直线与方程知识点总结(学生版)

高一直线与方程的知识点在高一的数学学习中，直线与方程是一个重要的知识点。

它是数学中的一个基础概念，也是应用广泛的数学工具之一。

本文将为大家介绍高一直线与方程的相关知识，并深入探讨其应用。

一、直线的定义和性质直线是数学中最简单的几何图形之一，具有以下特点：直线上的任意两点可以确定一条直线，直线是无限延伸的，没有弯曲。

直线的方程是表示直线上所有点坐标满足的关系式。

一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。

直线的斜率是直线的一个重要性质。

斜率可以用来描述直线的方向和倾斜程度。

斜率的计算方法是根据直线上两点的坐标差来确定。

二、直线的方程直线有多种不同的方程形式，常见的有一般式、点斜式和斜截式。

一般式方程是最基本的直线方程形式。

通过使用一般式方程，可以描述直线在坐标系中的位置和性质。

点斜式方程是利用直线上一个已知点和直线的斜率来表示直线的方程形式。

给定一个点(x1, y1)和斜率k，点斜式方程可以表示为(y - y1) = k(x - x1)。

斜截式方程是以直线的斜率和截距来表示的方程形式。

斜截式方程的一般形式是y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。

三、线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。

线性方程组的求解是高一阶段数学学习的重点内容之一。

线性方程组的求解方法有多种，其中最常用的是代入法、消元法和矩阵法。

代入法是将一个方程的解代入另一个方程中，从而求解未知数的值；消元法是通过逐步消去未知数来求解方程组；矩阵法是通过线性方程组的矩阵表示，利用矩阵运算来求解。

线性方程组的解可以分为唯一解、无解和无穷解三种情况。

唯一解表示方程组有且只有一个解，无解表示方程组没有解，无穷解表示方程组有无限多个解。

四、应用举例直线与方程在实际生活中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用举例：1. 交通规划：城市的交通规划中，经常需要根据道路之间的关系和空间分布来确定道路的走向。

通过确定直线的方程，可以帮助规划人员更好地确定交通路线。

⾼⼀数学知识点总结_直线与⽅程知识点⾼⼀数学怎么学?多预习，预习还可以培养⾃⼰的⾃学能⼒。

今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!⾼⼀数学知识点总结(⼀)直线的倾斜⾓与斜率定义：x轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。

特别地，当直线与x轴平⾏或重合时，我们规定它的倾斜⾓为0度。

范围：倾斜⾓的取值范围是0°≤α<180°。

理解：(1)注意“两个⽅向”：直线向上的⽅向、x轴的正⽅向;(2)规定当直线和x轴平⾏或重合时，它的倾斜⾓为0度。

意义：①直线的倾斜⾓，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;②在平⾯直⾓坐标系中，每⼀条直线都有⼀个确定的倾斜⾓;③倾斜⾓相同，未必表⽰同⼀条直线。

公式：k=tanαk>0时α∈(0°，90°)k<0时α∈(90°，180°)k=0时α=0°当α=90°时k不存在ax+by+c=0(a≠0)倾斜⾓为A，则tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)当a≠0时，倾斜⾓为90度，即与X轴垂直练习题：1.直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜⾓为()A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°【解析】选B.直线l的斜率为k==-1，所以直线的倾斜⾓为钝⾓135°.2.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜⾓为α，若将此直线绕点P按逆时针⽅向旋转45°，得到直线的倾斜⾓为α+45°，则()A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°C.0°<α≤135°D.0°<α<135°【解析】选D.直线l与x轴相交，可知α≠0°，⼜α与α+45°都是倾斜⾓，从⽽有得0°<α<135°.3.直线l的倾斜⾓是斜率为的直线的倾斜⾓的2倍，则l的斜率为()A.1B.1C.3D.4【解析】选B.因为tanα=，0°≤α<180°，所以α=30°，故2α=60°，所以k=tan60°=.故选B.⾼⼀数学知识点总结(⼆)直线的⽅程定义：从平⾯解析⼏何的⾓度来看，平⾯上的直线就是由平⾯直⾓坐标系中的⼀个⼆元⼀次⽅程所表⽰的图形。

直线与方程知识点总结直线作为几何中最基本的图形之一，其方程的相关知识在数学中具有重要地位。

以下将对直线与方程的知识点进行详细总结。

一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角直线与 x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角。

倾斜角的取值范围是0, π)。

当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为π/2 。

2、斜率直线的斜率是倾斜角的正切值，常用 k 表示。

若直线的倾斜角为α（α≠π/2），则斜率 k ＝tanα。

对于两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)，则直线 P₁P₂的斜率 k ＝（y₂ y₁)／（x₂ x₁)（x₁≠x₂）。

斜率反映了直线的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓；斜率为正，直线上升；斜率为负，直线下降；斜率为 0，直线水平。

二、直线的方程1、点斜式若直线过点 P(x₀, y₀)，且斜率为 k，则直线方程为 y y₀＝ k(xx₀) 。

2、斜截式若直线斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 y ＝ kx ＋ b 。

3、两点式若直线过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则直线方程为（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁) 。

4、截距式若直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b（a≠0，b≠0），则直线方程为 x/a ＋ y/b ＝ 1 。

5、一般式Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0），这是直线方程的一般形式。

三、两条直线的位置关系1、平行两条直线斜率都不存在时，两直线平行；两条直线斜率都存在时，若斜率相等，截距不相等，则两直线平行。

2、垂直两条直线斜率都存在时，若斜率之积为－1，则两直线垂直；一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。

四、点到直线的距离点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²) 。

高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。

本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。

希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。

1. 直线方程的表示形式直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。

一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。

截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。

斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

2. 直线的性质与判定直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。

两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。

两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。

此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。

3. 直线与曲线的关系直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。

曲线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于曲线在该点的导数。

曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，其斜率等于切线的斜率的相反数。

通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。

4. 直线与线段的关系直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平分线。

线段的中垂线是线段的中点与线段所在直线的垂线，中垂线会将线段平分成两个相等的部分。

线段的角平分线是线段的两边所在直线的夹角的平分线，角平分线将角分成两个相等的角。

总结：本文介绍了高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线、线段的关系等内容。

通过对这些知识点的理解和掌握，可以帮助同学们更好地应对数学学习中的问题和挑战，为解决实际问题提供有力的数学工具。

直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k πα； 0,18090πππk ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。

②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-g注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件局限性点斜式)(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式b kx y +=k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线两点式121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+b ya x a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B AA ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。

α0°。

则直线的l 与x l 做直线的倾斜角。

当直线轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为倾斜角的取值2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。

3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。

4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即α的正切值叫做这条直线的斜率5.斜率：一条直线的倾斜角，我们用斜率表示直线的倾斜程度。

斜率常用表示，小写字母k注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。

的直线的斜率公式(,),(,)6.经过两点≠P x y P x y x x 11122212()为l 1与l 2l l 1k 1=k 2l 1和l 2注意：若直线可能重合时，我们得到⇔∥2或重合8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于1⊥2⇔12=--1，那么它们互相垂直，即l l k k 15二、直线的方程（个）-0==0,l l 与x l 的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0y -y 0=k (x -x 01.直线的点斜式方程（简称点斜式）：)【当直线，这是直线轴平行或重合，的方程就是y y y y 或0】注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。

0,y l x a l 与x 截距：我们把直线轴交点,0()的横坐标a 叫做直线在轴上的截距。

我们把直线与轴交点b () l 在y 的纵坐标b 叫做直线轴上的截距。

注意：截距不是距离，截距是数。

2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：=+y kx b 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。

注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。

一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的夹角α叫高一数学必修：直线与方程（知识点）②若P x y P x y ,,,111222()()中有=x x 12或=y y 12时，直线PP 12没有两点式方程。

高二数学直线方程知识点总结一、直线方程的基本形式直线方程的一般形式是Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不能同时为0。

直线方程的一般形式可以表示所有直线。

二、直线的斜率和截距1. 斜率的定义：直线的斜率是指直线上任意两点的纵坐标的差与横坐标的差的比值。

如果直线的斜率存在且不为零，就表示直线不平行于y轴。

2. 斜率的计算：设直线上两点为P(x1, y1)和Q(x2, y2)，则直线的斜率k = (y2-y1)/(x2-x1)。

3. 直线的截距：直线与坐标轴相交的点称为截距。

直线与y轴的交点称为纵截距，用b表示；直线与x轴的交点称为横截距，用a表示。

三、直线的一般式和斜截式1. 一般式：直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C 为常数，A和B不能同时为0。

2. 斜截式：直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。

四、点斜式方程1. 点斜式：直线过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。

2. 根据点斜式方程可以求得直线的斜率和截距。

五、两点式方程1. 两点式：直线过点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，则直线的两点式方程为(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

2. 根据两点式方程可以求得直线的斜率和截距。

六、平行和垂直直线的关系1. 平行关系：两条直线的斜率相等时，它们平行。

2. 垂直关系：两条直线的斜率的乘积为-1时，它们垂直。

七、直线的倾斜角1. 倾斜角的定义：直线与x轴的夹角称为直线的倾斜角。

2. 倾斜角的计算：设直线的斜率为k，则倾斜角θ = arctan(k)。

八、直线的距离和点到直线的距离1. 直线的距离：点P到直线Ax + By + C = 0的距离为d = |Ax1 + By1 + C|/√(A^2 + B^2)，其中(x1, y1)为点P的坐标。

高二数学直线与方程知识点直线和方程是高中数学中常见的知识点，对于学习数学的同学来说是非常重要的基础内容。

本文将对高二数学中与直线和方程相关的知识点进行详细介绍。

一、直线的一般方程在平面直角坐标系中，一条直线可以由其一般方程表示，即Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

这个方程表示了所有直线上的点的集合。

二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。

斜截式方程直观地表示了直线与y轴交点的位置以及直线的斜率。

三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k为直线的斜率。

点斜式方程表示了直线上两点之间的关系，通过已知一点和斜率可以确定一条直线。

四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线与x轴和y轴的截距。

截距式方程可以快速确定直线与坐标轴的交点位置。

五、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。

平行和垂直关系是直线之间的重要性质，可以通过斜率的性质进行判断和证明。

六、直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为三种情况：相交，平行和重合。

通过判断直线与线段的交点个数和位置可以确定其位置关系。

七、直线的距离公式直线与平面上任意一点的距离可以通过点到直线的距离公式计算。

设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x₁, y₁)，则点P到直线的距离为d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。

八、方程的根与解法在解方程时，我们常用到的方法有因式分解法、配方法、公式法等。

根据方程的形式选择合适的解法，通过化简方程逐步求解来确定方程的根。

九、一次函数方程一次函数方程表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

直线与方程 知识点 总结一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②与x 轴垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值与两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距 k b 与斜率 直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。

3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=推导方法：构造直角三角形“勾股定理”； ②点到直线距离：2200B A C By Ax d +++=推导方法：构造直角三角形“面积相等”；③平行直线间距离：2221BA C C d +-=推导方法：在y 轴截距),0(1C 代入②式；4、中点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ 推导方法：构造直角“相似三角形”；一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，且sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211.（北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 14.（北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C. 2 D 、22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。

直线方程（知识整理）.一．基础知识回顾 （1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2） 直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b ya x .附直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.（3）两条直线的位置关系 10两条直线平行1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . 20两条直线垂直两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）（4）两条直线的交角①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k kk +-=θ.②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.（5）点到直线的距离 ①点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.②两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离2221BA C C d +-=.（6）对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x –2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二．范例解析例1．已知直线l 过点P(-1,1)且与A(-2, 3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线l 倾斜角α的取值范围。

I 直线方程知识点总结一、基础知识梳理知识点1：直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=t a n α注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当α=900时， k 不存在）（3）过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k=t a n 1212x x y y --=α（当x 1＝x 2时，k 不存在，此时直线的倾斜角为900）.直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

二、规律方法提炼1、斜率的求法一般有两种方式（1）已知倾斜角∂,利用tan k =∂；（2）已知直线上两点，利用211221()y y k x x x x -=≠- 2、求直线的一般方法（1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性；（2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程；3、与直线方程有关的最值问题的求解策略：○1首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II 两直线的位置关系一、 基础知识梳理知识点1：两条直线平行（1）两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ 12()b b ≠，若12//l l ，则12k k =.特别地，当12,l l 斜率都不存在时，两直线也平行.（2）已知直线12l l ，的方程为1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若12//l l ，则有12210A B A B -=，且1221B C B C ≠或1221A C B C ≠知识点2：两直线垂直（1）如果两直线12,l l 的斜率都存在，分别为12,k k ，则12l l ⊥⇔（2）已知直线12l l ，的方程为1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若12l l ⊥，则有12120A A B B +=，反之亦然。

直线与方程有关知识点总结1. 直线的基本性质直线是最简单的几何图形之一，它是由无数个点连成的。

直线的基本性质包括以下几点：1）任意两点确定一条直线2）直线上的任意点与该直线上的两点距离相等3）直线是平面上的无限延伸4）直线上任意两点之间的距离是最短的2. 直线的方程直线的方程是指描述直线位置的数学式子，通常是用代数式表示。

直线的一般方程一般形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和 B 不同时为 0。

直线的斜率截距方程一般形式为 y = kx + b，其中 k 为直线的斜率，b 为直线与 y 轴的截距。

3. 直线的斜率直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个指标，一般用 k 表示。

斜率的定义是直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

斜率可以表示为 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点。

斜率的符号表示直线的倾斜方向，正斜率表示向上倾斜，负斜率表示向下倾斜，斜率为零表示平行于 x 轴，斜率不存在表示平行于 y 轴。

4. 直线的截距直线的截距是描述直线与坐标轴的交点，一般用 b 表示。

直线的斜率截距方程是一种常用的表示直线方程的形式，一般表示为 y = kx + b。

其中 b 表示直线与 y 轴的交点，称为直线的 y 截距，b 的相反数表示直线与 x 轴的交点，称为直线的 x 截距。

5. 直线的平行与垂直关系两条直线平行表示它们的斜率相等，而两条直线垂直表示它们的斜率的乘积为 -1。

如果直线的斜率为 k，则与这条直线垂直的直线的斜率为 -1/k。

6. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程是表示直线方程的一种方式，一般形式为 y - y1 = k(x - x1)，其中 (x1, y1) 是直线上的一个点，k 为直线的斜率。

7. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程是表示直线方程的一种方式，一般形式为 y = kx + b，其中 k 为直线的斜率，b 为直线的 y 截距。

直线方程知识点及公式1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的αα倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这α条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.即tan k α=※2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：),(),,(222111y x P y x P )(211212x x x x y y k ≠--=※3. 直线的点斜式方程：.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式)(11x x k y y -=-0=k 1y y =k 求它的方程，这时的直线方程为.1x x =※4．直线的斜截式方程：.只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.b kx y +=0≠k ※※5.直线方程的一般式：（）x 0A By C ++=220A B +≠6. 直线方程的两点式：.（，）121121x x x x y y y y --=--21x x ≠21y y ≠7．直线方程的截距式：. ,表示截距，它们可以是正，也可以是负.1=+by a x a b 8．斜率存在时两直线的平行：=且.21//l l ⇔1k 2k 21b b ≠9．斜率存在时两直线的垂直： ．⇔⊥21l l 121-=k k 10．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．11.直线到的角的定义及公式：1l 2l 两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的1l 2l 1l 2l 角,叫做到的角.到的角：0°＜＜1８0°， 如果1l 2l 1l 2l θθ,012121=+即k k k k 如果， 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=θ12．直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是π-,两角中的锐角或直角叫两条1l 2l 1l 2l 1θ2l 1l 1θ直线的夹角.显然当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角的取值范围：0°＜≤90°.1l 2l 1l 2l 2πα计算方法：如果如果， .2,1,012121πα=-==+则即k k k k 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=α13. 两点间距离公式：12PP =14．点到直线距离公式：点到直线的距离为：),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=15. 两平行直线间距离公式：2212-B A C C d +=。

一、直线与方程 1、直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2、直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

3、直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b注意：①②不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =. ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x ya b+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。