河北省衡水中学11-12学年高二下学期期末考试(数学理)

- 1 - 2011—2012学年度第二学期高二年级期末考试

高二年级(理科)数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．已知211121,,,1,3ZZiZZiZiZ则为虚数单位的共轭复数是 （ ）

A．i1 B．i1 C．i2 D．i2

2.若0m，则||xam和||yam是||2xym的 （ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分有必要条件

3.dxxx)1(112 （ ）

A． B.2 C.1 D.1

4. 在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C的切线，则切线长为( )

A．4 B.7 C．22 D．23

5.222000,,sin,xaxdxbedxcxdx则abc、、大小关系是（ ）

A acb Babc C cba Dcab

6 .如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D，若∠AEB=030,则∠PCE等于(

)

A 0150 B 075 C 0105 D 060

7.关于x的不等式22|coslg(1)||cos||lg(1)|xxxx的解集为 （ ）

A.（-1,1） B.(,1)(1,)22 P

E B

A D

C

第6题

- 2 - C.(,)22 D.(0,1)

8..直线1123332xtyt(t为参数)和圆2216xy交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )

A．(3，－3) B．(－3，3) C．(3，－3) D．(3，－3)

9.如图所示，AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，则下列结论中正确的个数是( )

①∠1＝∠2＝∠3 ②AM·CN＝CM·BN

③CM＝CD＝CN ④△ACM∽△ABC∽△CBN．

A． 4 B．3 C．2 D． 1

10.已知非零向量,ab满足：2||||ab，若函数3211()32fxxxx||aab在R上有极值，设向量,ab的夹角为，则cos的取值范围为（ ）

A．[1[,1]2 B．1(,1]2 C．1[1,]2 D．1[1,)2

11.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝( )

A．VS1＋S2＋S3＋S4 B． 2VS1＋S2＋S3＋S4

C．3VS1＋S2＋S3＋S4 D．4VS1＋S2＋S3＋S4

12.若实数,,xyz满足2221xyz则xyyzzx的取值范围是 （ ）

A.[-1,1] B.[1,1]2 C.[-1，1]2 D.11[,]22

二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上）

13. 以RtABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D

作圆O的切线与BC交于E，若3BC，4AB，则OE=_________

14.已知曲线1C、2C的极坐标方程分别为2cos()2，2cos()104，则曲线1C上的点与曲线2C上的点的最远距离为

- 3 - 15.设22,,axxyybpxycxy,若对任意的正实数,xy,都存在以,,abc为三边长的三角形,则实数p的取值范围是 .

16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导数更为简单，如求xexy的导数，可先在两边取对数，得xexyxexlnlnln，再在两边分别对x求导数，得xexeyyxx1ln1'即为xexeyyxxx1ln',即导数为xexexyxxexln。若根据上面提供的方法计算函数xxy的导数，则'y

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）已知1ab，对,(0,)ab，14|21||1|xxab恒成立，求x的取值范围。

18. （本题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为23(24xttyt为参数）

它与曲线C：221x（y-2)交于A、B两点。

（1）求|AB|的长

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为3(22,)4，求点P到线段AB中点M的距离。

19. （本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出)2(f，)3(f)4(f)5(f并猜测)(nf的表达式； . A B C

O

E

D P

- 4 - (2)求证：1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－123．

20.（本题满分10分） 如图, ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径, PA是过点A的直线, 且ABCPAC.

(Ⅰ) 求证: PA是⊙O的切线;

(Ⅱ)如果弦CD交AB于点E, 8AC,

5:6:EDCE, 3:2:EBAE, 求BCEsin.

21.（本题满分14分）某园林公司计划在一块O为圆心,R(R为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本．．是每平方米2元，花木的利润．．是每平方米8元，草皮的利润．．是每平方米3元.（1）设(COD单位：弧度）, 用表示弓形CMDC的面积()Sf弓;（2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的

(参考公式:扇形面积公式21122SRRl，l表示扇形的弧长)

22.（本题满分14分）已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR

(Ⅰ)若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行，求a的值；

(Ⅱ)求()fx的单调区间；

(Ⅲ)设2()2gxxx，若对任意1(0,2]x，均存在2(0,2]x，使得12()()fxgx，求a的取值范围.

MODCBA

- 5 -

- 6 -

高二年级(理科) 期末数学答案

一、选择题：DABCD CADBD CB

二、填空题13． 52 14．21 15．（1,3） 16．)ln1(xxx

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）解：∵ a＞0,b＞0 且a+b=1 ∴ 1a+4b=(a+b)( 1a+4b)=5+ba+4ab≥9,

故1a+4b的最小值为9， ------------------------5分

因为对a,b∈(0，+∞),使1a+4b≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9, -7分

- 7 - 当 x≤-1时，2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1, 当 -1＜x＜12时，-3x≤9,

∴ -1＜x＜12,当 x≥12时,x-2≤9， ∴ 12≤x≤11,∴ -7≤x≤11 -------------

10分

18. 解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

051272tt

设A，B对应的参数分别为21,tt，则 75,7122121tttt． ……3分

所以771104)(5)4()3(212212122ttttttAB． ……5分

(Ⅱ)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为76221tt． ……8分

所以由t的几何意义可得点P到M的距离为

73076)4()3(22PM． ……10分

20. 解： (1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴ f(5)＝25＋4×4＝41.

∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…

f(2)－f(1)＝4×1，

∴ f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，

又n＝1时，f(1)也适合f(n)．

∴ f(n)＝2n2－2n＋1. --------6分

(2)当n≥2时，1fn－1＝12n2－2n＋1－1＝121n－1－1n，

∴ 1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1

＝1＋121－12＋12－13＋…＋1n－1－1n

＝1＋121－1n＝32－12n. ---------------12分