(精心整理)图像的傅里叶变换

二维离散Fourier变换
Fourier变换有两个好处：
离散傅立叶变换
图像的傅立叶变换， 如右图所示。
通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图， 我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和 的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较 小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实 际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素 差异较大的。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的 成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使 我们能通过频率成分来分析一个函数。
Figure1，是a=0.4*sin(4*w*(x))的图形，Figure2，是b=1.6*cos(12*w*(x))的图形。这两个 图形，在时间轴上，很容易看出来。但是两个的和，也就是a+b，如Figure3所示，里面 的一些信息就看不出来了。但是做一个傅里叶变换，转换到频域上，如Figure4所示，就 很明显了。Figure4的横坐标是频率，纵坐标是幅值，就可以看出Figure4是有两个信号 组成的，频率大的信号的幅值比较大.
Butterworth低通滤波器
• n阶Butterworth滤波器的传递函数为：
H (u, v) 1[ D ( u ,v ) ]2 n
1
D0
它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化， 即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的 同时，图像边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生
频率域图像滤波处理
• 图像增强的目的主要包括： • 消除噪声，改善图像的视觉效果； • 突出边缘，有利于识别和处理
图像的频率域增强
• 假定原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为 F(u，v)。频率域增强就是选择合适的滤 波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处 理，然后经逆傅立叶变换得到增强的图 像g(x,y),频率域增强的一般过程如下：

傅里叶变换的MATLAB函数
在MATLAB中提供了fft函数用于实现一维快速傅里 叶变换。其调用格式为： （1）Y=fft(X):返回向量X的离散傅里叶变换。如果X 为矩阵，fft函数返回矩阵每列的傅里叶变换。 （2）Y=fft2(X):返回二维离散傅里叶变换，结果Y和 X的大小相同。 （3）Y=fftn(X):返回X的多维离散傅里叶变换，结果 Y和X的大小相同。 （4）Y=fftshift(X):把fft函数、fft2函数和fftn函数输 出结果的零频率部分移到数组的中间。
傅里叶变换的MATLAB函数
例二：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频 谱。对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显 示频谱。即：直接显示（坐标原点在左上角）； 把坐标原点平移至中心后显示；以对数方式显示。 >>f=zeros(512,512); >>f(246:266,230:276)=1; >>subplot(221);imshow(f,[]); >>xlabel(‘单狭缝图像’); >>F=fft2(f); >>S=abs(F);
傅里叶变换的MATLAB函数
>>F=fftshift(abs(fft2(f))); >>subplot(224);imshow(F,[-1,5],’notruesize’); >>xlabel(‘(d)图像旋转45度的傅里叶变换频 谱’);
பைடு நூலகம்
傅里叶变换的MATLAB函数
>>f=zeros(1000,1000); >>f(350:649,475:524)=1; >>subplot(221); >>imshow(f,’notruesize’);% ‘notruesize’图片去适应 窗口，窗口大小不动，自动调节图片大小。所以 显示出来的图片跟实际尺寸可能不一致。 ‘truesize’ 就是按图片实际大小显示图片，窗口 会自动调节大小去适应图片尺寸。这个是默认情 况，跟省略这个参数一样。 >>xlabel(‘(a)原始图像’); >>subplot(222);F=fftshift(abs(fft2(f)));

3） 傅立叶变换特征参数
f(x,y) F (u,v)ej2(u x v)y dd uv
F ( u ,v ) R ( u ,v ) j( u I ,v )
频谱/模
F (u ,v )R 2 (u ,v ) I2 (u ,v )
能量谱/功率谱 P ( u ,v ) F ( u ,v ) 2 R 2 ( u ,v ) I 2 ( u ,v )
傅立叶逆变换
如何看频域图像
1、考虑到傅立叶变换具有对称性，为了便于显示，频率图像 往往以图像的中心为坐标原点，左上-右下、右上-左下对称。
2、图像中心为原始图像的平均亮度，频率为0.从图像中心向 外，频率增高。高亮度表明频率特征明显。
3、此外，频率域图像中心明显的频率变化方向与原图像中地 物方向垂直。也就是说如果原始图像中有多种水平分布的地物， 那么频率域图像中在垂直方向的频率变化比较明显。如果原始图 像中地物左下-右上分布，那么频率域图像中在左上-右下方向频率 变化比较明显，反之亦然。
主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807年向巴黎 科学院呈交了《热的传播论文》，推导著名的热传导方程，并在求解该 方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任意函数 可以展成三角函数的无穷级数。
• 数学与图像处理 • 空域与频域的桥梁
傅立叶变换
傅立叶变换是换域分析(空间域到频率域)是 一种广泛使用的工具，在图像处理中是一 种有效而重要的方法。在图像处理中，傅 立叶变换的应用十分广泛，如：图像特征 提取、频率域滤波、周期性噪声的去除、 图像恢复、纹理分析等。把傅立叶变换的 理论与遥感图像的物理解释相结合，有利 于解决大多数遥感图像处理问题。
相位角
(u,v)arctI(au,nv)

实验三 图像的傅里叶变换一、 实验目的1.了解图像变换的意义和手段；2.掌握FFT 变换方法及应用；3.通过实验了解二维频谱的分布特点；4.通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。

二、 实验原理1 应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。

通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。

对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。

2 傅立叶（Fourier ）变换的定义对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞-+-∞-∞=⎰⎰逆变换： 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞+-∞-∞=⎰⎰二维离散傅立叶变换为： 112()001(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换：112()001(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑三、 实验步骤及结果步骤：1将图像内容读入内存；2用Fourier 变换算法，对图像作二维Fourier 变换；3将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示；4用Fourier 系数的幅度进行Fourier 反变换；5用Fourier系数的相位进行Fourier反变换；6比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

7记录和整理实验报告。

结果：四、程序源代码clear;I=imread('');I=rgb2gray(I);subplot(3,3,1);imshow(I);title('');E=fft2(double(I));sfftI=fftshift(E); %正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称RR=real(sfftI);II=imag(sfftI);A=sqrt(RR.^2+II.^2);A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225 ;subplot(3,3,2);imshow(A);title('原图频谱');FE=abs(fftshift(E));subplot(3,3,3);imshow(log(FE+1),[]);%自然对数title('幅度谱');PE=angle(E); %向量E的相角subplot(3,3,4);imshow(PE);title('图像相位谱');IFE=ifft2(FE);subplot(3,3,5);imshow(log(1+abs(IFE)),[]); title('幅度谱的反变换');IPE=ifft2(exp(j*PE));subplot(3,3,6);imshow(abs(IPE),[]);title('相位谱的反变换');IE=ifft2(E)/225;subplot(3,3,7);imshow(IE);title('原图频谱反变换');。