浅谈工科数学课堂教学的教学与改革

浅谈工科数学课堂教学的教学与改革 北京化工大学 理学院 郭玲 在全国高校普遍扩招的今天，如何做好教学改革工作已成为高校改革的重中之重。而工科数学的教学改革更是迫在眉睫。数学的思想不但深入到物理、化学、生物等传统领域，而且深入到经济、金融、信息、社会等各领域中。对于大多数工科学生而言，他们并不希望成为一个数学专业人员，而更期冀将数学作为研究其他学科的工具。如何提高学生学习数学的兴趣，提高数学的教学质量，是各高校教师要解决的问题。在这种大环境下，把数学建模的思想和方法融入到大学数学课程的教学中是十分必要的。 数学建模可以培养和提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，数学建模可以提高学生的多方面的综合素质，也可以培养一定的创新精神。将数学建模思想融入数学主干课程，能使学生将一些数学知识通过数学建模与实际问题联系起来,从而解决实际问题,也可以将建模中的一些思想和方法运用到数学学习中来,深刻理解数学的奥妙,提高学习数学的兴趣。将数学建模思想融入数学主干课程的新的教学理念和教学方法，为学生的素质培养注入了新的教育观念，开辟了新的途径。如何将数学建模的思想融入到工科数学教学中去，我认为应做到以下几点： 一. 适当介绍数学概念、理论的来龙去脉 高校数学教师在对工科的学生进行数学教学时通常都采用传统的教学方法来授课，由于数学本身是一门分支比较多、难度比较大的学科，如果不对数学教学进行创新，那我们的学生学起来比较吃力，教师教起来也不是一件易事。现行的教材中很少讲数学概念、理论的来龙去脉，因此学生在学习时，常常不知为什么要学此概念和理论，不知他们有什么用。确实，在一节课上背诵几个数学公式，让学生能够莫名其妙地记下来而不求甚解，这是容易的。但要用一种方式把一个教学过程的原由讲清楚，并使学生把它作为明显而又合理的结果加以接受并能记住，那就完全是另外一回事了。因此在教学中有必要向学生介绍数学概念、理论的来龙去脉，使学生明白数学概念的应用背景和数学理论的发展、建立的原因，进一步使学生懂得如何应用数学知识去分析、解决实际问题。我认为要尽可能地花一点时间介绍数学概念产生的背景，让学生学会用数学知识解决更复杂的问题。因此在进行传统教学的同时适当地介绍一些数学概念、理论的的产生背景是非常必要的。 二. 适当融入数学建模教学案例 步入21世纪，作为高等院校的高等数学主干课程的工科数学在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用，数学课程的地位日益提高。然而，数学教学落后，与时代对数学的强烈要求不相适应。首先是教学内容跟不上时代，其次是学生对数学不感兴趣，成绩低劣，但我们对此却只能束手无策。这个结论未免说的悲观些，但确实是普遍状况。这主要还是教学方法不当，教学普遍停留在“模仿加记忆”的状态，即教师讲授不是为了使学生真正理解内容，而只能让学生模仿教师的解题方法，并记住有关的结论。因此创立新的教学理论，改进教学方法势在必行。激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣，学生只有对所学知识产生兴趣才有可能吸收和消化。将数学建模思想融进数学课程就是要激起学生对数学的兴趣。现在在数学教学中，将数学建模的思想融入到数学教学中是一重要的观点。如何融入，各有各的看法。我认为将建模思想融入教学中时，实际例子不要太难，最好是学生易接触到，又关心的问题。如果问题太难，不但教学效果不好，也使学生产生畏难情绪，这样不但起不到提高兴趣的效果，反而起了相反的作用，使学生更加畏惧数学。 同济《高等数学》（第五版）中实例如下：假设圆柱形罐的体积 V 给定，要求其高 h 和半径 r 使得制作罐的金属材料的成本最低。如果我们不考虑在制作过程中产生的任何边角料，那么问题就变成要使圆柱体的表面积最小。 高数书中已经解决了这个问题，并求得 h = 2r，即高和直径应该相等。但是如果你带一把尺子去你的碗橱或超市看看(量一下)，你就会发现罐的高通常都大于其直径，而比 h/r 在 2 到 3.8 之间变化。我们来看看能否解释这种现象。 （1） 制罐的材料是从金属片上切割下来的。圆柱体的侧面是由矩形弯曲而成；这些矩形从金属片切割下来时边角料很少或者根本没有边角料。但是，如果顶盖和底盖是从边长为 2r的正方形切割而得，那么就会留下很可观的边角料了。也许可以回收这些边角料，但这对于罐的制造商而言却没有多大价值或没有价值。此时，可以证明 82.55hrπ=≈

时所用的金属材料最少。 （2）更为有效的切割圆片的方法是把金属片划分成正六边形，并从正六边形切割圆形顶盖和底盖(图略)。可以证明如果采用这种方法，则有

432.21h

rπ=≈.

（3）在问题 1 和 2 中求得的 h/r 的值和超市货架上罐的值比较接近，但仍然没有考虑到所有的事情。如果我们更加仔细地看看某些实际的罐头，就会发现顶盖和底盖是用半径大于 r 的圆片把其边缘弯过来盖在罐的侧边上制成罐的。如果是这种情况，那么 h/r 将会变大。更重要的是，除了金属材料的成本外，还要加上罐的制作成本。假设大多数制作费用用于连接罐的各边缘。如果按问题 2 的方案从正六边形切割圆片，则总成本与 ()24324rrhkrhππ+++

成比例，其中k是按单位面积金属材料的成本计算的可以连接的长度的倒数。证明当

33

243hVhrhkrrπππ−

=−

时该表达式取到最小值。 （4）作出 3Vk 作为 hxr= 的函数的图形，并利用这个图形证明当罐的体积大

或者连接成本低时，应该使 hr大致等于(问题2所述的)2.21。但是当罐的体积小或者连接成本高时，hr应该比较大。 （5）上述分析表明大罐的中心断面差不多应该是正方形的，即 h = 2r，而小罐则应该高而细。去超市看看有关的罐的形状。 （6） 我们的结论在实践中通常是正确的吗？是否有例外情形吗？能否给出为什么小罐并不总是高而细的理由吗？ 高等数学教材中的实例，经叶其孝教授的加工、整理变成非常典型的建模问题。这非常有利于培养学生积极讨论数学问题的能力。在引入案例时，就要求教师首先吃透与教材相关的各类数学知识，把例子与数学知识很好的融会贯通。即教师自己必须站在一定的高度，领会建模的实质，才能教好学生。这也意味着教师要投入相当比例的准备时间。只有这样，才有可能真正将数学建模思想融入到数学教学中。 三.适当介绍数学的应用 通过引进数学建模思想，介绍数学的应用，让学生切身体会到数学是有用的，这对于培养学生在今后的工作和学习中主动地利用数学工具分析和解决专业中的问题有着重要的意义。 在数学的教学过程中，我们教师常听到的问题是学这些有什么用，这一方面说明学生注重知识的应用，另一方面也说明现行数学学科从教材到讲授方法与实际脱节。教学过程强调的是知识的系统性和理论的完整性,这种学术型的教学模式显然不能适应本科教育对应用型人才培养目标的要求。教学不是一个人对另一个人的强迫，而是施教者和受教者之间相互作用、相互交流的活动，实际上，学生在听课过程中除了能将教师上课所讲的内容掌握，更应该具备能将所学的知识应用到实际的能力。作为数学老师为了能使自己的学生更好地掌握那些比较抽象晦涩的数学知识，应该在传统教学的基础上适当地安排一些时间来讲数学的应用。数学建模实质上就是数学很好的应用。例如，学生在中学曾学过化学方程式的配平问题，如何配平，特别是元素较多时的配平问题就是线性方程组应用的例子。 化学方程的配平 化学方程描述了被消耗和新生成的物质之间的定量关系。例如，化学实验的结果表明，丙烷燃烧时将消耗氧气并确实产生二氧化碳和水，其化学反应的方程为：

138223242()()()()xCHxOxCOxHO+→+

要配平这个方程，必须找到适当的1234,,,xxxx，使得反应式左右的碳、氢、氧元素相匹配。配平化学方程的标准方法是建立一个向量方程组，每个方程分别描述一种原子在反应前后的数目。在上面的方程中，有碳、氢、氧三种元素需要配平，构成了三个方程。而有四种物质，其数量用四个变量1234,,,xxxx来表示。将每种

物质分子中的元素原子数按碳、氢、氧的次序排列，可以写出：

382223010:8,:0,:0,:20221CHOCOHO⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

要使方程配平，1234,,,xxxx必须满足：

1234301080020221xxxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅=⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

将所有项移到左端，并写成矩阵相乘的形式，就有： 1234

301008002002210xxxx⎡⎤−⎡⎤⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

−=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥−−

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

⇒AXO=

实际操作中化学家习惯将方程系数取为最小可能的整数，如取自由变量x4

=4，

则x1,x2,x3均有整数解，因而配平后的化学方程为

38222534CHOCOHO+→+