. 2√5C. 10D. √1061. 已知向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，c ⃗ =(2,1)且(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，则实数k =（ ）A. −92B. 0C. 3D. 15262. 设向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(0,−2).则与a ⃗ +2b⃗ 垂直的向量可以是（ ） A. (3,2) B. (3,−2) C. (4,6) D. (4,−6)63. 设向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(1,2)，且|a ⃗ +b ⃗ |2=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2，则m =______． 64. 已知向量a ⃗ =(−2,3)，b ⃗ =(3,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______．65. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 66. 设向量a ⃗ =(x,x +1)，b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =______．67. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,λ)，c⃗ =(−3,2)． (1)若a ⃗ //b ⃗ ，求实数λ的值；(2)若k a ⃗ +c ⃗ 与a ⃗ −2c ⃗ 垂直，求实数k 的值．68. 已知向量a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(−2,1)．(1)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 垂直，求k 的值；(2)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，求k 的值．69. 已知△OAB 中，点D 在线段OB 上，且OD =2DB ，延长BA 到C ，使BA =AC.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ,b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，求k 的值．70. 在平行四边形ABCD 中，A(1,1)、B(7,3)、D(4,6)，点M 是线段AB 的中点线段CM 与BD 交于点P ．(1)求直线CM 的方程；(2)求点P 的坐标．四、 三点共线71. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4 , 5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10 , 8)，若A 、B 、C 三点共线，则k = ______ ． 72. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ=（ ） A. 2 B. 3 C. −2 D. −373. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 53AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 74. 如图，已知△OAB ，若点C 满足AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则1λ+1μ=（ ）A. 13 B. 23 C. 29D. 9275. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 676. 如图，在△ABC 中，线段BE ，CF 交于点P ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ，则向量c ⃗ 可以表示为（ ） A. c⃗ =34a ⃗ +12b ⃗ B. c ⃗ =12a ⃗ +34b ⃗ C. c⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ D. c ⃗ =14a +12b 77. 如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC ，MN 交于P 点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（ ） A. 35 B. 37C. 613D. 61778. 平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 、C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 3279. O 为△ABC 内一点，且2OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ） A. 14B. 13C. 12D. 2380. 在△ABC 中，AB =2，BC =3√3，∠ABC =30∘，AD 为BC 边上的高，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ等于（ ）A. 2B. 12C. 23D. 2√381.在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m+n=______ ．五、数量积(一)投影82.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为（）A. √13B. 8C. 8√55D. 8√131383.已知平面向量a⃗,b⃗ 是非零向量，|a⃗|=2，a⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，则向量b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1B. −1C. 2D. −284.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=√2|a⃗−b⃗ |，则a⃗在a⃗+b⃗ 的投影为（）A. 13B. −2√63C. √63D. 2√2385.已知|a⃗|=2，向量a⃗在向量b⃗ 上的投影为√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π3B. π6C. 2π3D. π286.若向量a⃗与向量b⃗ 满足：|a⃗|=2，|b⃗ |=3，且当λ∈R时，|b⃗ −λa⃗|的最小值为2√2，则向量a⃗+b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1或2B. 2C. 1或3D. 387.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为π3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e2⃗⃗⃗ ，a⃗在b⃗ 方向上的投影为______ ．88.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为2π3，|a⃗|=√2，则a⃗在b⃗ 方向上的投影为______．(二)夹角89.已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，则∠ABC=（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘90.已知a⃗=(3,4)，b⃗ =(5,12)，则a⃗与b⃗ 夹角的余弦为（）A. 6365B. √65 C. √135D. √1391.已知单位向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗+3b⃗ |=√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. π292.已知向量a⃗与向量b⃗ 满足|a⃗|=3，|b⃗ |=2，|2a⃗+b⃗ |=2√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. 2π393.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π2B. 2π3C. π6D. 5π694. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|b ⃗ |=4|a ⃗ |，且a ⃗ ⊥(2a ⃗ +b ⃗ )则a⃗ 与b ⃗ 的夹角为（ ） A. π3B. π2C. 2π3D. 5π695. 在△ABC 中，AB =AC =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−14，则∠ABC =（ ） A. 5π12B. π3C. π4D. π696. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，若√3e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 与e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ 的夹角为60∘，则实数λ的值是______． 97. 已知a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(2+λ,1)，且a ⃗ 与b ⃗ 成锐角，则实数λ的取值范围是______． 98. 已知a⃗ =(x +1,2)，b ⃗ =(4,−7)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则x 的取值范围为______ ． 99. 已知向量a ⃗ =(6,2)与b ⃗ =(−3,k)的夹角是钝角，则k 的取值范围是______．100. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．101. 设θ∈(0,π2)，向量a ⃗ =(cosθ,2)，b ⃗ =(−1,sinθ)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tanθ=______．(三) 数量积102. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值（ ） A. 只与圆C 的半径有关 B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C. 只与弦AB 的长度有关 D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 103.向量a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =（ ）A. 6B. 5C. 1D. −6104.已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为60∘，则(2a⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =（ ） A. −1 B. 0 C. 1 D. 2105.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2106.设a ⃗ ，b ⃗ 是平面上的两个单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =35.若m ∈R ，则|a ⃗ +m b ⃗ |的最小值是（ ） A. 34 B. 43C. 45D. 54107.已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120∘，k ∈R ，则|a ⃗ −k b ⃗ |的最小值为（ ）A. 34 B. √32C. 1D. 32108.已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. 48B. −48C. 100D. −100109. 边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 16 B. 12√3 C. −8√3 D. −8110.在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A. −15 B. −9 C. −6D. 0111. 已知非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 满足4|m ⃗⃗⃗ |=3|n ⃗ |，cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=13.若n ⃗ ⊥(t m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则实数t 的值为（ ） A. 4 B. −4C. 94D. −94112.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC与BD 交于点O ，记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A. I 1<I 2<I 3 B. I 1<I 3<I 2 C. I 3<I 1<I 2 D. I 2<I 1<I 3 113.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b⃗ ． (1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的值．114.已知向量a ⃗ =(3,−1)，|b ⃗ |=√5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−5，c ⃗ =x a ⃗ +(1−x)b ⃗ ．(Ⅰ)若a ⃗ ⊥c ⃗ ，求实数x 的值；(Ⅱ)当|c ⃗ |取最小值时，求b ⃗ 与c ⃗ 的夹角的余弦值．115.已知向量|a⃗|=2，b⃗ =(−12,√32)，且a⃗与b⃗ 夹角为2π3，(1)求|a⃗+2b⃗ |；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．116.已知向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,1)(x∈R)．(1)若a⃗,b⃗ 的夹角为锐角，求x的范围；(2)当3a⃗−2b⃗ =(4,y)时，求x+y的值．六、模的运算(一)公式2222||a a x y==+117.已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)，那么|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5118.设向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6)，则|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2√6B. 5C. √26D. 6119.已知向量|a⃗|=4,|b⃗ |=8,a⃗与b⃗ 的夹角为60∘，则|2a⃗+b⃗ |=（）A. 8√3B. 6√3C. 5D. √19120.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =1，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则|a⃗−b⃗ |=（）A. √13B. 6C. √11D. 5121.已知单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，且cosθ=14，若向量a⃗=e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，则|a⃗|=______．(二) 公式|a ⃗ +b ⃗ |2+|a ⃗ −b ⃗ |2=2(|a ⃗ |2+|b⃗ |2) 运用 122.已知向量a 、b 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |等于（ ）A. 1B. √2C. √5D. √6123.设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=√10，|a ⃗ −b ⃗ |=√6，则a⃗ ⋅b ⃗ =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5七、 重心、外心124.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABM ：S △ABC 等于（ ） A. 12 B. 13C. 14D. 15125.设O 在△ABC 的内部，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为（ ） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1126. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为_____． 127.已知O 为△ABC 的外心，3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则∠ACB 的值为（ ） A. π6 B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3128.点P 是△ABC 所在平面内任一点，PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点G 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心129.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗=13(12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则P 一定为△ABC 的（ ）A. AB 边中线的三等分点(非重心)B. AB 边的中点C. AB 边中线的中点D. 重心 130.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，那么(（ ） A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 八、 综合问题 （1） 建系解决问题131.已知三个向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，且均为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的取值范围是（ ）A. [√2−1,√2+1]B. [1,√2]C. [√2,√3]D. [√2−1,1]132.若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )≤0，则|a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |的最大值为（ ）A. 1B. √2C. √2−1D. 2−√2133.向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 在正方形网络中的位置如图所示，若c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ∈R)，则λμ=（ ） A. −8 B. −4 C. 4 D. 2134. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A. −2B. −32C. −43D. −1135.已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是（ ）A. 434 B. 494C. 37+6√34 D. 37+2√334136.如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（ ）A. 2B. 83 C. 65 D. 85 137.已知a ⃗ ,b ⃗ 是单位向量，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为90∘，若向量c ⃗ 满足|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=2，则|c⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A. 2−√2 B. √2 C. 2 D. 2+√2138.已知Rt △ABC ，AB =3，BC =4，CA =5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的最大值是（ ）A. 54 B. 43C. √176D. 53139.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为（ ） A. 3 B. 2√2 C. √5 D. 2140.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC =150∘，点P 在弧BC 上运动，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则√3m −n 的最大值是（ ） A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√3141. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是______ ，最大值是______ ． 142.已知在△ABC 中，∠A =π2，AB =2，AC =4，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．143. 如图，在同一个平面内，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45∘，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，则m +n =___________． 144. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．145. 在正方形ABCD 中，AB =AD =2，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，当|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4时，则|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______． 146. 如图，已知点O(0,0)，A(1,0)，B(0,−1)，P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．147. 在△ABC 中，已知AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数λ的值为______．148. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是同一平面内的三个向量，其中a ⃗ ，b ⃗ 是相互垂直的单位向量，且(a ⃗ −c ⃗ )⋅(√3b ⃗ −c ⃗ )=1，|c ⃗ |的最大值为______．149.已知a ⃗ ，b ⃗ ，e ⃗ 是平面向量，e ⃗ 是单位向量.若非零向量a ⃗ 与e ⃗ 的夹角为π3，向量b ⃗ 满足b ⃗ 2−4e ⃗ ⋅b ⃗ +3=0，则|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是（ ）A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√3（2） 与三角函数有关150.已知α是锐角，a ⃗ =(34,sinα),b ⃗ =√3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则α为（ ） A. 15o B. 30o C. 30o 或60o D. 15o 或75o151.已知向量m ⃗⃗⃗ =(2cos 2x,√3)，n⃗ =(1,sin2x)，设函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，则下列关于函数y =f(x)的性质的描述正确的是（ ）A. 关于直线x =π12对称 B. 关于点(5π12,0)对称C. 周期为2πD. y =f(x)在(−π3,0)上是增函数152.设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinA,sinB),n ⃗ =(cosB,√3cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1+cos(A +B)，则C = ______ ．153. 已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(−2,0)，O 为原点，则AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．154.已知向量a⃗=(2,sinθ)，b⃗ =(1,cosθ)，若a⃗//b⃗ ，则sin2θ1+cos2θ的值为______．155.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx,sinx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(I)求f(x)的对称轴方程；(II)求使f(x)≥1成立的x的取值集合；(III)若对任意实数x∈[π6,π3]，不等式f(x)−m<2恒成立，求实数m的取值范围．156.已知a⃗=(2sinx,cos2x)，b⃗ =(√3cosx,2)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．（3）与均值不等式有关157.已知向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(4−n,2)，m>0，n>0，若a⃗//b⃗ ，则1m +8n的最小值__．人教版数学必修2知识点总结（教师版）第二章 平面向量一、 概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是( C )A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行； 其中正确的序号为______ ．【答案】①④ 3. 下列命题中，正确的个数是( A )①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等； ②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ；④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ； 其中正确结论的个数是( D )A. 4B. 3C. 2D. 1 5. 下列叙述中，正确的是( A )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等． 其中正确说法的个数为(C )A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示( B )A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km 8. 化简以下各式：①AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗其结果是为零向量的个数是( D ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( A ) A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( D ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d ⃗ ，则下列说法正确的个数为( D ) (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |；(3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( C ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是( D )A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有( B )A. a ⃗ =b ⃗B. a ⃗ //b⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则( A )A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为( A )A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是( C ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为______．【答案】8二、 图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为(D ) A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ；③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为( C )A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( D ) A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( C ) A. 45a⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a⃗ −310b ⃗ D. 34a⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=(B ) A. 12b ⃗+a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(B ) A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( D ) A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A ) A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为( C )A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为( D ) A. 83 B . 38C. 16D. 6【解析】由题意，AP →=AM →+MP →=13AB →+μ1+μMC →=13+3μAB →+μ1+μAC →AP →=AN →+NP →=12AC →+11+λNB →=11+λAB →+λ2+2λAC →根据平面向量基本定理，可得{11+λ=13+3μμ1+μ=λ2+2λ，∴μ=23,λ=4，∴λμ=423=6．故选D ．30. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( A )A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A )A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( D )A. 1B. 12C. 13D. 23【解析】在△ABD 中，BD =12AB =1又BC =3所以BD =13BC ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵O 为AD 的中点∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴λ=12,μ=16∴λ+μ=23故选D 33. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．【答案】13(b ⃗ −a ⃗ )(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为( A )A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为(B ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【解析】因为(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0； 又因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以△ABC 是等腰三角形．故选：B ． 36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是( A )A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( B ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( C ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 6【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9故选：C ． 39. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(D ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30【解析】∵AB =6，BD =2，∴BC =6，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =62−13×6×6×12=36−6=30，故选D ．40. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( C ) A. 18 B. 20 C. 22 D. 24【解析】∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AB =8，AD =5，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −316|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=25−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12=2， 故AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =22，答案为22．故选C ． 41. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为( B )。

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作： AB 或a 。

42. 向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

4 ・3. 单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则|e|=1。

II444. 零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB =-BA 。

9. 平行四边形法则：以a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ，a - b 。

10. 共线定理：a - b 二 a / /b 。

当二0 时，a 与b 同向；当.0 时，a 与b 反向。

11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 a = （x, y ），则 | a| = x 2 y 2， a =| aa b13. 数量积与夹角公式： a b =| a | | b | co^ ； COST|a||b|14. 平行与垂直： a//b= a = ■ b= %y 2 = x 2y 1 ； a _ a b = 0= %x 2 y )y 2 = 0 题型1.基本概念判断正误（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是（5）若AB =CD ，则A B 、C 、D 四点构成平行四边形。

AB BC =AC ； AB BC CD DE =AE ； AB - AC =CB （指向被减数）8.三角形法则:(7)若ma = mb，贝U a = b。

（6）若a与b共线，b与C共线，则a与C共线。

更多精品文档题型2.向量的加减运算 1.设a 表示"向东走8km" , b 表示"向北走 6km ” ,则| a ■ b |= 2•化简(AB MB) (BO BC) OM3.已知I OAI = 5 , |OB I = 3,则I AB I 的最大值和最小值分别为35.已知点C 在线段AB 上，且AC AB ,则AC 二—BC , AB =5—题型3.向量的数乘运算1.计算：2(2； 5【-3(?) 1斗2.已知 a = (1, -4), b 二(-3,8)，则 3a -一 b 二2题型4根据图形由已知向量求未知向量 1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量忑兀表示AD 。

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点 共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线． 又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )， 则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)， 且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)． 又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)， 由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

平面向量的坐标运算[学习目标] 1。

了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。

答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。

（数学4必修）第二章 平面向量练习题A[基础训练A 组] 一、选择题1．化简AC - BD + CD - AB得（ ）A ．AB B ．C ．D ．0 2．设00,a b 分别是与,a b向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ．00a b =B ．001a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b +=3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列命题中正确的是（ ）A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅= ，则向量=____。

3．若3a = ,2b = ，且与的夹角为060，则a b -= 。

4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。

5．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2．已知向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模。

向量知识复习题一. 平面向量基本定理和向量共线定理1. 如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+ .2. 如果有一个实数λ，(0),b a a a b λ=≠使那么与是共线向量；反之，如果b a 与 (0)a ≠ 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使.b a λ=练习1：在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = _____（用a b 、表示） 2.设OA = a ，OB = b ，OC =c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点 二.利用数量积求角公式：______________________________练习：1.求(a b ==-的夹角。

2. 已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（I ）若,a b ⊥求;θ（II ）求a b + 的最大值。

3. 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ()1,2=. (1)若 |c|=25，且c //a ，求c 的坐标；(2)若b ()1,m =()0m <且a +2b 与a —2b 垂直，求a 与b三.向量的几何表示1.已知112233,),(,),(,),ABC A x y B x y C x y 三个顶点为（求证：（1）123123,)33x x x y y y ABC G++++ 的三条中线交于点（.（2）0GA GB BC ++= 2.如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 _;当12x =-时,y 的取值范围是 ___. 必修4第二章《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=②||||=③||||+=- ④||4||||22=+2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=- 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 8．与向量)5,12(=平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±± 9．若32041||-=-，5||,4||==，则与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转4π得到向量,则的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(- 11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行的向量是（ ）A ．),(k k =B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,+==满足，则,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知为单位向量，||=4，与的夹角为π32，则在方向上的投影为 .三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||= 3||=,与的夹角为60o,35+=,k +=3,当当实数k 为何值时，⑴∥ ⑵d c ⊥21．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.22．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.23、如图，已知4AD AB = ，4DE BC = ，试判断AC 与AE是否共线?24、已知向量33(cos ,sin )22x x a = ，(cos ,sin )22x xb =- ， [,]32x ππ∈-（1）求证：()a b - ⊥()a b + ； （2）13a b += ，求cos x 的值参考答案二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22-=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a 为非零向量又, ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k RT C 为21330312±=⇒=-+-⇒k k k 19．()212121432e e e e e e -=+--=-= 若A ，B ，D 三点共线，则共线，λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k 21.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP则设=)221,22(r r --=∴ )0,22(:),22,1(r F r E 点为)22,122(r r --=∴22)221()22(||r r -+-=∴22)22()221(||r r -+-=∴故EF PA =⊥⇒=⋅0而 22.证:-=-=, 22222222||2||)(||||2||)(||PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥AC BD 故为直径222222||||||||||||+++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。

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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。

2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。

第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

数学必修四答案详解第二章 平面向量2．1平面向量实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r； （2）CB u u u r . 4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r； （4）89b a =r r .4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -rr ； （2）1112a -r r（3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r； （3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r 而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ， 则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是(55a=r或(55a=--r.11、解：设与ar垂直的单位向量(,)e x y=r，则221420x yx y⎧+=⎨+=⎩，解得5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e=-r或(55e=-r.习题2.4 B组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，33(,)c x y=r.先证()a b a c a b c⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y⋅=+r r，1313a c x x y y⋅=+r r由a b a c⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y+=+，即123123()()0x x x y y y-+-=而2323(,)b c x x y y-=--r r，所以()0a b c⋅-=r r r再证()a b c a b a c⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c⋅-=r r r得123123()()0x x x y y y-+-=，即12121313x x y y x x y y+=+，因此a b a c⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sinOA OBAOBOA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u ru u u r u u u r.3、证明：构造向量(,)u a b=r，(,)v c d=r.cos,u v u v u v⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v+=<>r r ∴2222222222()()()cos,()()ac bd a b c d u v a b c d+=++<>≤++r r4、AB AC⋅u u u r u u u r的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE= 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r . 2、解：设1v u r 与2v u u r 夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-O DF E A B C （第2题） （第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r . 将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ， 于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x =- 第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r 1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r . （第4题）6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，于是a b ⊥r r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r 所以a b =r r 【几何意义为菱形对角线互相垂直，如图所示】（第3题）（第6题）4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为千米／时，沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=； （4）d =第三章 三角恒等变换P 2（第5题）3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==； 又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin (()43βαβαβα-=+=⨯⨯-=. 练习（P131） 1、（1； （2） （3（4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）； （5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+； （2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+； （3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-； （4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=， 即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-= 所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<< 又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin 385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-= 2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---= 2232tan 23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--= 3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α==，所以sintan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137） 1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-； （2）33sin()sin cos 1cos 0sin cos22ππαααααα-=-=-⨯-⨯=-； （3）cos()cos cos sin 1cos 0sin cos παπαααα-=+-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===， 所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin 7α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-⨯6、（1） （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin3α==-∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===----1tan tan1142131tan tan 1()142πθπθ+-+===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-= 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+. 在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4） 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅=2cos50sin50cos10︒=︒⋅=︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π，最大值为21+；（2）()f x 在[,]22ππ-12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示三角函数式值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

必修4--平面向量基础练习题1．下列向量中，与向量c=(2,3)共线的一个向量p是(3,2)。

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式①BC+CD+EC；②2BC+DC；③FE+ED；④2ED-FA中，与AC等价有2个。

4．若向量BA=(2,3)，CA=(4,7)，则BC=(-2,-4)。

5．已知a、b是两个单位向量，下列四个命题中正确的是C.a·b=1.6．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，.7．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA+OB+OC+OD=4OM。

8．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC=5e1，DC=3e2，则OC=(5e1+3e2)/2.9．对于菱形ABCD，给出下列各式：①BC=AB；②|BC|=|AB|；③|AB-CD|=|AD+BC|；④|AC|2+|BD|2=4|AB|2.其中正确的有3个。

10．在ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，BD=d，则下列等式中不正确的是B．a-b=d。

11．已知向量a与b反向，下列等式中成立的是D．|a|+|b|=|a+b|。

12．与向量d=(12,5)平行的单位向量为(12/13,5/13)。

13．已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，则b-a=(2,-1)。

14.已知向量$a=(x+3,x^2-3x-4)$与向量$AB$相等，其中$A(1,2),B(3,2)$，则$x=2$。

15.设$a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)$，则$b-a$的最小值是$1$。

16.在菱形$ABCD$中，$\angle DAB=120^\circ$，则以下说法错误的是：B.与$AB$的模相等的向量有$9$个（不含$AB$）。

17.已知向量$a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7)$，若$a-c\parallel b$，则$k=5$。

18.给出下列结论：①若$a\neq 0,a\cdot b=0$，则$b\perp a$；②若$a\cdot b=b\cdot c$，则$a=c$；③$a\times b\cdot c=a\cdotb\times c$；④$a\times (b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c$；⑤若$a+b=a-b$，则$a\perp b$。