直线方程知识点总结

直线方程知识点总结 1 / 6 直线与方程知识点总结

一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向.

② 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.

③ 倾斜角的范围000180. ④ 0,900k； 0,18090k （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。

②经过两点),(),,(222111yxPyxP（21xx）的直线的斜率公式是1212xxyyk（21xx） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，则有1212//llkk。 特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则12121llkk

注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 )(11xxkyy ),(11yx为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线 直线方程知识点总结 2 / 6 斜截式 bkxy k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线 两点式 121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中 ),(),,(2211yxyx是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线

截距式 1byax a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线 一般式 0CByAx）不同时为其中0,(BA A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线

注：过两点),(),,(222111yxPyxP的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121yyxx且，直线垂直于x轴，方程为1xx； （2）若2121yyxx且，直线垂直于y轴，方程为1yy； （3）（3）若2121yyxx且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(222111yxPyxP，且线段21,PP的中点M的坐标为),(yx，则222121yyyxxx 3. 过定点的直线系 ①斜率为k且过定点),(00yx的直线系方程为)(00xxkyy；

②过两条直线0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线l2不在直线系中.

三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl两条直线的交点坐标

就是方程组00222111CyBxACyBxA的解， 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 直线方程知识点总结 3 / 6 2.几种距离

（1）两点间的距离 平面上的两点),(),,(222111yxPyxP间的距离公式21221221)()(yyxxPP 特别地，原点)0,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP （2）点到直线的距离

点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd （3）两条平行线间的距离 两条平行线0:11CByAxl, 0:22CByAxl间的距离2212BACCd （注意： ① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； ② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）

补充： 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

（2）．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为(0,)

2



的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为(,)2的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 2、利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),AxyBxyCxy若123ABACxxxkk或，则有A、B、C三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 3. 两条直线位置关系的判定： 已知 0:11CByAxl, 0:22CByAxl，则： （1）0212121BBAAll （2）;0,0-//1221122121CACABABAll （3）;0,0-1221122121CACABABAll重合与 直线方程知识点总结 4 / 6 （4）1l与2l相交01221BABA

如果2220ABC时，则： (1)1221121•BABAll

(2)21//ll）不为0,,(222212121CBACCBBAA； (3)1l与2l重合）不为0,,(222212121CBACCBBAA (4)1l与2l相交）不为0,(222121BABBAA 4. 有关对称问题 常见的对称问题： （1）中心对称

①若点),(11yxM及),(22yxN关于),(baP对称，则由中点坐标公式得1122ybyxax ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利

用21//ll，由点斜式得到所求直线方程。

（2）轴对称 ①点关于直线的对称 若两点),(111yxP与),(222yxP关于直线0:CByAxl对称，则线段21PP的中点在对称

轴l上，而且连接21PP的直线垂直于对称轴l上，由方程组







•1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA



22yx

可得到点1P关于l对称的点2P的坐标),(22yx（其中21,0xxA） ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

注：①曲线、直线关于一直线bxy对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线0),(yxf

关于直线2xy对称曲线方程是0)2,2(xyf

②曲线0),(:yxfC关于点),(ba的对称曲线方程是0)2,2(ybxaf 直线方程知识点总结 5 / 6 5. 两条直线的交角

①直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.

②两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则

有21121tankkkk.

6. 直线l上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： (1) 在直线l上求一点P，使PBPA取得最小值，

① 若点BA、位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B, .)(//即为所求点，则点于交或连接PPlABBA ② 若点BA、位于直线的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。 可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.

（2）在直线l上求一点P使PBPA取得最大值， 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连” ① 若点BA、位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。

② 若点BA、位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,

.)(//即为所求点，则点于交或连接PPlABBA (3) 22PBPA的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

7. 直线过定点问题： ① 含有一个未知参数， 12)1(axay 1)2(xxay （1） 令202xx， 将3)1(2yx式，得代入，从而该直线过定点)3,2(

② 含有两个未知参数 0)2()3(nynmxnm 0)12()3(yxnyxm