三角形中位线定理的证明

三角形中位线定理的证明及其教学说明以下容作者为：第四中学瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则，有ADFC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?C图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形中位线定理及推论一、中位线定理中位线是指连接三角形一个顶点与对边中点的线段。

三角形中位线定理是指在一个三角形中，三条中位线交于一点，且这个交点与三个顶点的距离相等。

我们先来证明中位线交于一点这一结论。

假设ABC为一个三角形，AD是BC中点连线，BE是AC中点连线，CF 是AB中点连线。

我们可以得到△ADC和△BCD是全等三角形。

根据全等三角形的性质，我们可以得到∠ADC=∠CBD，∠ACD=∠BCD，且AD=BD。

同理，我们可以得到△AEB和△CEB是全等三角形，∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，且AE=BE。

因为∠ADC=∠CBD，∠ACD=∠BCD，所以∠ADC+∠ACD=∠CBD+∠BCD，即∠ADC+∠ACD=180°。

同理，∠AEB+∠ABE=180°。

我们可以得到∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE=∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE。

而∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE=360°。

所以∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE=360°。

而∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE=360°。

所以∠BCD+∠CBE=0°。

由于∠BCD+∠CBE=0°，所以∠BCD=0°，∠CBE=0°。

因此，BD和CE是平行线。

根据平行线的性质，我们可以得到三角形BDF和三角形CEG是全等三角形，∠BFD=∠CGE，∠BDF=∠CEG，且BD=CE。

所以，我们可以得到BF=CG。

因此，在三角形ABC中，三条中位线AD、BE、CF交于一点G，且这个交点与三个顶点的距离相等。

二、中位线推论1. 三角形中位线推论一：中位线长度在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的中位线的长度等于对边的一半。

假设ABC为一个三角形，AD是BC中点连线。

我们已经证明了AD和BC是平行线，且AD=BD。

三角形中位线定理的证明
噫，今日咱来讲讲那个三角形中位线定理是啷个证明嘞。

说起这个定理哦，它就是说在一个三角形里头，你取任意两边嘞中点，然后连起来，这条线就叫中位线。

这条中位线嘞长度，刚好就是它所截嘞那边嘞一半。

听起来简单，证明起来还是有那么点意思嘞。

你看嘛，假设有个三角形ABC，D、E分别是AB、AC嘞中点。

那么DE就是ABC嘞中位线。

咱要证明DE嘞长度是BC嘞一半。

首先嘞，你可以延长DE到点F，使得EF等于DE，然后连结CF。

由于D是AB嘞中点，且DE等于EF，根据平行四边形嘞性质，四边形BCFE就是平行四边形。

为啥子嘞？因为一组对边平行且相等嘛，这就是平行四边形嘞定义。

平行四边形BCFE里头，BF等于CE，且BF平行CE。

但你看嘛，E又是AC嘞中点，所以AE等于CE，那就意味着BF等于AE。

现在你看三角形ADE跟三角形CFE，它们有两边分别相等，即DE等于EF，AE等于CF，且夹角AED等于角CEF（对顶角相等）。

所以，三角形ADE跟三角形CFE是全等嘞。

全等就意味着对应边相等，所以AD等于CF。

但CF又是平行四边形BCFE嘞一边，它等于另一边BC。

而AD是AB嘞一
半，因为D是AB嘞中点。

所以嘞，DE就等于BC嘞一半。

这就证明完咯三角形中位线定理。

三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法，则，，使，连结CF法1：如图所示，延长中位线DE至F DFFCBCFD 是平行四边形，BD，则四边形BC有ADFC，所以。

因为1DE，所以．BC 2，有F，则作FC交DE的延长线于法2C因为，DFBC。

为平行四边形，AD，那么BDFC ，则四边形BCFD1．所以DEBC 2，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF至法3：如图所示，延长DEF，使BD，那么四边形BCFDCFAD，所以FC为平行四边形，为平行四边形，有1BC．DE，所以BCDF 。

因为2法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都CENAEM 1。

DEDE∥BC，即DE=AM=NC=BN为平行四边形，所以，BC2法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？A BEDC图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?AEDBC图⑵：,上时A的顶点运动到直线BC说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的BC 中位线DE也运动到如果教师直接叫学.两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

2第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

证明三角形中位线判定定理证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号) ∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。

在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E，连接DE，则有AD=BD，AE=CE∴DE是三角形ABC的中位线∴DE∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。

因为 ，所以DEBC 21．法2C 作交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?C图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示,延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则,有ADFC,所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法2:如图所示,过C 作交DE 的延长线于F ，则,有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示,延长DE 至F ，使 ,连接CF 、DC 、AF,则四边形ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD,那么四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法4：如图所示,过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC,则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系,难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系?ABC图⑴:⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗？A 运动到直线BC 上时，中位线DE ",学生就不难.2第一，要知道中位线定理的作用:可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长。

第二,要知道中位线定理的使用形式，如: ∵ DE 是△ABC 的中位线∴ DE ∥BC ，BC DE 21第三,让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理.题1 如图4。

三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

运用这个定理，可以证明线与线的平行关系；证明线段之间的相等或倍分关系；还可将分散的已知条件集中起来发挥作用。

例1：如图P3-3，已知△ABC中，D是AB中点，O是CD中点，BO延长后交AC于E．证明：取AE中点F，连结DF．∵D是AB中点，∵O是CD中点，例2：已知：如图P3-4，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、DC的中点，延长AD、MN交于E，延长BC、MN交于F．求证：∠AEM=∠BFM．证明：连BD，取中点O，连ON、OM，在△ABD与△BDC中，M、O为AB、BD边中点；N、O为DB、DC边中点．∵AD=BC．∴OM＝ON．∴∠1＝∠2．而∠1=∠BFM，∠2=∠AEM，∴∠AEM＝∠BFM．例3：选择题：(1)一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 [ ](A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)无法确定解：(C)．设三个内角的度数分别为k、2k、3k，24根据三角形内角和定理，有k+2k+3k＝180°解得 k=30°．∴三角形的三个内角分别为30°、60°、90°．故选(C)．(2)如果等腰三角形的顶角为40°，那么其中一个底角的度数为[ ](A)50° (B)70°(C)100° (D)140°解：(B)．(3)钝角三角形的三条高 [ ](A)相交于三角形内部的一点(B)相交于大边上的一点(C)相交于三角形外部的一点(D)不能相交于一点解：(C)．(4)在△ABC中，AB＞BC＞CA，那么在①∠C=60°，②∠B=60°，③∠A=60°中，可能成立的是 [ ](A)③ (B)②(C)②③ (D) ①③解：(A)．在△ABC中，∵ AB＞BC＞CA，∴∠C＞∠A＞∠B．若∠C=60°，则∠A与∠B的均小于60°，这与三角形内角和等于180°矛盾．若∠B=60°，则∠C和∠A均大于60°，这也与三角形内角和等于180°矛盾．∴∠A=60°，应选(A)．(5)顺次连结周长为a的三角形三边中点所得三角形的周长为 [ ]解：(D)．(6)在△ABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于D，那么∠BDC等于 [ ]解：(C)．如图P3-5，∵∠EBC＋∠FCB=(180°-∠ABC)＋(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC＋∠ACB)．又∵∠A=180°-(∠ABC＋∠ACB)，∴∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．∴∠EBC＋∠FCB＝360°-180°+∠A=180°+∠A．∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)(7)下列命题中的假命题是 [ ]（A)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形（B)等边三角形是等腰三角形（C（D）等腰三角形是锐角三角形解：(D)．例4：已知：如图P3-6，AB∥CD。

三角形中位线用于证明 江苏 庄亿农三角形中位线定理不但反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用这两点可以证明线段相等或平行。

现例析如下，供同学们参考。

一、证明线段平行例1：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ∥BC 。

分析：要证明DE ∥BC ，因为E 为AC 中点，所以联想到三角形中位线，故可延长AD 交BC 于F ，想法证明D 为AF 中点即可。

证明：延长AD 交BC 于F ，因为BD 平分∠ABC ，所以 ∠ABD=∠CBD 。

因为AD ⊥BD ，所以∠BDA=∠BDF=90BDF ，所以AD=FD 。

又因为AE=EC ，所以DE ∥FC ，即DE ∥BC （三角形中位线定理）。

点评：由于三角形中位线定理中有两条线段互相平行，所以利用这一点可以证明线段平行。

二、证明线段相等例2：如图，已知在△ABC 中，E 是BC 的中点，D 是，DE 交AB 于F 。

求证：DF=FE 。

分析：取AC 中点G ，则EG 为△ABC 的中位线，可证得AB ∥EG ，又A 为DG 的中点，从而F 为DE 中点。

证明：取AC 中点G ，连结EG 。

因为AD=21AC ，所以DA=AG 。

又E 、G 分别为BC 、AC 中点，所以EG ∥AB 点评：此题还可以过点E 作EH ∥AC 交AB 于H ，从而可证EH 为中位线，再证△EHF ≌△DAF ，可得DF=FE 。

同学们不妨一试！三、证明线段和差关系例3：如图，已知BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，AM ⊥CE 于M ，AN ⊥BD 于N 。

求证：MN=21（AB+AC －BC ）。

分析：要证MN=21（AB+AC －BC ），即证AB+AC －三角形的底边，故延长AM 交BC 于F ，延长AN 交BC 于G 易证2MN=FG ，而FG=BG+FC －BC 。

又BG=AB ，FC= AC 易证，故问题解决。

三角形中位线定理的证明及其教学说明一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21． 法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线BC 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形中位线定理的逆定理的证明
三角形中位线定理是指：连接三角形两个中点的线段，长度相等且平行于第三边。

引理：三角形中，如果有两条边和它们的中线长度相等，则这两条边平行。

证明：我们假设三角形ABC中AB和AC的中线分别为DE和FG，且DE=FG=BE=CF，则我们需要证明AB∥FG和AC∥DE。

首先，我们可以得到一个结论：因为DE和FG是AD和AG的中线，所以AD=AG=2DE=2FG。

同样地，BD=CE=DE，BF=AF-AB/2=AG-AC/2=2FG-AC/2=FG-AC/2。

因此，有：
BD/CE=DE/DE=1，BF/AF=(FG-AC/2)/(AG-AB/2).
因此，AB∥FG。

同样地，我们可以通过类似的证明得到AC∥DE。

因此，引理得证。

因此，BF=BG+CE。

又因为BE∥CF，所以BF∥CG。

因此，BF=CG。

将此式代入BF=BG+CE 中，得到：
CG=BG+CE=EF.。

备课偶得——三角形中位线定理的再证明王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。

关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。

笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。

已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC且证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE∴DE=EF ∴D E ∥BC 且证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF即 ∴DE ∥BC 且图1 BCADE图2BCADEF图3BCAD EFC图4BADEF E ′ 图5BCADE12DE BC =12DE BC =12DE BC =12DE BC =12DE BC =证法四、（相似法）如图5，∵D 、E 分别为AB 、AC 中点 ∴ ∵∠A=∠A∴△AD E ∽△ABC ∴ ∠ADE=∠B ∴DE ∥BC 且证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC 的中点E 为中心，将△ABC 绕点E 旋转180°得△ACF ，取CF 中点G ，连结EG 、DG ，则四边形ABCF 为平行四边形∴AF BC ∵D 、G 分别为AB 、CF 的中点 ∴AD FG ∴四边形ADGF 为平行四边形∴DG AF BC ∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠GCE ∴△ADE ≌△CGE （SAS ）∴∠AED=∠CEG ∴D 、E 、G 在一条直线上 ∴DE ∥BC ∵△ADE ≌△CGE∴DE=EG ∴ ∴DE ∥BC 且证法六、（面积法）如图7，取BC 中点F ，连结AF 、EF ，分别过A 、E 作A H ⊥BC ，EG ⊥BC ，垂足分别为H 、G ，过D 作DM ⊥BC 于M ，则∴ ∵F 为BC 中点 ∴ 同理 ∴DM EG ∴四边形DMGE 为矩形∴DE ∥BC 同理 EF ∥AB ∴四边形DBFE 为平行四边形∴DE=BF ∵ ∴DE ∥BC 且 证法七、（解析法）如图8，以点B 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设A （a ，b ）C （c ，0）（c ＞0）则，D （ ），E （ ）则DE ∥x 轴，DE= ∵BC=c ∴DE ∥BC 且证法八、（三角法）如图9，取BC 中点F ，连结EF ，设AB=2c ，AC=2b BC=2a ，∠A=α则AD=c ，AE=b ，在△ADE 中，在△ABC 中，图6B CADEFG 图7BCM ADE12AD AE AB AC ==12DEADBC AB ==12DE BC =12DE BC =12DE BC =,ABF ACF AEF CEF S S S S ==14CEF ABCS S =12CF BC =111242CF EG BC AH =⨯12DM AH =12BF CF BC==12DE BC =12EG AH =,22a b,22a cb +222a ca c +-=12DE BC =222222cos 2cos AD AE A bc c b DE AD AE α=+-=+-222222cos 2(2)(2)cos (2)(2)AB AC A c b c b BC ACAB α=+-=+-⨯⨯∴ ∴BC=2DE ∵F 为BC 的中点 ∴DE=BF 同理 EF=BD ∴四边形DBFE 为平行四边形∴DE ∥BF 即DE ∥BC 且图9BCAD EF 224(2cos )bc c b α=+-224BC DE =12DE BC =。

小议三角形中位线定理的几种证明方法三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习三角形有关知识非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。

对这一定理的证明有多种方法，现介绍几种。

之所以要介绍这几种方法，是因为：第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。

同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。

下面就介绍三角形中位线定理的几种证明方法：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

已知：如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点求证：⑴DE∥BC⑵DE=BC证明方法1：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BDAE=CE∴==∵∠DAE=∠BAC∴△ADE～△ABC∴∠ADE=∠ABC ==∴DE∥BCDE=BC[小结]利用相似三角形的判定和性质，有时会收到异想不到的效果。

证明方法2：延长DE至F，使EF=DE，连接CF∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF∴△ADE≌△CEF∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，∵AD=BD，∴CF=BD∵∠ADE=∠CFE∴AB∥CF∴CF=BD，CF∥BD∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC∵DE=EF=DF,∴DE=BC，DE∥BC[小结] 用延长相等线段的方法构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质。

证明方法3：（同第二种方法的图）过点C作CF∥AB，与DE的延长线相交于点F∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF=AD∵AD=BD，∴CF=BD，∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形（以下证法与方法2相同）[小结] 作平行线的方法构造全等三角形，利用全等三角形、平行四边形的判定和性质。

3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。

本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。

一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。

则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。

证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。

$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。

由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。

因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。

二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。

1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。

设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。

在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。

首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。

中位线定理不同证明方法中位线定理，又称中线定理，是几何中的一个基本定理。

它指出，在一个三角形中，三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的质心。

中位线定理的证明有多种方法，下面我将介绍其中的一些方法。

一、初级证明方法在这个证明方法中，我们将使用简单的几何知识来证明中位线定理。

让我们回顾一下中位线的定义。

中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

根据中位线的定义，我们可以得出结论：三条中位线交于一点。

为了方便说明，我们设这个三角形的三个顶点为A、B、C，对边分别为BC、CA和AB。

设M是BC的中点，N是CA的中点，P是AB的中点。

根据中位线的定义，线段AM是连接顶点A和对边BC的中点M的线段。

现在我们来证明中位线AM和BN的交点在CP上。

设交点为D。

根据三角形中位线的性质，AD和BC互相平分。

我们可以得出以下结论：AM = MD 和 BN = ND。

然后我们来看三角形ADM和三角形BND。

根据两个三角形的边长比较，我们可以得出：AD = ND 和 AM = MD。

根据边边边相似的性质，我们可以得出结论：三角形ADM和三角形BND全等。

根据全等三角形的性质，我们可以得出：∠DMA = ∠DNB。

因为∠DMA是三角形ADC的外角，所以∠DMA = ∠ADC + ∠ACD =∠ANB + ∠ACD。

同样的道理，∠DNB = ∠ANB + ∠BCD。

我们可以得出结论：∠ANB + ∠ACD = ∠ANB + ∠BCD。

根据等式两边相等的性质，我们可以得出：∠ACD = ∠BCD。

我们可以得出结论：CD || AB。

根据平行线的性质，我们可以得出：∠BDC = ∠ACB。

因为∠BDC是三角形BDC的内角，所以∠BDC + ∠BCD = 180°。

代入之前的等式，我们可以得出：∠ACB + ∠BCD = 180°。

我们可以得出结论：∠ACB+ ∠BCD = 180°。

根据三角形内角和的性质，我们可以得出：∠ACB + ∠BCA + ∠ABC = 180°。