八年级数学-三角形中位线定理
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1 八年级数学-三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
运用这个定理，可以证明线与线的平行关系；证明线段之间的相等或倍分关系；还可将分散的已知条件集中起来发挥作用。
例1：如图P3-3，已知△ABC中，D是AB中点，O是CD中点，BO延长后交AC于E．
证明：取AE中点F，连结DF．
∵D是AB中点，
∵O是CD中点，
例2：已知：如图P3-4，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB.DC的中点，延长AD.MN交于E，延长BC.MN交于F．
求证：∠AEM=∠BFM．
证明：连BD，取中点O，连ON、OM，在△ABD与△BDC中，M、O为AB.BD边中点；N、O为DB.DC
边中点．
∵AD=BC．
∴OM＝ON． 2 ∴∠1＝∠2．
而∠1=∠BFM，∠2=∠AEM，
∴∠AEM＝∠BFM．
例3：选择题：
(1)一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 [ ]
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)无法确定
解：(C)．设三个内角的度数分别为k、2k、3k，24
根据三角形内角和定理，有
k+2k+3k＝180°
解得 k=30°．
∴三角形的三个内角分别为30°、60°、90°．
故选(C)．
(2)如果等腰三角形的顶角为40°，那么其中一个底角的度数为[ ]
(A)50° (B)70°
(C)100° (D)140°
解：(B)．
(3)钝角三角形的三条高 [ ]
(A)相交于三角形内部的一点
(B)相交于大边上的一点
(C)相交于三角形外部的一点
(D)不能相交于一点
解：(C)．
(4)在△ABC中，AB＞BC＞CA，那么在①∠C=60°，②∠B=60°，③∠A=60°中，可能成立的是 [ ]
(A)③ (B)②
(C)②③ (D) ①③
解：(A)．
在△ABC中， 3 ∵ AB＞BC＞CA，
∴∠C＞∠A＞∠B．
若∠C=60°，则∠A与∠B的均小于60°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
若∠B=60°，则∠C和∠A均大于60°，这也与三角形内角和等于180°矛盾．
∴∠A=60°，应选(A)．
(5)顺次连结周长为a的三角形三边中点所得三角形的周长为 [ ]
解：(D)．
(6)在△ABC中，∠B.∠C的外角平分线相交于D，那么∠BDC等于 [ ]
解：(C)．如图P3-5，
∵∠EBC＋∠FCB=(180°-∠ABC)＋(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC＋∠ACB)．
又∵∠A=180°-(∠ABC＋∠ACB)，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．
∴∠EBC＋∠FCB
＝360°-180°+∠A
=180°+∠A．
∵BD.CD分别平分∠EBC.∠FCB，
∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)
4 (7)下列命题中的假命题是 [ ]
（A)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形
（B)等边三角形是等腰三角形
（C）等腰直角三角形中，斜边是任一直角边2倍。
（D）等腰三角形是锐角三角形
解：(D)．
例4：已知：如图P3-6，AB∥CD。
求证：∠ABE＋∠BED+∠EDC＝360°．
证明：连结BD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝180°．
又∵∠BED＋∠EDB＋∠DBE=180°，
∴∠ABE＋∠BED＋∠EDC＝360°．
例5：已知：如图P3-7，△ABC中∠B和∠C的平分线BE.CF交于点I．
证明：(1)∵BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的平分线，
又∵在△BIC中，
∠BIC=180°-(∠1+∠2)， 5
(2)在△ABC中，
∵∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．
