第 1 页 共 15 页 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．
知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式
1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
2．锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
3．台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h(S′、S为上、下底面面积，h为高)；
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝13(S′＋S′S＋S)hV＝13Sh.
知识点二 球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；
2．球的体积公式V＝43πR3.
类型一 柱体、锥体、台体的体积
例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为( )
A.312 B.34
C.612 D.64
答案 A
第 2 页 共 15 页 解析
三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.
(2)现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6
cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )
A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm
答案 A
解析 设杯里的水下降h cm，由题意知π(202)2h＝13×20×π×32，解得h＝0.6 cm.
反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．
②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
1
1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？要求： 新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.一、【学习目标】1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆）， 提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意 识，增加学生学习数学的兴趣；2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力， 培养学生转化、化归以及类比的能力.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材23—25页内容，回答问题2
（柱、锥、台表面积） 1 在初中，我们已经学习了正方体和长方体 的表面积，以及它们的展开图，你知道上 述几何体的展开图与其表面积的关系吗？ 2 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 3 如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？ 4 联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为 ，你计算出它的表面积吗？结论： 1 正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. 2 棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. 3 它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积s=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积s=πr2+πrl=πr(r+l). 4 圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加3
1.多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球 S＝4πR2 V＝43πR3
3.常用结论
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
(2)几个与球有关的切、接常用结论
a.正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )
(3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球.( × )
(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A.4π B.3π C.2π D.π
答案 C
解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
2.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.12 B.18
1 / 16
张喜林制
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
教材知识检索
考点知识清单
1．夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两仓几何体的体积
2.柱体的底面积为S，高为h，则体积V = ．
3．锥体的底面积为S，高为危，则体积V = ．
4．台体的上、下底面面积为,/SS、高为教材知识检索h，则体积V=
5．若球的半径为R，则球的体积V=
要点核心解读
1．柱体的体积
(1)棱柱、圆柱的体积公式．
设底面积都等于S，高都等于^的任意一个棱柱和圆柱，取一个与它们底面积相等，高也相等的长方体如图1-1-7 -1所示，把它们的下底放在同一平面上，因为它们的上底和下底平行，并且高相等，所以它们的上底在与平面a平行的平面卢上．用与平面、、平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积都和它们的底面相等，因而这些截面的面积都等于S，根据祖呕原理，它们的体积相等．由于长方体的体积等于底面积乘以高，于是得到下面的定理及推论：
定理：柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，.ShV柱体
推论：底面半径是r，高是危的圆柱的体积是.2hrV圆柱
(2)斜棱柱的体积．
采用割补的方法，可推出斜棱柱体积公式的另一种形式：
直截面斜棱柱SV侧棱长．
2 / 16
(3)平行六面体的体积，
平行六面体是一种特殊的棱柱，它的各个面都是平行四边形，因此都可作为平行六面体的底面，这样，在求平行六面体的体积时，可根据条件灵活地选择适当的面作为底面，以简化推理与计算
(4)棱柱中的“定高”．
“高”在棱柱体积的计算中至关重要，而求高的关键在于确定“垂足”的位置．
2．锥体公式的推导
