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第三章 结构地震反应分析与抗震极限状态计算 思考题3．1 什么是地震动反应谱和抗震设计反应谱反应谱的影响因素和特点是什么答：根据给定的地面运动加速度记录和体系的阻尼比，计算出质点的最大绝对加速度S a ，与体系的自振周期T ，绘制成一条曲线－地震加速度反应谱，不同的阻尼比可以绘制出不同曲线。
规范根据同一类场地在各级烈度地震作用下地面运动的 ，分别计算出的反应谱曲线，再进行统计分析，求出最有代表性的平均反应谱曲线作为设计依据；通常称之为抗震设计反应谱。
反应谱影响因素：受地震动特性即峰值、频谱、持续时间的影响。
特点是随机性。
3．2 什么是地震影响系数其谱曲线的形状参数有何特点答：单自由度体系绝对加速度反应)(T Sa 与重力加速度g 之比。
3．3 什么是地震作用怎样确定单自由度弹性体系的地震作用答：地震作用：地面振动过程中作用在结构上的惯性力就是地震荷载，可理解为能反映地震影响的等效荷载，实际上，地震荷载是由于地面运动引起的动态作用，属于间接作用，应称为“地震作用”，而不应称为“地震荷载”。
确定单自由度弹性体系的地震作用： 水平方向：E Ek G T F )(α= 竖直方向：E v Evk G F max ,α=3．4 抗震设计中的重力荷载代表值是什么其中可变组合值系数的物理含义如何答：重力荷载代表值是指地震作用下计算有关效应标准值时，永久性结构构配件、非结构构件和固定设备等自重标准值加上可变动荷载组合值。
变组合值系数的物理含义：是根据可变重力荷载与地震的遇合概率确定的。
3．5 多自由度集中质量体系地震下的运动方程如何说明方程中各参数的含义。
答：)(}]{[)}(]{[)}(]{[)}(]{[t x R M t x K t x C t x M g •••••-=++3．6 写出振型质量、振型参与质量、振型参与系数的表达式。
答：振型质量：{}[]{}j Tj j x M x M =振型参与质量：{}[]{}j Rpj x M R M =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m m m 0...0][21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n c c c c c c c c c c .....................][212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n k k k k k k k k k k .....................][212222111211)(t x 0&&振型参与系数：jpj j M M V =3．7 简述多自由度体系地震反应的振型分解法与振型分解反应谱法的原理和步骤。
基于结构动力学的地震响应分析研究结构动力学是研究结构物在外部激励下的响应及其稳定性的领域。
在地震工程中，结构动力学被广泛地应用于分析地震对建筑物产生的影响，以及评估结构物在地震中的抗震能力。
下面，本文将从基本概念、分析方法、实验研究以及近年来的发展方向等几个方面来介绍基于结构动力学的地震响应分析研究。
一、基本概念结构动力学是研究结构物变形、振动、破坏等响应以及相关运动学、动力学和力学性质的领域。
结构动力学分析的主要内容包括自由振动、强迫振动、非线性振动、稳定性、杆件动力学、场地运动等。
其中，结构动力学中的地震响应分析是基于结构动力学的研究，用来分析地震对建筑物的影响。
地震响应分析通常涉及到在地震作用下结构物的振动响应、变形、应力和应变等参数的计算。
二、分析方法目前，针对地震动力学所采用的分析方法主要有两类：基于时间域的直接积分方法和基于频域的响应谱法。
这两种方法各有优缺点，不同的结构物和地震地质条件选择不同的方法来进行地震响应分析。
1. 时间域积分法 Time-Domain Integration时间域积分法是一种基于数值积分的地震动力学分析方法，适用于包括线性和非线性结构物在内的不同结构体系。
时间域积分方法的基本思想是将体系的一组运动微分方程用数值算法连续积分求解。
这种方法是目前最普遍的地震响应分析方法，主要优点是能够精确模拟展向奇异或冲击型地震，而且适合于各种类型的结构体系。
同时，非线性效应和结构非均匀性也可以考虑。
2. 响应谱法 Response Spectrum Method响应谱法是一种基于频域分析的地震响应分析方法，其基本思想是将地震波用一组谱函数来描述，然后将结构反应用与这些谱函数相对应的反应谱来代表。
响应谱法主要适用于周期类似、自振和半自振型结构物。
相较于时间域积分法，响应谱法的主要优点是计算速度快、计算量小、计算方法简单，而且适用于各种类型的结构体系。
但是，响应谱法常常需要进行简化，因此，不适用于复杂结构和非线性结构的地震响应分析。
第3章 工程结构地震反应分析与抗震验算1、地震作用的计算方法：底部剪力法（不超过40m 的规则结构）、振型分解反应谱法、时程分析法（特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑）、静力弹塑性方法。
一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法；质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法；8、9度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑：考虑竖向地震作用。
2、结构抗震理论的发展：静力法、定函数理论、反应谱法、时程分析法、非线性静力分析方法。
3、单自由度体系的运动方程：g xm kx x c x m -=++或m t F x x x e /)(22=++ωξω 。
杜哈美积分x(t)= ⎰----tt t e xd )(g dd )(sin )(1ττωτωτξω , ωξωm cm k 2,2== 单自由度体系自由振动：)sin cos ()(d d000t x xt x e t x d t ωωξωωξω++=- 。
4、最大反应之间的关系：d v a S S S 2ωω==5、地震反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线。
特点：⑴阻尼比对反应谱影响很大；⑵对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降；⑶对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数；⑷对于位移反应谱，幅值随周期增大。
地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过它把随时程变化的地震作用转化为最大等效侧向力。
6、单自由度体系的水平地震作用：F G k G gt x t xS mgg g a αβ===maxmax)()(β为动力系数，k 为地震系数，α=k β为水平地震影响系数。
7、抗震设计反应谱αmax 地震影响系数最大值，查表；T 为结构周期；T g 为特征周期，查表；例：单层单跨框架。
屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。
框架结构抗地震倒塌能力的研究汶川地震极震区几个框架结构震害案例分析一、本文概述本文旨在深入研究框架结构在地震中的抗倒塌能力，特别是在汶川地震极震区的实际震害案例分析基础上，探讨框架结构的抗震性能和失效机制。
汶川地震是中国历史上一次具有极大破坏性的地震，其极震区的震害情况尤为严重，为我们提供了宝贵的震害数据和实际案例。
本文通过分析这些案例，旨在提升对框架结构抗震性能的理解，为未来的抗震设计和防灾减灾提供科学依据。
文章首先将对框架结构的基本特性和抗震设计原理进行概述，为后续的分析和讨论提供理论基础。
随后，将详细介绍汶川地震极震区的几个典型框架结构震害案例，包括震害现象、破坏程度和影响因素等。
通过对这些案例的深入分析，我们将揭示框架结构在地震中的倒塌机制和薄弱环节，探讨现有抗震设计方法的优点和不足。
在此基础上，文章将进一步研究提高框架结构抗地震倒塌能力的有效措施和方法。
结合震害案例的分析结果，我们将探讨如何优化框架结构的抗震设计，提高结构的延性、耗能能力和整体稳定性。
还将关注新型抗震材料和技术的应用，以期在未来抗震设计和防灾减灾工作中取得更好的效果。
本文将对研究成果进行总结，并提出对未来研究方向的展望。
通过本文的研究，我们期望能够为提升我国框架结构抗震性能提供有益的建议和参考，为保障人民群众生命财产安全做出积极贡献。
二、框架结构的抗地震倒塌能力分析框架结构作为一种常见的建筑结构形式，其抗地震倒塌能力一直是工程界和学术界研究的重点。
在汶川地震极震区的震害案例分析中，我们可以发现，框架结构的抗地震倒塌能力受到多种因素的影响，包括结构设计、材料性能、施工质量、地震动特性等。
从结构设计的角度来看，合理的抗震设计是提高框架结构抗地震倒塌能力的关键。
在汶川地震中，一些遵循了现行抗震设计规范的框架结构表现出了较好的抗震性能，能够在地震中保持结构的整体性和稳定性。
然而，也有一些框架结构由于设计上的不足，如结构布置不合理、节点连接不牢固等，导致在地震中出现了严重的破坏甚至倒塌。
典型地震反应谱参数分析地震反应谱是一种用于描述地震动力学特性的图像或函数，它反映了地震对结构物产生的力或位移随时间的变化规律。
地震反应谱参数分析是对地震反应谱进行统计和分析，以评估地震对结构物的可能影响，并为工程设计和地震工程防护提供依据。
在进行典型地震反应谱参数分析时，常见的参数包括峰值加速度、峰值速度、峰值位移、特征周期等，这些参数可以通过对地震反应谱曲线进行解析和计算得到。
首先，峰值加速度是反应谱曲线中离地面最大加速度的数值。
它是衡量地震对结构物产生的震动强度的重要指标。
在地震工程设计中，通常通过地震加速度响应谱曲线的峰值来判断结构物的耐震性能，并选择合适的设计加速度。
峰值加速度的值越大，表示地震对结构物的影响越强烈。
其次，峰值速度是地震加速度响应谱曲线中离地面最大速度的数值。
它是描述地震动力学效应的另一个重要参数。
峰值速度的值可以通过将加速度响应谱曲线进行一次积分得到。
在地震工程中，峰值速度的大小可以用来评估结构物的损伤程度和破坏概率。
峰值位移是地震加速度响应谱曲线中离地面最大位移的数值。
它是描述结构物在地震作用下产生位移变化的指标。
峰值位移可以通过对加速度响应谱曲线进行二次积分得到。
在地震工程中，峰值位移的大小通常用来判断结构物的破坏程度和变形情况。
特征周期是地震反应谱曲线中的一个重要参数，它是指加速度响应谱曲线中对应峰值加速度的周期。
特征周期是用来描述结构物振动特性的指标，可以通过对地震反应谱曲线进行周期化分析得到。
特征周期的选择对于结构物的抗震设计和地震防护具有重要意义，不同结构物对地震的响应特征周期有不同的要求。
除了上述参数，地震反应谱参数分析还可以包括剪切强度、硬度指标、阻尼比等其他参数。
这些参数的分析可以提供更加全面和详细的地震动力学特性信息，对于结构物的抗震设计和地震工程防护具有重要的参考价值。
总结起来，典型地震反应谱参数分析是对地震反应谱进行统计和分析，通过计算和解读峰值加速度、峰值速度、峰值位移、特征周期等参数，评估地震对结构物的可能影响，并为工程设计和地震工程防护提供依据。
第三章 结构地震反应分析与抗震极限状态计算 思考题3．1 什么是地震动反应谱和抗震设计反应谱反应谱的影响因素和特点是什么答：根据给定的地面运动加速度记录和体系的阻尼比，计算出质点的最大绝对加速度S a ，与体系的自振周期T ，绘制成一条曲线－地震加速度反应谱，不同的阻尼比可以绘制出不同曲线。
规范根据同一类场地在各级烈度地震作用下地面运动的 ，分别计算出的反应谱曲线，再进行统计分析，求出最有代表性的平均反应谱曲线作为设计依据；通常称之为抗震设计反应谱。
反应谱影响因素：受地震动特性即峰值、频谱、持续时间的影响。
特点是随机性。
3．2 什么是地震影响系数其谱曲线的形状参数有何特点答：单自由度体系绝对加速度反应)(T Sa 与重力加速度g 之比。
3．3 什么是地震作用怎样确定单自由度弹性体系的地震作用答：地震作用：地面振动过程中作用在结构上的惯性力就是地震荷载，可理解为能反映地震影响的等效荷载，实际上，地震荷载是由于地面运动引起的动态作用，属于间接作用，应称为“地震作用”，而不应称为“地震荷载”。
确定单自由度弹性体系的地震作用：水平方向：E Ek G T F )(α= 竖直方向：E v Evk G F max ,α= 3．4 抗震设计中的重力荷载代表值是什么其中可变组合值系数的物理含义如何答：重力荷载代表值是指地震作用下计算有关效应标准值时，永久性结构构配件、非结构构件和固定设备等自重标准值加上可变动荷载组合值。
变组合值系数的物理含义：是根据可变重力荷载与地震的遇合概率确定的。
3．5 多自由度集中质量体系地震下的运动方程如何说明方程中各参数的含义。
)(t x答：)(}]{[)}(]{[)}(]{[)}(]{[t x R M t x K t x C t x M g •••••-=++3．6 写出振型质量、振型参与质量、振型参与系数的表达式。
答：振型质量：{}[]{}j Tj j x M x M =振型参与质量：{}[]{}j Rpj x M R M =振型参与系数：jpj j M M V =3．7 简述多自由度体系地震反应的振型分解法与振型分解反应谱法的原理和步骤。
简述确定结构地震作用的振型分解反应谱法的基本原理结构地震作用是指当地震发生时，土地和建筑结构受到强烈震动的现象。
这种地震作用对建筑物的安全性、抗震等级和寿命有着重要的影响。
为了研究建筑结构的抗震性能，需要掌握结构地震作用的特点和规律。
振型分解反应谱法是一种最常用的结构地震反应计算方法之一，本文将对其基本原理进行简述。
振型分解反应谱法是一种建筑结构的动力分析方法，其原理是将结构的振动分解为一系列单自由度振动系统的组合。
这些单自由度结构可以看作是理想的固定质量、无阻尼、线性弹性振动系统，其特定振动模式称为振型。
建筑结构的复杂振动模式可以通过这些简单的振型组合表示出来，从而计算建筑结构的反应谱。
在振型分解反应谱法中，先要将建筑结构的振动模式分解为单自由度振动系统，然后对每个单自由度系统进行动力分析。
在单自由度振动系统中，结构包含一个质点及其连接着的刚性弹簧和阻尼器。
在地震激励下，质点会因惯性力而振动，其振动的形式由单自由度系统的振型所决定。
振型由结构的固有振动和阻尼比所决定。
通过计算每个单自由度系统的反应谱，可以获得结构在地震作用下的最大响应。
在振型分解反应谱计算中，每个振型被赋予一个动力增益因子。
该因子测定了该振型对于特定的频率范围内地震激励的放大效应。
动力增益因子的大小受到结构的频率和阻尼比的影响。
因此，结构频谱密度和激励频谱密度的乘积可以得到该振型的放大系数。
通过对不同振型的反应谱进行叠加，可以得到结构的总反应谱。
总反应谱代表结构的响应特性，包括其最大加速度、速度和位移。
同时，当知道入射地震波的激励谱时，可以通过反应谱计算出结构的最大位移、应力和感应力等参数。
总之，振型分解反应谱法是一种有效的结构地震反应计算方法，其基本原理是将结构振动分解为单自由度振动系统，通过计算每个单自由度系统的反应谱来获得结构的总反应谱。
利用振型分解反应谱法可以计算结构地震作用下的反应特性，为建筑结构的抗震设计和评估提供重要依据。
结构地震反应分析摘要：结构地震反应分析方法有很多，单自由度体系可以采用duhamel积分法，多自由体系可以采用振型分解法，和直接积分法。
在工程实践中，根据建筑物的结构体系，抗震设防烈度，选择合适的方法，计算结构的动力特性和响应。
本文对一个7层框架结构进行抗震计算，采用不同的计算方法计算结构动力特性和响应。
关键词：duhamel积分法多自由度体系振型分解法直接积分法Structural seismic response analysisFeiJianWeiCivil and traffic institute structural engineering 200820104470 Abstract: There are many methods for Structural seismic response analysis, single-degree-of-freedom system using duhamel integral method, more free system can use strikeout decomposition method, and the direct integral method. In engineering practice, according to the building of the structure types, the seismic fortification intensity, select the appropriate method to calculate the dynamic characteristics, and response. Article choose a 7 layers framework for earthquake-resistant calculation, using different calculation method to calculate the dynamic characteristics and response.Keywords: duhamel integral method ；multi-freedom system ；vibration mode decomposition method ；direct integral method1 前言建筑结构抗震设计首先要计算结构的地震作用，然后再求出结构和构件的地震作用效应。
结构的地震作用效应就是指地震作用在结构中所产生的内力和变形，主要有弯矩、剪力、袖向力和位移等，最后将地震作用效应与其他荷载效应进行组合，并验算结构和构件的抗震承载力及变形，以满足“小震不坏，中震可修，大震不倒”的抗震设计要求。
结构的地震反应是指地震引起的结构振动，它包括地震在结构中引起的速度、加速度、位移和内力等。
结构的地震反应分析属于结构动力学的范畴，比结构的静力分析要复杂得多。
因为结构的地震反应不仅与地震作用的大小及其随时间的变化特性有关，而且还取决于结构本身的动力特性，即结构的自振周期和阻尼等。
然而，地震时地面的运动是一种很难确定的随机过程，运动极不规则，而建筑结构又是一个由各种不同构件组成的空间体系，其动力特性也十分复杂。
因此，地震引起的结构振动实际上是一种很复杂的空间振动。
这样，在进行建筑结构的地震反应分析时，为了便于计算，常需做出一系列简化的假定[1]。
1.1 结构抗震理论的发展近百年来，经过各国学者的共同努力，结构抗震理论的研究取得了长足的发展。
结构抗震理论的发展可以划分为静力理论、反应谱理论和动力理论三个发展阶段。
1.1.1 静力理论水平静力抗震理论创始于意大利，发展于日本，1900年日本学者大森房吉提出震度法的概念。
该理论认为：结构物所受到的地震作用，可以简化为作用于结构的等效水平静力F，其大小等于结构重力荷载G乘以地震系数k，即：F =αG / g = kG(1.1)式中：α为地震动最大水平加速度；g 为重力加速度；k 为地震系数，k =α/ g ，其数值与结构动力特性无关，是根据多次地震震害分析得出的，k ≈1/10。
此理论创立时，一般认为结构是刚性的，因此结构上任何一点的振动加速度均等于地震动加速度，结构上各部位单位质量所受到的地震力是相等的。
静力法未考虑上部结构变形对地震作用的影响，也未考虑地震作用随时间的变化及其与结构动力特性的关系，这使得静力法的结果具有很大的近似性。
1.1.2 反应谱理论反应谱理论是建立在强震观测基础上的，20世纪40年代，美国学者M.A.Biot首先提出从实测记录中计算反应谱的概念，到50年代初由美国学者Housner加以实现，即将多个实测的地面振动波分别代入单自由度动力反应方程，计算出各自最大弹性地震反应(加速度、速度、位移)，从而得出结构最大地震反应与该结构自振周期的关系曲线。
由反应谱可以计算出最大地震作用，然后按静力分析法计算地震反应，所以仍属于等效静力法。
但由于反应谱理论较真实地考虑了结构振动特点，计算简单实用，因此目前仍是各国抗震规范中给出的一种主要抗震分析方法。
反应谱是指单质点体系在给定地震加速度作用下的最大反应随自振周期变化的曲线，它同时是阻尼的函数。
不同的地震记录、不同的场地特性及震中距的远近对曲线都有影响。
取同场地条件下的地震加速度记录，并取阻尼比ζ=0.05，得到相应于该阻尼比的加速度反应谱，除以每一条加速度记录的最大加速度，进行统计分析取综合平均并结合经验判断给予平滑化得到“标准反应谱”，将标准反应谱乘以地震系数(相当于7、8、9度烈度峰值加速度与重力加速度的比值)，即为规范采用的地震影响系数α曲线，或称为抗震设计反应谱。
建筑抗震设计规范(GB50011-2001)所规定的地震影响系数α曲线如图1.1所示[2]。
图1.1 地震影响系数曲线图中：(1) 直线上升段，周期小于0.1s 的区段；(2) 水平段，自0.1s 至特征周期区段，应取最大值(αmax )；(3) 曲线下降段，自特征周期至5 倍特征周期区段，衰减指数应取0.9；(4) 直线下降段，自5 倍特征周期至6s 区段，下降斜率调整系数应取0.02；(5) α为地震影响系数；(6) αmax 为地震影响系数最大值；(7) Tg 为特征周期；(8) T 为结构自振周期；(9) η1为直线下降段的下降斜率调整系数；(10) η2 为阻尼调整系数；(11) γ为衰减指数。
底部剪力法是一种简化方法，是反应谱分析法中的一种近似方法，便于设计者手算，它是应工程设计的需要而提出来的。
规范[7]规定，对于以下两类建筑结构可采用底部剪力法进行抗震计算：(1)高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构；(2)近似于单质点体系的结构。
振型分解反应谱法是利用单自由度体系反应谱和振型分解原理，解决多自由度体系地震反应的计算方法。
由于它考虑了结构的动力特性，除了很不规则和不均匀的结构外，都能给出比较满意的结果；而且它能够解决其他方法难以解决的非刚性楼盖空间结构的计算，因而成为当前确定结构地震反应的主导方法。
1.1.3 动力理论动力理论是直接通过动力方程求解地震反应，起源于20世纪60年代计算机技术的普及应用。
由于地震波为复杂的随机振动，对于多自由度体系振动不可能直接得出解析解，只可采用逐步积分法，而这种方法计算工作量大，只有在计算机应用发展的前提下才能实现。
通过直接动力分析可得到结构响应随时间的变化关系，因而该方法又称为时程分析法。
时程分析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化的全过程，并可以得到强震下结构的弹塑性变形，因此己成为抗震分析的一种重要方法。
多自由度体系地震反应方程为：[M ]{∙∙x(t)}+[C]{∙x(t)}+[K]{x(t)} = -[M ]{∙∙gx(t)} （1.2）其中[M]、[C]、[K]分别为结构体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，[∙∙x(t)]、[∙x(t)]、[x(t)]分别表示结构体系的加速度向量、速度向量和位移向量，[∙∙gx(t)]为地震作用下的地面加速度。
在地震反应方程(1.2)中，地面振动加速度是复杂的随机函数。
同时，在弹塑性反应中刚度矩阵与阻尼矩阵亦随时间变化，因此不可能求出解析解，只能采取数值分析方法求解。
把整个地震反应的过程分为短而相等的时间增量Δt ，并假定在每一个时间区间上体系的各物理参数均为常数，它们均按区间起点的值来确定，这样就可以把非线性体系的分析近似按照一系列连续变化的线性体系来分析。
方程(1.2)适用于结构的任何时刻，则对于结构t +Δt 时刻的地震反应方程可以表示为：[M ]{∙∙x(t +Δt)}+[C]{∙x(t +Δt)}+[K]{x(t +Δt)}= -[M ]{∙∙gx(t +Δt)}(1.3)令：{Δ∙∙x} ={∙∙x(t +Δt)}-{∙∙x(t)} (1.4){Δ∙x} ={∙x(t +Δt)}-{∙x(t)} (1.5){Δx} ={x(t +Δt)}-{x(t)} (1.6){Δ∙∙gx}={∙∙gx(t +Δt)}-{∙∙gx(t)} （1.7）则将式(1.3)与式(1.2)相减得到结构的增量平衡方程：[M ]{Δ∙∙x}+[C]{Δ∙x}+[K]{Δx}= -[M ]{Δ∙∙gx} (1.8)2 单自由度体系的地震反应分析2.1 计算简图当体系只做单向振动时，就形成了一个单自由度体系。
如水塔图2.1，因其质量也大部分集中于塔顶水箱，故可按单自由度体系来分析其振动。
图2.1 水塔及简化体系2.2 结构响应求解由于地震是随机运动，对结构来说是受随时间任意变化的荷载。
为此本文介绍两种方法求解结构地震响应：（1）时域分析法——duhamel 积分法，（2）频域分析方法——fourier 变换法[3]。
2.2.1 时域分析方法——duhamel 积分对无阻尼体系，单位脉冲反应函数为H （t-τ）=u （t ）=)](sin[1τωω-t m n nt ≥τ （2.1） 阻尼体系的单位脉冲反应函数为H （t-τ）=u （t ）=)](sin[1)(τωωτζω---t e m d t dn t ≥τ （2.2） 在任意时间t 结构的反应，就是在t 以前所有脉冲作用下反应之和U （t ）=⎰t du 0=τττd t h p t)()(0-⎰（2.3） 将式（2.1）和式（2.2）分别代入式（2.3）得到求解无阻尼和有阻尼体系动力反应的duhamel 积分公式 U （t ）=ττωτωd t p m n t n )](sin[)(10-⎰U （t ）=ττωτωτζωd t e p m d t t d n )](sin[)(1)(0---⎰ 对于地震作用，地震加速度是个很复杂的函数，可以通过数值积分得到问题的解答。
