第一章 一阶微分方程
1.1学习目标：
1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.
2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.
3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质;
理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.
4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.
5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.
6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.
7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.
1.2基本知识：
(一) 基本概念
1. 什么是微分方程:
联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是
指等式），称之为微分方程.
2. 常微分方程和偏微分方程:
(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22tfcydtdybdtyd, 0)(2ydtdytdtdy.
(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222zTyTxT, tTxT422.
77 微积分教案
章节
次数 第41讲：第十章 §10.1 微分方程的基本概念 §10.2 一阶微分方程（一）
教学目的要求 1. 理解微分方程的基本概念。
2. 掌握一阶可分离变量方程的解法。
主要内容 微分方程的阶、通解与特解
一阶可分离变量方程
重点难点 一阶可分离变量方程的解法；
区分解与通解；分离变量后的积分
教学方法
和手段
以讲授为主，使用电子教案
课后作业练习
作业：
391页 习题10-1：1、2、3、4、8
402页 习题10-2：1、(2)(4)(6)
备注 在研究几何、物理、经济等问题会遇到微分方程，并且有广泛运用。
本章只介绍基本概念，和最简单的几种方程的解法。
78 第十章 微分方程
§10.1 微分方程的基本概念
教学目的与要求：了解微分方程的阶、通解与特解等概念。掌握一阶可分离变量方程的解法。
教学重点（难点）：区分解与通解。可分离变量方程的解法。
例：一条曲线通过点(1,2)，且在曲线上任一点处的切线斜率为2x+1，求曲线方程。
定义：含未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。
例：指出下列各微分方程的阶
1. y''+y' 3+xy 4=sin x
2. y'+xy''+(y'')3+2y 5=1
3. y'+y y'=1+x5
4. y'''=y
注意：在一个微分方程中，自变量x、未知函数y可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。
如果一个函数代入微分方程能使之成为恒等式，称该函数为微分方程的解。
如果微分方程的解中含有独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。
用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。
用来确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。
一阶微分方程初始条件的提法为：00yyxx
二阶微分方程初始条件的提法为：00yyxx，*00yyxx
第六章微分方程
6.1微分方程的基本概念 6.1.1微分方程的相关定义
把联系自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为常微分方程的阶
任何代入常微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解 .若常微分方
程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同， 且任意常数之间不能合并，则
称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到 的解，称为方程的特解.
6.1.2微分方程的分类 (1)未知函数(微分方程的解)是一元函数的微分方程称作常微分方程，是多元 函数的叫做偏微分方程.
(2)线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线
性微分方程。如：x(y- yy' + x =0、y" + 7siny=0为非线性微分方程.
6.2 一阶微分方程及方程的解 一阶微分方程的一般形式为F(X, y, y 0或y' =
F{x,y }.
6.2.1可分离变量微分方程
微分方程中的变量x，y可通过变形分列于等式两边，形如八亲I可化为
g(ydy=f(xdx，对分离变量后的方程进行两边积分，则 Jg(y dy = J f (x
dx，
若设F(x )和G(x )分别是f(x )和g(x )的一个原函数，则有G(x)=F(x)+C，其中c
为任意常数.
注：下文中的C、G、C2…Cn都为任意常数，不再叙述.
6.2.2 一阶线性微分方程形如y・ + P(xy =Q(x)的方程称为一阶线性微分方程，其中 P(x)和Q(x)均为连续
函数，若Q(x)=O则称为一阶线性齐次微分方程；否则称为一阶线性非齐次微分 方程.
(1) 一阶线性齐次微分方程y' + P(xly=o
定理1如果函数yi与y是一阶线性齐次方程的两个特解,则Gyi +。2丫2也是 一阶线性齐次方程的解.
注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程 定理2如果函数yi与y2是一阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则
章节 第七章 微分方程
§1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2
教
学
目
的 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法
教学
重点
及
突出
方法 可分离变量微分方程的解法
教学
难点
及
突破
方法 可分离变量微分方程的解法
相关
参考
资料 《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社
教
学
过
程 教学思路、主要环节、主要内容
7.1 微分方程的基本概念
在许多科技领域里，常会遇到这样的问题：
某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子：
例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程
解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程：
我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。
微分方程的概念
我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。
从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解.
满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。
通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同.
7.2 可分离变量的微分方程
一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (＊)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。
