第五章 正弦稳态计算2008-10-20

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U
1
•
1•
I j I
jwC
wC
容抗 ：X C
1
wC
3. 受控源： 对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。
ik=0 +
uk
-
•
+
+ Ik 0
+
ij
uj
•
Uk
-
-
•
•
Uj
Ij
-
在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用。
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) dt
T 1 cos 2(w
0
2
t
Ψi
) dt
1tT 1T 20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψi ) 2I cos(w t Ψi )
u(t) Um cos(w t Ψu ) 2U cos(w t Ψu )
可得正弦电流（压）有效值与最大值的关系：
L
时域形式：u(t) L di (t) dt
时域模型
I
相量形式：U jwLI
+
U
-
jwL
U
u
wLI
i
2
相量模型
U
I I0o
U= wLI 有效值关系
u=i+90° 相位关系
感抗 :
I 相量图
u 超前 i 90° i 滞后u 90°
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XL=w L= 2 f L
单位: 欧姆
3.电容 i (t)

i 2Icos(wt +Ψ ) A(t) 2Iej(wt+Ψ )
A(t)还可以写成
A(t)
2Ie jψ ejωt
•
2 I e jωt
复常数
*A(t)包含了三要素：Im、 、w ，但而角频率大家相同，可以 不考虑，只考虑包含I m , 的复常数，只有复常数有分析意义。
称复常数
•
I
IΨ
为正弦量
(2) 乘除运算——用极坐标形式方便（备个计算器）
若 F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2
则 F1 F2 =| F1 | | F2| 1+ 2
A1 | A1 |θ 1 | A1 | e jθ1 | A1 | e j(θ1θ2 ) | A1 |
A2 | A2 |θ 2 | A2 | ejθ 2 | A2 |
i 落后 u 角度p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
三、有效值： 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，工程上采用有效 值来衡量其大小。
1. 有效值(effective value)定义 电流有效值定义为：
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
特殊旋转因子：ejp/2 =j , e-jp/2 = -j, ejp=–1
5. 2 正弦量的基本概念
一. 正弦量的三要素
i + u_
波形：
i
在选定的参考方向下，某交流 电路瞬时值电流 i(t)：

5.3.2 复数的概念 复数运算是正弦稳态电路分析法的数学工具，掌握复数运算和如何将正弦信号与复 数建立关系是关键。 1. 正弦信号与复数之间的关系 欧拉公式
e jx = cos x + j sin x
根据欧拉公式有
U me j(ωt+θi ) = U m cos(ωt + θi ) + jU m sin(ωt + θi )
n•
∑ ∑ I km = 0 或
Ik =0
k =1
k =1
KVL 相量形式（对于回路）
∑n • U km = 0
或
k =1
3. 电路元件的相量表示
•
•
电阻元件：U = R I
∑n • Uk =0
k =1
•
•
电感元件：U = jωL I
•
电容元件：U =
1
•
I =−j
1
•
I
jωC
ωC
4. 相量模型 所谓相量模型，就是将电路中正弦电压源和电流源用相量形式表示，电压变量和电 流变量用相量形式表示，电阻、电感和电容用阻抗形式表示。
电阻阻抗形式： Z R = R
电感阻抗形式： Z L = jωL
电容阻抗形式： ZC
=
1 jωC
=−j 1 ωC
5.3.4 电路谐振
•
•
谐振条件，对于二端口网络，端口电压U 与端口电流 I 同相位。根据这一条件
第五章 正弦稳态电路分析 •55•
可知，只有当阻抗的虚部为零才能满足这个条件。使虚部为 0 的频率为谐振频率。 谐振分为串联谐振和并联谐振。 串联谐振常用于无线接收设备中，并联谐振常用于带通滤波、选频电路等。

电压超前电流。
（3）wL<1/wC， X<0， jz <0，电路为容性，
电压落后电流。
（4）wL=1/wC ，X=0， j z=0，电路为电阻性，
电压与电流同相。
例2 图示电路对外呈现感性还是容性？
解 等效阻抗为：
Z 3 j6 5(3 j4) 5 (3 j4)
－j6
3
j4
5
3
3 j6 2553.10 5.5 j4.75 8 j4
解
•
•
I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 50 2cos(314t 15 ) A
相量图
在复平面上用向量表示相量的图
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
u(t) 2Ucos(w t θ) U Uθ
u 5 2cos(wt 60 ), f 3104 Hz .
求 i, uR , uL , uC .
解 画出相量模型
U 560 V
jwL j2π 3104 0.3103
RR jwLL
++ Uu--
++UuRR --
i.
I
++ UuLL --
1C
jwC
--U++u. CC
j56.5Ω
j 1 j
5.3 相量模型
1. 电阻元件VCR的相量形式
i(t)
时域形式： i(t) 2I cos(wt Ψi )
+
uR(t) R uR (t) Ri(t) 2RI cos(wt Ψi )