正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】
《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容,是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】
1.会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数
c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域
2.在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯．
3。在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦．
【教学重点难点】
教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域
【学情分析】
知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力. 心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式,并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果.
【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备:预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。
2．教师的教学准备:课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
（一）问题情境
复习:如何作出正弦函数、余弦函数的图象？
生：描点法(几何法、五点法）,图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？
生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等
提出本节课学习目标--定义域与值域
（二）探索研究
给出正弦、余弦函数的图象,让学生观察，并思考下列问题：
1。定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或),(+∞-∞）.
2.值域
(1）值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以1|cos |,1|sin |≤≤x x ，
即1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是]1,1[-.
(2)最值
正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ
时，取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+-
=,22
ππ
时,取得最小值1- 余弦函数R x x y ∈=,cos ①当且仅当Z k k x ∈=,2π时，取得最大值1
②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时，取得最小值1-
3.周期性
由)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ知:
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义：对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时, 都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 由此可知，)0,(2,,4,2,,4,2≠∈--k Z k k πππππ 都是这两个函数的周期。
对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,)≠∈(0,2k Z k k π都是它的周期,最小正周期是π2.
4.奇偶性
由x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-
可知:x y sin =(R x ∈）为奇函数，其图象关于原点O 对称
x y cos =(R x ∈）为偶函数，其图象关于y 轴对称
5。对称性
正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈， 对称轴是直线()2x k k Z π
π=+∈;
余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z ππ?
?+
∈ ???
， 对称轴是直线()x k k Z π=∈ (正（余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点）。
6。单调性 从]2,2[,sin ππ3-
∈=x x y 的图象上可看出: 当]2
,2[ππ-∈x 时，曲线逐渐上升,x sin 的值由1-增大到1 当]2
,2[ππ3∈x 时,曲线逐渐下降,x sin 的值由1减小到1- 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间)](22
,22[Z k k k ∈++-ππ
ππ上都是增函数，其值从1-增大到1；在每一个闭区间)](22
,22[Z k k k ∈+3+ππππ上都是减函数,其值从1减小到1-。 余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ上都是增函数，其值从1-增加到1；余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ上都是减函数，其值从1减小到1-。
三、例题分析
例1、求函数y=sin(2x+3π)的单调增区间．
解析：求函数的单调增区间时,应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性． 解：令z=2x+
3
π，函数y=sinz 的单调增区间为［2π-2k π+,22k ππ+]． 由 2π-2k π+≤2x+3π≤22
k ππ+得 512k ππ-+≤x ≤12k ππ+ 故函数y=sinz 的单调增区间为 [512k ππ-+， 12k ππ+ ］（ｋ∈Ｚ） 点评：“整体思想”解题
变式训练1。求函数y=sin(—2x+
3π）的单调增区间 解:令z=-2x+3π，函数y=sinz 的单调减区间为[2π2k π+，322
k ππ+］
故函数sin （—2x+3π）的单调增区间为[ 712k ππ--,12
k ππ-- ]（ｋ∈Ｚ）． 例2：判断函数3
3()sin()42
f x x π=+的奇偶性 解析:判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称,然后再看()f x 与()f x -的关系，对（1)用诱导公式化简后,更便于判断． 解：∵33()sin()42f x x π=+=3cos 4
x -， ∴33()cos()cos 44
x x f x -=--=- 所以函数33()sin()42f x x π=+为偶函数． 点评：判断函数的奇偶性时，判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．
变式训练2。()lg(sin f x x =)
解：函数的定义域为R ，
()lg[sin()f x x -=-=lg(sin x -
=1lg(sin x -=lg(sin x -+=()f x -
所以函数()lg(sin f x x =为奇函数．
例3。 比较sin2500、sin2600的大小
解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间,利用正弦函数单调性比较大小
解：∵y=sinx 在[2
π2k π+，322k ππ+]（k ∈Z ），上是单调减函数, 又 2500〈2600∴ sin2500>sin2600
点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单 调区间，运用单调性即可，若比较复杂, 先化间；比较不同名的三角函数值的大小,应先化为同名的三角函数值，再进行比较．
变式训练3。cos
914cos 815ππ、 解：cos 1514cos 89
ππ> 由学生分析，得到结论,其他学生帮助补充、纠正完成。
五、反思总结，当堂检测.
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
课堂小结：
1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题
2、数学思想方法:数形结合、整体思想。
达标检测：
一、选择题
1.函数2y x =的奇偶数性为( ）.
A 。 奇函数
B 。 偶函数
C ．既奇又偶函数
D 。 非奇非偶函数
2.下列函数在[,]2π
π上是增函数的是（ ）
A. y =sin x B 。 y =cos x
C. y =sin 2x D 。 y =cos2x
3。下列四个函数中，既是0,2π?? ???
上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）.
A 。 sin y x = B. sin 2y x = C. cos y x = D 。cos2y x =
二、填空题 4。把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。
①cos x =2sin 3x =③2sin 5sin 60x x -+=④2cos 0.5x =
__________________________________________________________
5.不等式sin x ≥22-
的解集是______________________. 三、解答题
6.求出数[]1sin ,2,232y x x x πππ??=-∈-
???的单调递增区间. 参考答案：1、A 2、D 3、A 4、④ 5、5[22]45k x k π
πππ-+<<+ 6、5[,2]3
ππ 六、发导学案、布置预习。
如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线8x π=-
对称，求a 的值．
七、板书设计
正弦函数和余弦函数的性质
一、正弦函数的性质例1
二、余弦函数的性质例2
定义域、值域、单调、奇偶、周期对称 例3
八、教学反思
（1）根据学生学习知识的发展过程，在推导性质的过程中让学生自己先独思考,然后小组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性,让学生活起来。
（2）关注学生的表达，表现，学生的情感需求，课堂明显就活跃，学生的积极性完全被调动起来,很多学生想表达自己的想法。这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。
(3）判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩
短认识这些知识的时间,减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。
九、学案设计(见下页)
§1.4。2正弦函数余弦函数的性质
课前预习学案
一、预习目标
探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间。
二、预习内容
1. _____________________________________________________________________
叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期。
2。_____________________________________叫做函数的最小正周期。
3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.
4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数。由诱导公式_________________________可知,余弦函数是偶函数.
5.正弦函数图象关于____________________对称,正弦函数是_____________。余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________。
6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1。
7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.
8.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1，当且仅当x=_________________
时取得最小值－1。
9.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.
10.正弦函数sinx
y=的周期是___________________________。
3
=的周期是___________________________.
11.余弦函数y cos2x
12。函数y=sinx+1的最大值是__________，最小值是_____________，y=—3cos2x 的最大值是_____________,最小值是_________________。
π54sin π45
cos -π532sin π125cos 13.y =—3cos2x 取得最大值时的自变量x 的集合是_________________。
14。把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________
， , ， 三、提出疑惑
课内探究学案
一、学习目标：会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域
学习重难点：正弦函数和余弦函数的性质及简单应用.
二、学习过程
例1、求函数y=sin （
2x+3π）的单调增区间．
解：
变式训练1.求函数y=sin （—2x+
3π)的单调增区间 解：
例2：判断函数33()sin()42f x x π=+
的奇偶性 解：
变式训练2。()lg(sin f x x =
）
解：
例3. 比较sin2500、sin2600的大小
解：
变式训练3。cos
914cos 815ππ、 解：
三、反思总结
1、数学知识:
2、数学思想方法:
四、当堂检测
一、选择题 1。函数2y x =的奇偶数性为（ ）。
A 。 奇函数
B 。 偶函数
C ．既奇又偶函数
D 。 非奇非偶函数
2.下列函数在[,]2π
π上是增函数的是（ ）
A. y =sin x
B. y =cos x
C 。 y =sin 2x
D 。 y =cos2x
3.下列四个函数中，既是0,2π?? ???
上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）。 A. sin y x = B. sin 2y x = C. cos y x = D.cos2y x =
二、填空题 4。把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。
①cos x =2sin 3x =③2sin 5sin 60x x -+=④2cos 0.5x =
__________________________________________________________
5。不等式sin x ≥22-
的解集是______________________。 三、解答题
6.求出数[]1sin ,2,232y x x x πππ??=-∈- ???
的单调递增区间。 课后练习与提高
一、选择题
1．y =sin （x -错误!）的单调增区间是（ ）
A. [k π—错误!,k π+错误!］ （k ∈Z ）
B. ［2k π-错误!,2k π+错误! ](k ∈Z ） C 。 [k π-错误!， k π-错误!] （k ∈Z) D. ［2k π—错误!，2k π—错误!] （k ∈Z)
2．下列函数中是奇函数的是（ )
A. y =—|sin x | B 。 y =sin(-｜x ｜) C. y =sin ｜x | D. y =x sin|x |
3．在 (0,2π） 内，使 sin x 〉cos x 成立的x 取值范围是（ ）
A 。（错误!,错误!）∪（ π, 错误!） B. ( 错误!，π）
C. （ π4
，错误!） D.( 错误!,π)∪( 错误!,错误!) 二、填空题
4．Cos1，cos2,cos3的大小关系是______________________.
5．ｙ=sin(3x —错误!)的周期是__________________.
三、解答题
6．求函数y=cos 2x -4cos x +3的最值
第11课时 【教学题目】§5.6.1正弦函数的图像和性质2——正弦函数的性质 【教学目标】 1.掌握正弦函数的性质； 2.会利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学内容】 1.正弦函数的性质； 2.利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学重点】 正弦函数的性质. 【教学难点】 利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学过程】 一、导课 回顾利用“五点法”作正弦函数的图像： 要求学生用“五点法”作函数x x f sin )(=在[0,2]π上的简图. 二、新授 正弦函数的性质 根据函数x x f sin )(=的图像，总结它的性质 ()0,0，,12π?? ???，(),0π，3,12π??- ??? ，()2,0π
三、例题讲解 例1、已知sin 4x a =-求a 的取值范围. 解：因为sin 1x ≤ 所以41a -≤ 即：141a -≤-≤ 解得：35a ≤≤ 故：a 的取值范围是[]3,5. 例2、求使得函数()sin 2f x x =取得最大值x 的集合，并指出最大值是多少？ 解：设2u x =，则使函数sin y u =取得最大值1的集合是 2,2u u k k Z ππ??=+∈???? ， 由 222x u k ππ== +， 得 4x k ππ= +. 故所求集合为,4x x k k Z ππ? ?=+∈???? ，函数()sin 2f x x =的最大值是1. 四、课堂练习 已知sin 3x a =-，求a 的取值范围． 五、课堂小结 （一）正弦函数的性质； （二）利用正弦函数的性质解答相关问题. 六、布置作业 （一）课本P128练习5.6.1第3题、第4题 ； （二）课本P130习题5.6 A 组第2题（1）、第4题（1）. 七、教学反思 本节课从知识上讲授了正弦函数的性质，即正弦函数的有界性、周期性、奇偶性、单调性.难点在于使学生学会应用正弦函数的性质解答相关问题.从上课和作业反映的情况来看，学生对正弦函数的有界性掌握较好，但对于奇偶性、单调性、周期性掌握的情况不太好，需要在以后的教学中继续加强指导和训练.
课时教学设计首页（试用） 授课时间：年月日
☆补充设计☆ 第页（总页）
(4)单调性 正弦函数在闭区间 n n [—2 + 2 k n 2 + 2 k n (kE Z)上是 增函数；在闭区间 l n 3 n 「—[2 + 2 k n, —+ 2 k n (kE Z)上是减函数. 例2求使函数y= 2+ sin x取最大值和最小值的x的集合，并求这个 函数的最大值、最小值和周期. 练习：教材P154,练习A组第1、2 题. 例3 不求值，比较下列各对正弦值 的大小： (1)si n(― 18 )与sin( —:n O )； (2)sin 严与sin 宁. 奇函数图象关于坐标原点对称. (4)随着单位圆中正弦线的变 化，体会正弦函数的单调性?学生总结 正弦函数的单调性. 师：在正弦函数图象上，函数单 调性是如何体现出来的？ 生：正弦函数在[—n + 2k n n 2 + 2kn](k迂Z)上，图象是上升的， 在[2 + 2k n, + 2k n](k^Z)上， 图象是下降的. 教师将例2结合函数图象讲 解，在练习后小结：函数y= 2+ sin x, y= 2—sin x 的图象与y = sin x 的关 系，求它们最大值、最小值的规律. 教师将例3结合正弦函数图象 讲解如何比较函数值的大小，然 后再引导学生一起写出解题步骤. 利用两个例题， 使学生更好地理解函数 性质的应用，进一步渗 透数形结合的思想. 课时教学设计尾页（试用） ☆补充设计☆ 板书设计 1?“五点法”作图； : 2 ?正弦函数的图象和性质
作业设计教材P154，练习A组第3、4、5题， 练习B组. 教学后记
课题15.3 正弦型函数 一、正弦型函数的概念 教材分析 《正弦型函数的概念》是学生在学习了三角函数线及诱导公式后，为学习函数图像的周期、相位变换提供了依据；在正弦函数的图像和性质的基础上，进一步地加深对三角函数的认识，为刻画物理学中简谐振动和电工学中交流电的电压、电流变化提供数学模型，它是三角函数知识从理论到生活实践中的连接桥梁。 学情分析 1、知识方面：学生已经掌握了三角函数线及诱导公式，以及正弦函数的图像和性质。对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题能力。 2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。 教学目标一、知识与技能 1、认识正弦型函数图像及其表达式的特征， 2、理解正弦型函数的概念， 3、会根据正弦型函数的图像或表达式求参数A，ω，?的值。 二、过程与方法 1、通过学生动手实践，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力； 2、通过多媒体辅助教学，使学生学会将复杂问题进行分解的能力 三、情感、态度与价值观 1、通过主动探索，感受探索的乐趣和成功的体验，培养学生合作
交流的意识，体会数学的理性和严谨； 2、让学生感受“从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合”的数学思想方法。 重难点1、教学重点： 正弦型函数的概念，根据已知条件求参数A，ω，?和最大最小值。 2、教学难点： 实际问题中的正弦型函数的理解。 教法与学法一、教法分析 教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。 1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。 2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与 二、学法分析 在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。 教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册 2、教师编写的学案 3、多媒体课件（PPT）,几何画板 教学 准备 1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学；
正弦函数、余弦函数的图象和性质 一、学情分析: 1、学习过指数函数和对数函数； 2、学习过周期函数的定义； 3、学习过正弦函数、余弦函数[]π2,0上的图象。 二、教学目标： 知识目标： 1、正弦函数的性质； 2、余弦函数的性质； 能力目标： 1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质； 2、会求简单函数的单调区间； 德育目标： 渗透数形结合思想和类比学习的方法。 三、教学重点 正弦函数、余弦函数的性质 四、教学难点 正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用 五、教学方法 通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）
六、教具准备 多媒体课件 七、教学过程 1、复习导入 (1) 我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？ (2) 正弦、余弦函数的图象在[]π2,0上是什么样的？ 2、讲授新课 （1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解） 通过多媒体课件展示出正弦函数在[]ππ2,2-内的图象，利用函数 图象探究函数的性质： ⅰ 定义域 正弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域 从图象上可以看到正弦曲线在[]1,1-这个范围内，所以正弦函数的值域是[]1,1- ⅲ 单调性 结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即： ⅳ 最值 观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论： 上是增函数；在)(22,22Z k k k ∈??????+-ππππ上是减函数；在)(232,22Z k k k ∈????? ?++ππππ1,22max =∈+=y Z k k x 时，当ππ1,2 2min -=∈-=y Z k k x 时，当ππ
辽宁省农村实验中学高一数学《1.3.1 正弦函数的图像与性质》学案（2） 一、学习目标 重点：正弦型函数的图象特征与性质． 难点：y＝A sin(ωx＋φ)与y＝sin x之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质． 二、知识归纳 1．正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)( A>0,ω>0)周期T= ，频率f= ,初相， 相位，振幅，值域 2.三角函数的图象变换 (1)y＝A sin x(A>0)的图象可由y＝sin x图象上各点的横坐标不变，纵坐标 (A>1)或 (0
例3.方程x ＝sin x 在x ∈[－π，π]上实根的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例4．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)求f (x )的单调递减区间、对称轴、值域； （3）求出使f (x )取最大值时x 的取值集合． 变式．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6 )＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间； (2)若x ∈[0，π2 ]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合． 课后习题： 一选择 1．函数y ＝5sin ? ????25 x ＋π6的最小正周期是( ) A.25π B.52π C ．5π D.π6
教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+
一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O
重庆市渝中区职业教育中心 数学课程教案 教师 周名昆 第 1 页 第 1 页 共 2 页 [课 题] 5.8函数)sin(?ω+=x A y 的性质和图象 [课 时] 第一课时 [课 型] 新授课 [目 标] 1. 了解正弦型函数的解析表达式中各个符号的实际背景意义； 2. 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系； 3. 能够根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [重 点]根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [难 点] 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系 [教 法] 讲授法、启发式教学法 [教 具] 教材、实物展示台、多媒体投影 [教学过程] 一、复习引入 1正弦函数在区间[-π，π]上的图象（五点法作出） 2正弦型函数引出：见教材实例 二、新课讲授 1正弦型函数)sin(?ω+=x A y 中各个字母的意义 1）A ——振幅 2）ω——频率（弧度/秒） 3）?——初相 4）??+t ——t 时刻的相位 2正弦型函数的性质：A 、T A ——最值 T ——最小正周期（? π2=T ） 例1已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） x y 5sin 3= )115sin(3π-=x y )875sin(3π+=x y )11 5sin(π+=x y 练习已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） )351sin(6π+=x y )11100sin(24ππ+=x y )4 21sin(2π+=x y x y 5.0sin 13= 3正弦型函数与正弦函数图象之间的关系（利用课件演示） ⑴x A y sin =与x y sin = 振幅变换:y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计 一、教材分析 1.教材的内容和地位 《正弦函数、余弦函数的性质》是人教A版数学必修4的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的定义和图像之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容共两课时，这里讲的是第一课时，主要是探究正弦、余弦函数的定义域、值域（最值）和周期性，而对奇偶性、对称性和单调性的探究则放在第二节课。正弦函数、余弦函数的图象和性质是三角函数里的重要内容，也是高考热点考察的内容之一。本节课的学习过程中，数形结合的思想方法贯穿了本节内容的始终，利用图像研究性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图象，充分体现了数形结合的数学思想方法。 2.教学目标 根据《新课标》的具体要求，结合学生现有的认知水平，确定教学目标如下： （1）知识与技能：通过观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题； （2）过程与方法：培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力，培养学生自主探究的能力，深化研究函数性质的思想方法； （3）情感、态度与价值观：让学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力。 3. 教学重点和难点 重点：通过观察正弦、余弦函数的图像研究正弦、余弦函数的性质； 难点：周期函数、最小正周期的意义。 二、学情分析 本课之前，学生已经学习了《必修一》，学习了函数的性质和研究函数的一般方法，学习了正弦函数、余弦函数的概念、图像以及诱导公式，这些都为本节课的学习打好了基础。函数的定义域、（最值）值域、奇偶性、单调性等性质，学生类比指数函数、对数函数、幂函数的研究方法不难由观察图像得出结论，但对于函数的周期性，学生是第一次接触，对概念的理解可能会有困难。 三、教法学法分析 1.教法分析 本节课以学生为主体，教师引导学生通过观察正弦函数图像，自主探究，总结规律，再类
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质 【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数 c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域 2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 【教学重点难点】 教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域 【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 （一）问题情境 复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？ 生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？ 生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等
邳州市中等专业学校理论课程教师教案本（2015—2016学年第1学期） 班级名称 课程名称数学 授课教师 教学部
课题15.3 正弦型函数 一、正弦型函数的概念 教材分析 《正弦型函数的概念》是学生在学习了三角函数线及诱导公式后，为学习函数图像的周期、相位变换提供了依据；在正弦函数的图像和性质的基础上，进一步地加深对三角函数的认识，为刻画物理学中简谐振动和电工学中交流电的电压、电流变化提供数学模型，它是三角函数知识从理论到生活实践中的连接桥梁。 学情分析 1、知识方面：学生已经掌握了三角函数线及诱导公式，以及正弦函数的图像和性质。对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题能力。 2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。 教学目标一、知识与技能 1、认识正弦型函数图像及其表达式的特征， 2、理解正弦型函数的概念， 3、会根据正弦型函数的图像或表达式求参数A，ω，?的值。 二、过程与方法 1、通过学生动手实践，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力； 2、通过多媒体辅助教学，使学生学会将复杂问题进行分解的能力 三、情感、态度与价值观 1、通过主动探索，感受探索的乐趣和成功的体验，培养学生合作交流的意识，体会数学的理性和严谨； 2、让学生感受“从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合”的数
学思想方法。 重难点1、教学重点： 正弦型函数的概念，根据已知条件求参数A，ω，?和最大最小值。 2、教学难点： 实际问题中的正弦型函数的理解。 教法与学法一、教法分析 教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。 1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。 2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与 二、学法分析 在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。 教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册 2、教师编写的学案 3、多媒体课件（PPT）,几何画板 教学 准备 1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学； 2、布置学生复习正弦函数的图像和性质。
学习-----好资料 § 142正弦函数、余弦函数的性质导学案 般结论：函数y = As in （，x亠门）及函数y=Acos（?x亠仃）,x?二R的 周期T = 2： 【学习目标】 1、掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期。 2、掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性。 3、会比较三角函数值的大小，会求三角函数的单调区间。 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：作出函数y=sinx与y=cosx , x€ R的图象，图象的分布有什么特点？（二）自主探究：（预习教材P34-P40） 1、 ___________________________________________________ 正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是，最小正周期是 _________________________________________ 。 2、由诱导公式 _______________________________ 可知正弦函数是奇函数；由诱导公式 __________________________ 可知，余弦函数是偶函数。 3、正弦函数图象关于直线 _______________ 轴对称，关于点 _________________ 中心对称；余弦函数图象关于直线 ________________ 轴对称，关于点 _________________ 中心对称。 4、正弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数，其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 _________________ 上都是减函数，其值从1减少到一1。 5、余弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数，其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 ______________ 上都是减函数，其值从1减少到一1。 6、正弦函数当且仅当x = ____________ 时，取得最大值1,当且仅当x= ___________________ 时取得最小值—1。 7、余弦函数当且仅当x = ________________ 时取得最大值1;当且仅当x= _________________ 时取得最小值—1。 二、合作探究 1 2兀 1 兀 1、求下列函数的周期：（1）y sin（3x ）, （2）y = 2cos（ x ） 2 5 2 6 2、求出下列函数的最大值、最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合。 (1) y=1 sin 2x (2) y = -3cos 2x 3、禾U用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大 小: ① sin( 54' ： 7 )与sin( 63 二 8 ②cos举与cos理 8 9 1 7T 4、求函数y = 2sin（― x '）的单调区间。 2 3 更多精品文档
《正弦函数的图像与性质》 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表
（2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1- Ⅲ 知识巩固 例1 作下列函数的简图 （1） x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x 解：（1）①列表
正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标： 通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标： 通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。 二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这 种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 学情分析： 本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。 教学内容分析：
1.2.1 正弦型函数的周期 一、教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念。 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。 二、教学重、难点 1. 教学重点：(1)周期函数的定义； (2)正弦、余弦函数、正切函数的周期性； 2. 教学难点：周期函数与最小正周期的意义。 三、教学设想： （一）情境导入： T：今天是星期一，7天之后星期几？ S：星期一 T：14天之后呢？ S：还是星期一 T：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天。你能找到类似的实例吗？ S：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转。。。 T：这些现象有什么共同特点呢？ S：都给我们重复、循环的感觉 T：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。
[设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲] 我们已经学习了正弦函数和余弦函数，在物理、电工和工程技术中，经常会遇到形如()sin y A x ω?=+的函数，这类函数叫做正弦型函数，它与正弦函数有着密切的联系。正弦函数的周期是2π，那么()sin y A x ω?=+的周期又是多少呢？ （二）探讨过程： 1、我们先看函数周期性的定义． 定义 对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期． 需要注意的几点： ①T 是非零常数。 ②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。 ③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。 理解定义时，要抓住每一个x 都满足),()(x f T x f =+成立才行； ④周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么2T 也是)(x f y =的周期. ⑤对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期. 2、函数()sin y A x ω?=+的周期 ()()sin f x A x ω?=+(0)ω> ()()()sin sin 2f x A x A x ω?ω?π=+=++
《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表
（2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质 【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数 c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域 2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 【教学重点难点】 教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域 【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 （一）问题情境 复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？ 生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？ 生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等 提出本节课学习目标——定义域与值域
案例名称 科目 课时正弦型函数的概念及性质（职业模块工科类） xx数学 一课时教学对象xx （2）提供者xx 一、教材内容分析 1、主要内容： 函数y Asin(x)(A0,0)的概念及性质处于中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（职业模块工科类）第一章第2节，主要利用正弦函数的性质和图像研究y Asin(x)(A0,0)的性质和图像。 2、地位与作用： 这节知识是学生在学习了正弦、余弦和正切三个基本三角函数的性质与图像的基础上，进一步加深对三角函数图像的认识，其地位与作用从以下两点可以体现： Ⅰ、它在三角函数知识从理论到生活实践中扮演了连接桥梁的角色。 Ⅱ、学好它可以进一步领会函数图像的研究方法，以及实际生活中的应用。 3、教学建议： 结合具体的实例，了解y Asin(x)(A0,0)的实际意义。 了解正弦函数在电工学和物理学中的应用，培养学生解决问题的能力。 二、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）及重点、难点
1、教学目标： 知识与能力： 掌握正弦型函数的性质． 过程与方法： 通过“变量替换”、概括、归纳的方法，让学生理解并掌握三角函数的周期和最值；通过分析例题和练习，巩固知识。 情感态度与价值观： 通过学生参与教学活动提高认真、积极、自信态度；遇到困难时，通过自己的努力加以克服。养成乐于学习的好习惯。 2、重点及难点 重点： 利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值． 难点： 正弦型函数的转化过程。 三、学习者特征分析 1、通过在基础模块上册中三角函数——正弦函数的学习，已经掌握了三角函数的概念、性质及图像，具备了一定的分析、理解能力，对于正弦型函数只需要“变量替换”而形成。 2、学生认为函数很难理解，但是在已有的知识结构基础上，通过“变量替换”总结知识点。加强了学生的运算能力及推导能力。 四、教学策略选择与设计 1、问题激发策略：
1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(教学设计) 教学目的： 知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性，最值，值域的求法； 能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学 习态度和勇于创新的精神。 教学重点：正、余弦函数单调性和最值； 教学难点：正、余弦函数单调性的理解与应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习回顾，导入新课： 1、一般结论：函数sin()y A x b ω?=++及函数cos()y A x b ω?=++，x R ∈的周期2||T πω= 2、y=sinx 为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx 是偶函数，图象关于y 轴对称。 3、正弦函数y=sinx 每一个闭区间［－ 2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2 π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数y=cosx 在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 4、正弦函数y=sinx 当x=22k ππ+时取最大值1，当x= 322 k ππ+时取最小值-1。 余弦函数y=cosx 当x=2k π时取最大值1，当x=2k ππ+最取最小值-1。（以上k Z ∈） 二、师生互动，新课讲解： 1、对称轴 观察正、余弦函数的图形，可知 （1）y=sinx 的对称轴为x=2π π+k k ∈Z （2）y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z 特别提示：当x 为对称轴时，三角函数达到最大（小）值。 2、对称中心 观察正、余弦函数的图形，可知 （1）y=sinx 的对称中心（,0)k π k ∈Z （2）y=cosx 的对称中心（,0)2k π π+ k ∈Z 例1：写出函数x y 2sin 3=的对称轴； 变式训练1：)4sin(π +=x y 的一条对称轴是（ C ） (A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π= x ， (D) 直线4π-=x
龙文教育数学学科导学案（第 15 次课） 教师:俊朝学生: 年级:高一日期: 12月16日星期: 时段: 课题正弦函数的图像及应用 学情分析学生已经学习了三角函数的图像和性质，三角函数图象的平移变换是一个难点，学生刚刚学习，需要及时加强巩固。 教学目标与 考点分析 1．掌握正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象变换； 2．结合平移变换理解y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用； 3．掌握y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径． 教学重点图象的三种变换方法是本节课的重点 教学方法导入法、讲授法、归纳总结法 学习容与过程 基础梳理 1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期的简图时，要找五个特征点 如下表所示 x 0－φ ω π 2 －φ ω π－φ ω 3π 2 －φ ω 2π－φ ωωx＋φ0 π 2 π 3π 2 2πy＝A sin(ωx＋ φ) 0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤
A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝ π6 D ．T ＝6，φ＝ π3 3．函数y ＝cos x (R x ∈)的图象向左平移π 2 个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )． A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x 4．设ω＞0，函数y ＝sin )3 (π ω+x ＋2的图象向右平移4π 3个单位后与原图象重合，则ω的最小值 是( )． A ．23 B ．43 C ．3 2 D ．3 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________. 考向一 作函数)sin(φω+=x A y 的图象 【例1】?设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ))02 ,0(<<->?π ω的最小正周期为π，且23 )4(= πf . (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin )4 21(π -x ，x ∈R . (1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 ●三维目标 1．知识与技能 (1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义． (2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期． 2．过程与方法 让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性，并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程，使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法． 3．情感，态度与价值观 让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣． ●重点、难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深化研究函数性质的思想方法． 难点：正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正)周期的意义． ●教学建议 对于函数性质的研究，学生已经有些经验．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就是完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．另外，要使学生明白研究三角函数性质就是“要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导． 1．周期性 可引导学生从正、余弦线，正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面，归纳总结“周而复始”的变化规律，给出“周期性”概念．关于
正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期，一般只要弄清定义，并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了．对于学有余力的学生，可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π. 2．其他性质 与研究周期性的方法一样，根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大(小)值等性质．值得注意的是，对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质． (1)正弦函数、余弦函数的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．所以，这一性质的研究可以交给学生自主完成． (2)正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图象观察，不要求证明．教学中要注意引导学生根据函数图象以及《数学1》中给出的增(减)函数定义进行描述．具体的，可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期，且仅有一个单增区间和一个单减区间)，对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性．对于余弦函数的单调性，可让学生类比正弦函数的单调性自己描述．另外，从一个周期的区间推广到整个定义域上去时，学生会有些不习惯，教学中要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式．正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论．由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究．同样的，对于取最大(小)值时的自变量x的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳． ●教学流程 【问题导思】