三角形中位线定理及逆定理的证明教学教材

教育学科教师辅导讲义课题中位线，逆命题与逆定理授课日期及时段教学目的1、回顾并掌握基本的平行四边形的性质2、掌握平行四边形的判定条件3、熟练使用平行四边形的判定解决问题教学内容一、上次课问题的解答二、知识梳理(一)中位线定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

定理1 一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。

定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形①把这四个全等三角形拼成一个大的三角形②有没有相等的边和角？③这个三角形中有几个平行四边形，你是怎么判断的？④三角形内部的线段和三角形的边长有何关系？定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线(如图： D、E分别是AB、AC边的中点，DE就是△ABC的中位线。

)思考：一个三角形共有几条中位线？中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

例题1.已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，12 DE BC证明：如图，以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到△CFE，则D，E，F同在一直线上DE=EF，且△ADE≌△CFE。

∴∠1=∠F，AD=CF，∴AB∥CF又∵BD=AD∴BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC∴1//2 DE BC三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言：∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC,且DE=12BC例题2.如图，作出△ABC的3条中位线DE，DF，EF(1) △DEF的周长与△ABC的周长有什么关系? 答：△DEF的周长是△ABC周长的一半(2) 设△ABC的面积为S，则△DEF的面积=1 4 S(3) 过D作DG⊥BC，垂足为G，过E作EH⊥BC，垂足为H，则四边形DEHG的面积=1 2 S变式：已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.①求证：四边形EFGH是平行四边形.②若四边形ABCD的面积为10，求四边形EFGH的面积提示：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形例题3.如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分例题4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。

三角形中位线定理的证明教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形的中位线概念。

2. 引导学生掌握三角形中位线的性质。

3. 学会运用三角形中位线定理解决实际问题。

二、教学内容：1. 三角形中位线的定义。

2. 三角形中位线的性质。

3. 三角形中位线定理的证明。

4. 运用三角形中位线定理解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形中位线的定义、性质和定理。

2. 教学难点：三角形中位线定理的证明及运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究三角形中位线的性质。

2. 运用几何画板软件，直观展示三角形中位线的动态变化。

3. 通过例题讲解，让学生学会运用三角形中位线定理解决实际问题。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾三角形的中线、角平分线和高的概念，引出中位线的定义。

3. 证明三角形中位线定理：引导学生运用已知性质，进行证明。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4. 运用定理解决实际问题：出示例题，讲解解题思路，让学生独立完成练习。

6. 布置作业：设计适量作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 通过课堂问答、作业批改和课堂表现，评价学生对三角形中位线定义、性质和定理的理解掌握程度。

2. 考察学生运用三角形中位线定理解决实际问题的能力，以及对证明过程的逻辑思维能力。

七、教学反思：1. 反思教学过程，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了三角形中位线的相关知识。

2. 思考教学方法是否适合学生，是否需要调整教学策略以提高教学效果。

3. 考虑如何更好地激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和积极性。

八、教学拓展：1. 引导学生思考：三角形的中位线和三角形的中线、角平分线、高线有何联系和区别？2. 探讨三角形中位线定理在解决更复杂几何问题中的应用。

3. 介绍三角形中位线定理在工程、建筑设计等领域中的应用。

九、教学资源：1. 几何画板软件：用于直观展示三角形中位线的动态变化。

2. 教学PPT：展示三角形中位线的性质和定理，以及相关例题。

三角形中位线与反证法【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 三角形的中位线的性质的一些简单的应用.3. 了解反证法的含义、反证法的基本步骤.4、会利用反证法证明简单命题．5. 了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、反证法（一）定义在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.要点诠释：（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．（二）用反证法证明定理的正确性在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.已知:l1∥l2 ,l 2 ∥l 3求证： l１∥l３证明：用反证法证明：假设l１不平行l ３，则l１与l ３相交，设交点为Ｐ，∵l１∥l２ ,l ２∥l ３则过点Ｐ就有两条直线l１，l ３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、（2016春•莲湖区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．【思路点拨】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．【答案与解析】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN==25°．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB ＝12，AC＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．【答案与解析】解：延长BD交AC于点N．∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，在△ABD和△AND中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】（2015春•嵊州市校级期中）如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB，AE=EB ，求证：EF=BD ．【答案】证明：∵CD=CA，CF 平分∠ACB，∴F 是AD 中点，∵AE=EB，∴E 是AB 中点， ∴EF=BD ．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC 的中点H ，连接HE 、HF∵点E 为BC 中点∴EH 为△ABC 的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB 同理FH∥DC，且FH=12DC ∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC 是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC ．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E 是AC 中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH ，∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线， ∴EF=12BH ， ∴BH=AB -AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、反证法5、用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．【思路点拨】先设原结论不成立，然后推出与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论正确．【答案与解析】证明：假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．【总结升华】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．举一反三：【变式】用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．【答案】证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分．。

三角形中位线定理的证明教案一、教学目标：1. 让学生掌握三角形的中位线定理及其证明过程。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

二、教学内容：1. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

2. 中位线的概念：三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段叫做中位线。

3. 证明三角形的中位线定理：通过构造全等三角形和运用三角形内角和定理进行证明。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的中位线定理及其证明过程。

2. 教学难点：证明过程中三角形的全等条件的运用和逻辑推理。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角形中位线定理。

2. 运用几何画板软件，动态展示三角形中位线的性质和证明过程。

3. 分组讨论法，让学生在团队合作中思考、交流和解决问题。

五、教学过程：1. 导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生思考三角形中位线的性质和定理。

2. 讲解中位线的概念：介绍三角形中位线的定义和特点。

3. 探究中位线定理：让学生自主探究三角形中位线定理，并总结出证明过程。

4. 讲解证明过程：详细讲解三角形中位线定理的证明过程，包括构造全等三角形和运用三角形内角和定理。

5. 练习与拓展：布置一些有关三角形中位线定理的练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。

6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考三角形中位线定理在几何学中的应用和意义。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习和小测验，评估学生对三角形中位线定理的理解和掌握程度。

2. 观察学生在小组讨论中的表现，评估其团队合作和问题解决能力。

3. 收集学生的练习作业，分析其对证明过程的掌握和应用能力。

七、教学反思：1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈调整教学策略。

2. 考虑如何更好地引导学生运用几何画板软件，提高其直观理解能力。

3. 对教学内容进行调整，确保覆盖三角形中位线的所有相关性质和应用。

2024年三角形的中位线说课稿2024年三角形的中位线说课稿1（约1568字）一、教学目标：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．3．难点的突破方法：（1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的，它这种安排是要降低难度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎么安排，证明三角形中位线的性质（例1）时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程．让学生理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法．（2）强调三角形的中位线与中线的区别：中位线：中点与中点的连线。

中线：顶点与对边中点的连线．（3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系。

条件（题设）：连接两边中点得到中位线。

结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论）。

作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．（4）可通过题组练习，让学生掌握其性质．三、课堂引入1．平行四边形的性质。

平行四边形的判定。

它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等。