第七章 玻耳兹曼统计 201110

第七章 玻耳兹曼统计

习题7.1根据公式lllVaP证明，对于非相对论粒子：

)()2(21222222zyxnnnLmmps，zyxnnn,,=0，±1，±2，…

有VUp32,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。

证：lllVaP=)()2(212222zyxllnnnLmVa

=)()2(222223zyxllnnnLmLVa

其中 Vaull;V~3L

p)()2(21222232zyxllnnnVmVa

(对同一l,222zyxnnn)

=mall212)2()(222zyxnnn)32(35V

=mall2122222)()2(Lnnnzyx)32(3532VV=VU32

习题7.2试根据公式lllVaP证明，对于极端相对论粒子：

21222)(2zyxnnnLccp，zyxnnn,,=0，±1，±2，…

有VUp31,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。

证： lllVaP； 对极端相对论粒子 21222)(2zyxnnnLccp

类似得 31212)()2(VnVaPill

=VUVValll31)31(3431

习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第l个能级的能量可以取为ll或，以表

示二者之差ll。试证明相应的配分函数存在以下关系11ZeZ，并讨论由

配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。

习题7.1试根据公式lllPaV证明,对于非相对论粒子

222221(),,,0,1,2,,22xyzxyzphnnnnnnmmL

有23UPV成立

上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.

证明：3VL，则13LV∴222223()2sxyzhVnnnm

由lslslsPaaVV，考虑llsslsUaa，则

522223,,,,222223,,,,2()322()3221212333xxxxyzxxxxyzssnnnxyzsnnnnnnxyznnnssshPaaVnnnVmhaVnnnVmUaaVVV

∴ 23UPV成立。证毕。

习题7.2 试根据公式lllPaV证明,对于极端相对论粒子

12222(),,,0,1,2,,xyzxyzhcpcnnnnnnL

有13UPV成立 上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.

证明：对极端相对论粒子

112222222213()()sxyzxyzhchcpcnnnnnnLV

由lslslsPaaVV， 且考虑

12222,,13,,()xxxxyzllssnnnxyzlsnnnchUaaannnV

有

12222,,43,,12222,,13,,1()311()311111333xxxxyzxxxxyzssnnnxyzsnnnnnnxyznnnssschPaannnVVchannnVVUaaVVV

∴13UPV成立。证毕。

习题7.3[10分]当选择不同的能量零点时，粒子第l个能级的能量可以取为l或l，以表示二者之差ll。则相应的配分函数1Z和1Z和由配分函数求得的热力学函数(内能U和U,广义力Y和Y,熵S和S)有何差别。 *1*11lllllllZeZeeZ [2.5分]

第七章玻⽿兹曼统计教案分析热⼒学与统计物理课程教案

第七章 玻⽿兹曼统计 7.1 热⼒学量的统计表达式

⼀、 定域系统的内能、⼴义⼒和熵统计表达式

在§6.8说过,定域系统和满⾜经典极限条件的玻⾊系统都遵从玻⽿兹曼分布。本章根据玻⽿兹曼分布讨论这两类系统的热⼒学性质。本节⾸先推导热⼒学量的统计表达式。

内能是系统中粒⼦⽆规则运动总能量的统计平均值.所以 ∑∑--==l

βεαl l ll l l e ωεεa U ①

引⼊函数1Z :∑-=l

βεl l e εZ 1 ②

名为粒⼦配分函数。由式∑--=l

βεαl l e ωN ②，得：

1Z e e ωe N αl

βεl αl ---==∑ ③ 上式给出参量α与N 和1Z 的关系,可以利⽤它消去式①中的α。经过简单的运

算,可得：11ln Z βZ N e ωβe e ωεe U l βεl αl βεl l αll ???? ????-=???? ????-==∑∑---- ④ 式④是内能的统计表达式。

在热⼒学中讲过,系统在程中可以通过功和热量两种⽅法与外界交换能量。在⽆穷⼩过程中，系统在过程前后内能的变化dU 等于在过程中外界对系统所作的功W d 及系统从外界吸收的热量Q d 之和：Q d W d dU +=。

如果过程是准静态的, W d 可以表达为Ydy 的形式,其中dy 是外参量的改变量,Y 是外参量y 相应的外界对系统的⼴义作⽤⼒。

粒⼦的能量是外参量的函数。由于外参量的改变,外界施于处于能级l ε的⼀个粒⼦的⼒为y

εl

。因此，外界对系统的⼴义作⽤⼒Y 为： 11

ln 11Z y βN Z y βe e ωy βe e ωy ε

a y εY αl βεl αβεαl l

l l l

l l l ??-=

-= -===-----∑∑∑

⑤

式⑤是⼴义作⽤⼒的统计表达式。它的⼀个重要例⼦是：1ln Z V

βN P ??

=

在⽆穷⼩的准静态过程中,当外参量有dy 的改变时,外界对系统所作的功是：l ll l l

《第七章 玻耳兹曼统计》(期末复习)

一、热力学第一定律的统计解释:

QdWddU lllllllldadadUaU

比较可知：llldaWd llldaQd

即：从统计热力学观点看,

做功：通过改变粒子能级引起内能变化；

传热：通过改变粒子分布引起内能变化

二、相关公式

1、非定域系及定域系的最概然分布

leall

2、配分函数:

量子体系：llle1Z lllllllleeeaNZN1

半经典体系:rrrpqrhdpdpdpdqdqdqehdel2121,1Z

经典体系：rrrpqrhdpdpdpdqdqdqehdel02121,01Z

3、热力学公式（热力学函数的统计表达式)

内能：1lnZ-NU

物态方程：VlnZN1p

定域系：自由能：1-NkTlnZF 熵:BMk.lnS或11lnZlnNkSZ

三、应用：

1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用.

2、能量均分定理

①能量均分定理的内容

②能量均分定理的应用：

A、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题.

B、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。

3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型;②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容量;③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。

四、应熟练掌握的有关计算

1、求配分函数1Z进而求系统的热力学性质

2、用klnS的证明及相关应用