江苏省无锡市天一中学2022-2023学年高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A ）∩（∁U B ）= ．2．已知向量，若，则实数m= ．3．已知，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）= ．4．函数f （x ）=（sinx ﹣cosx ）2的最小正周期为 ．5．设α∈，则使幂函数y=x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 ．6．若向量，满足||=，||=1， •（+）=1，则向量，的夹角的大小为 ．7．已知﹣＜θ＜，且sin θ+cos θ=，则tan θ的值为 ．8．设且，则f （f （2））= ．9．设函数f （x ）=3|x|，则f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．10．已知，，则tan （β﹣2α）等于 ．11．函数f （x ）=2sin （πx ）﹣，x ∈[﹣2，4]的所有零点之和为 ．12．已知函数f （x ）=log a（0＜a ＜1）为奇函数，当x ∈（﹣1，a ]时，函数f （x ）的值域是（﹣∞，1]，则实数a +b 的值为 ． 13．已知函数（a ≠0，b ∈R ，c ＞0），g （x ）=m [f （x ）]2﹣n （mn ＞0），给出下列三个命题：①函数f （x ）的图象关于x 轴上某点成中心对称；②存在实数p 和q ，使得p ≤f （x ）≤q 对于任意的实数x 恒成立； ③关于x 的方程g （x ）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}． 则是真命题的有 ．（不选、漏选、选错均不给分） 14．在斜三角形△ABC 中，A=45°，H 是△ABC 的垂心，λ=+，则λ= ．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合A={2，3，a 2+2a ﹣3}，B={x ||x ﹣a |＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={1} ．【分析】根据交集与补集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={1，4}，B={3，4}，∴∁U B={1，2}，∴（∁U A）∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}．2．已知向量，若，则实数m=﹣1．【分析】先将向量，表示出来，再由二者共线即可得到答案．【解答】解：由题意知，=（1，3）﹣（0，1）=（1，2）=（m，m）﹣（0，1）=（m，m﹣1）∵∴存在实数λ使得即（1，2）=λ（m，m﹣1）解得，λ=﹣1，m=﹣1故答案为：﹣13．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【分析】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α﹣π）的值．【解答】解：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为{1} ．【分析】分别验证α取不同的值时，函数y是否满足题意即可．【解答】解：当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为{x|x≥0}，不满足题意；当α=时，函数y=x﹣1的定义域为R，且为偶函数，不满足题意；综上，满足题意的所有α值为{1}．故答案为：{1}．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为﹣．【分析】由条件判断tanθ＞﹣1，再根据sinθcosθ==﹣，求得tanθ的值．【解答】解：∵﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴θ∈（﹣，0），则tanθ＞﹣1．再根据sinθcosθ===﹣，求得tanθ=﹣（舍去），或tanθ=﹣，故答案为：﹣．8．设且，则f（f（2））=6．【分析】通过，求出a的值，然后求出f（2），即可求解所求表达式的值．【解答】解：因为设且，所以，所以a=7，f（2）==log73，f（f（2））=f（log73）=2=6．故答案为：6．9．设函数f（x）=3|x|，则f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则实数m的取值范围是（0，1）．【分析】由题意，函数f（x）=3|x|，关于y轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则m﹣1＜0＜2m，解出即可．【解答】解：由题意，函数f（x）=3|x|，关于y轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，∴m﹣1＜0＜2m，∴0＜m＜1．故答案为：（0，1）．10．已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣111．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有①②．（不选、漏选、选错均不给分）【分析】①由f（x+b）+f（b﹣x）=0即可判断①的正误；②将（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；③由f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），可判断③的正误．【解答】解：对于①，∵f（x+b）+f（b﹣x）=+=0，∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；对于②，∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），∴y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，∴△=a2﹣4cy2≥0，又a≠0，c＞0∴y2≤，∴﹣≤y≤．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；∴②正确；③∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），∴=（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x﹣b）2（t≥0），则x=b±，∴x1+x2=2b，同理x3+x4=2b，∴其解集{﹣4，﹣2，0，3}中﹣4+3≠﹣2+0，即x1+x2≠x3+x4=2b，∴③错误．故正确答案为：①②．14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=1．【分析】H是△ABC的垂心，可得tanA+tanB+tanC=．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．【解答】解：∵H是△ABC的垂心，则tanA+tanB+tanC=．∴=+，∴=+=λ，则λ====tanA=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．（2）由已知得a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，再分别把a=1和a=﹣3代入集合B验证，由此能求出a．【解答】解：（1）当a=2时，集合A={2，3，a2+2a﹣3}={2，3，5}，B={x||x﹣a|＜2}={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}，∴A∩B={2，3}．（2）∵A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}，0∈A∩B，∴a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，当a=1时，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，成立，当a=﹣3时，B={x||x+3|＜2}={x|﹣5＜x＜﹣1}，不成立．∴a=1．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．【分析】（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．【解答】解：（1）因为向量由得，所以15cosα+16tanα=0，即15﹣15sin2α+16sinα=0，解得：（舍）或．（2）由得，12﹣20cosα•tanα=0，∴，又，∴，，．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）在区间（0，）上的对称中心和对称轴．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角恒等变换化简h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值以及此时x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2），∴A=2，==﹣=，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称中心为（，0）．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称轴为x=．（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，令h（x）=f（x）•g（x）=﹣4sin（2x+）•cos2x=﹣4[sin2x+cos2x]•cos2x=﹣2sin2xcos2x ﹣2cos22x=﹣sin4x﹣2•=﹣2sin（4x+）﹣1．在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣，），sin（4x+）∈[﹣1，），h（x）∈（﹣1，2]，当4x+=﹣时，h（x）取得最大值为2，此时，x=﹣．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．【分析】（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．【解答】解：（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则．设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO﹣OE=R﹣=R﹣Rcosθ=R（1﹣cosθ）．所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1﹣cosθ）；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1﹣sinθ），∴S1=R2sinθ（1﹣cosθ）+R2cosθ（1﹣sinθ）=R2（sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ）．（2）∵，令，则2sinθcosθ=t2﹣1．∴．∴的最小值为．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【分析】（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）先求出G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；（3）若H（x）=，证明H（x）+H（1﹣x）=1，利用倒序相加法，即可求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t+1++2，设m=t+1，则m∈[1，3]，则k=m++2≥2+2=2+2，当且仅当m=，即m=取等号，当m=1时，k=1+2+2=5，当m=3时，k=2+3+=＞5，∴2+2≤m++2≤，即2+2≤k≤，即实数k的取值范围是2+2≤k≤；（3）若H（x）=，则H（x）==，则H（x）+H（1﹣x）=+=+=+=1，设H（）+H（）+H（）+…+H（）=S，H（）+H（）+…H（）+H（）=S，两式相加得2015[H（）+H（）]=2S，即2S=2015，则S=．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．【分析】（1）根据“Z函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可．（2）结合“Z函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，作出函数f1（x）的图象如图：当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，f2（x）=x﹣|x﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R 上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．2016年8月18日。

江苏省天一中学2023-2024学年高一平行班下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数34i +是关于x 的一元二次方程20x mx n ++=（m ，n ∈R ）的一个根，则m n +=（ ） A ．13-B ．1-C ．19D ．312．为深入学习党的二十大精神，某校开展“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高三年级选派8名同学参赛，这8名同学的成绩（总分10分）依次如下：9,8,10,7,10,8,8,9，则这组数据的75%分位数为（ ） A ．8B ．9C ．9.5D ．103．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面,αβ，以下结论中正确的是（ ） A ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ B ．若//,//m αβα，则//m β C ．若,//m αβα⊥，则m β⊥D ．若,⊥⊥m n n α，则//m α4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭5．在正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，E 为棱AC 的中点，则异面直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．CD 6．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c .若6b =，2a c =，π3B =，则ABC V 的面积为（ ）A ．B ．C ．6D ．127．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为可雕刻成的最大球体积是（ ）A ．18πB ．C ．6π D8．已知点A ，B ，C 均位于单位圆（圆心为O ，半径为1）上，且AB AB AC ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）AB C 1D 1二、多选题9．若复数i 34i z =+，则（ ）A ．43i z =--B ．i z +=C ．3i z +为实数D ．z 的虚部为310．在一个有限样本空间中，事件,,A B C 发生的概率满足()()()13P A P B P C ===，()59P A B =U ，A 与C 互斥，则下列说法正确的是（ ） A ．()13P AC =B ．A 与B 相互独立C ．()127P ABC =D ．()89P A B C ≤U U11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥11D PA A -的体积为定值B ．AP PC +的最小值为C ．1//A P 平面1ACDD ．直线1A P 与AC 所成的角的取值范围是π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为．13．在ABC V 中，7,8,BC AC M ==为AB 的中点，2,CQ QA BQ =u u u r u u u r 交CM 于N ，则C N A B ⋅=u u u r u u u r． 14．已知ABC V 中，,,A B C 对应边分别是,,a b c ，若22a b bc -=，则AB=.四、解答题15．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)用分层随机抽样的方法从[)[]80,90,90,100两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；(2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数；(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1）16．《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权. (1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率； (2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.17．已知向量()2,3a =r，()2cos ,sin b αα=r . (1)若a b rr P ，求b r ；(2)设()115m t a tb t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R r r r ，若a b ⊥r r ，当m r 取最小值时，求t 的值.18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，PA =PD CD ⊥，PB BD ⊥，点N 在棱PC 上，平面PBD ⊥平面ABCD ．(1)证明：AB PB ⊥；(2)若//PA 平面BDN ，求三棱锥N PAD -的体积；(3)若二面角N BD C --的平面角为π4，求PN NC ．19．如图，在平面四边形ABCD 中，已知1AD =，2CD =，ABC V 为等边三角形，记ADC α∠=，DAC β∠=.(1)若π3α=，求ABD △的面积； (2)证明：cos 12cos AC βα=-；(3)若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求ABD △的面积的取值范围.。

2021-2021学年江苏省无锡市天一中学高一〔上〕期末数学试卷〔强化班〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．〔5分〕M={|﹣2≤≤2}，N={|＜1}，那么〔∁R M〕∩N=．2．〔5分〕设，∈R，向量，，且，，那么=．3．〔5分〕向量夹角为45°，且，那么=．4．〔5分〕coα=，且α∈〔﹣，0〕，那么in〔π﹣α〕=．5．〔5分〕设2a=5b=m，且=2，m=．6．〔5分〕将函数=in〔2﹣〕的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得图象的解析式为=．7．〔5分〕假设函数的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是．8．〔5分〕设向量，满足，=〔2，1〕，且与的方向相反，那么的坐标为．9．〔5分〕假设θ是△ABC的一个内角，且，那么inθ﹣coθ的值为．10．〔5分〕角φ的终边经过点〔m∈R〕恰有三个互不相等的实数根1，2，3，那么实数m的取值范围是；123的取值范围是．14．〔5分〕函数f〔〕=in〔ωφ〕〔ω＞0，|φ|≤〕，=﹣为f〔〕的零点，=为=f〔〕图象的对称轴，且f〔〕在〔，〕单调，那么ω的最大值为．二、解答题：本大题共6题，共90分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕设函数，其中0＜ω＜2；〔Ⅰ〕假设f〔〕的最小正周期为π，求f〔〕的单调增区间；〔Ⅱ〕假设函数f〔〕的图象的一条对称轴为，求ω的值．16．〔14分〕△ABC中．〔1〕设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；〔2〕设向量=〔2inC，﹣〕，=〔in2C，2co2﹣1〕，且∥，假设inA=，求in〔﹣B〕的值．17．〔14分〕如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．〔1〕假设C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求||的最小值；〔2〕假设D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．18．〔16分〕某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如下图的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗〔阴影局部均不通风〕，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆〔MN和AB、DC不重合〕．〔1〕当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；〔2〕设MN与AB之间的距离为米，试将三角通风窗EMN的通风面积S〔平方米〕表示成关于的函数S=f〔〕；〔3〕当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19．〔16分〕如图，正方形ABCD中边长为1，2a，且=2，m=．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=og2m，b=og5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填6．〔5分〕将函数=in〔2﹣〕的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得图象的解析式为=in〔4〕．【解答】解：将函数=in〔2﹣〕的图象先向左平移，得到函数=in[2〔〕﹣]=in〔2〕的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象对应的函数解析式为：=in〔4 〕故答案为：in〔4 〕．7．〔5分〕假设函数的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是[﹣1，0〕．【解答】解：作出函数的图象如图，由图象可知0＜g〔〕≤1，那么m＜g〔〕m≤1m，即m＜f〔〕≤1m，要使函数的图象与轴有公共点，那么，解得﹣1≤m＜0．故答案为：[﹣1，0〕．8．〔5分〕设向量，满足，=〔2，1〕，且与的方向相反，那么的坐标为〔﹣4，﹣2〕．【解答】解：设=〔，〕，∵与的方向相反，∴=〔2λ，λ〕，〔λ＜0〕．又∵，∴=2，解得λ=﹣2，∴=〔﹣4，﹣2〕．故答案为：〔﹣4，﹣2〕．9．〔5分〕假设θ是△ABC的一个内角，且，那么inθ﹣coθ的值为．【解答】解：∵θ是△ABC的一个内角，且，∴inθ＞0，coθ＜0，∴inθ﹣coθ====，故答案为．10．〔5分〕角φ的终边经过点〔m∈R〕恰有三个互不相等的实数根1，2，3，那么实数m的取值范围是；123的取值范围是．【解答】解：∵，∴f〔〕=〔2﹣1〕*〔﹣1〕=，那么当=0时，函数取得极小值0，当=时，函数取得极大值故关于的方程为f〔〕=m〔m∈R〕恰有三个互不相等的实数根1，2，3时，实数m的取值范围是令f〔〕=，那么=，或=不妨令1＜2＜3时那么＜1＜0，23=1∴123的取值范围是故答案为：，14．〔5分〕函数f〔〕=in〔ωφ〕〔ω＞0，|φ|≤〕，=﹣为f〔〕的零点，=为=f〔〕图象的对称轴，且f〔〕在〔，〕单调，那么ω的最大值为9．【解答】解：∵函数f〔〕=in〔ωφ〕〔ω＞0，|φ|≤〕，=﹣为f〔〕的零点，=为=f〔〕图象的对称轴，∴ω〔﹣〕φ=nπ，n∈Z，且ω•φ=n′π，n′∈Z，∴相减可得ω•=〔n′﹣n〕π=π，∈Z，即ω=21，即ω为奇数．∵f〔〕在〔，〕单调，〔1〕假设f〔〕在〔，〕单调递增，那么ω•φ≥2π﹣，且ω•φ≤2π，∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2π①，且ω•φ≤2π，∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣φ=π，∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f〔〕=in〔11﹣〕在〔，〕上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣φ=π，∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f〔〕=in〔9〕在〔，〕上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．〔2〕假设f〔〕在〔，〕单调递减，那么ω•φ≥2π，且ω•φ≤2π，∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2π﹣③，且ω•φ≤2π，∈Z ④，把③④可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣φ=π，∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f〔〕=in〔11﹣〕在〔，〕上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣φ=π，∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f〔〕=in〔9〕在〔，〕上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9．故答案为：9．二、解答题：本大题共6题，共90分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕设函数，其中0＜ω＜2；〔Ⅰ〕假设f〔〕的最小正周期为π，求f〔〕的单调增区间；〔Ⅱ〕假设函数f〔〕的图象的一条对称轴为，求ω的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔〕=in2ω…〔2分〕=in〔2ω〕．…〔3分〕∵T=π，ω＞0，∴，∴ω=1．…〔4分〕令，…〔5分〕得，…〔6分〕所以f〔〕的单调增区间为：．…〔7分〕〔Ⅱ〕∵的一条对称轴方程为，∴．…〔9分〕∴．…〔11分〕又0＜ω＜2，∴．∴=0，∴．…〔13分〕16．〔14分〕△ABC中．〔1〕设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；〔2〕设向量=〔2inC，﹣〕，=〔in2C，2co2﹣1〕，且∥，假设inA=，求in〔﹣B〕的值．【解答】〔1〕证明：∵•=•，∴，∴，即．∴△ABC是等腰三角形；〔2〕解：=〔2inC，﹣〕，=〔in2C，2co2﹣1〕，且∥，那么∴，那么，得，∴in2C=0，∵C∈〔0，π〕，∴．∵，，∴，．∴．17．〔14分〕如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．〔1〕假设C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求||的最小值；〔2〕假设D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．【解答】解：〔1〕以O为原点，OA为轴建立直角坐标系，那么设D〔t，0〕〔0≤t≤1〕，那么，所以，当时，．〔2〕由题意，设C〔coθ，inθ〕，所以=．因为，那么，所以．18．〔16分〕某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如下图的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗〔阴影局部均不通风〕，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆〔MN和AB、DC不重合〕．〔1〕当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；〔2〕设MN与AB之间的距离为米，试将三角通风窗EMN的通风面积S〔平方米〕表示成关于的函数S=f〔〕；〔3〕当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：〔1〕由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN 中MN边上的高为米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为〔2〕当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积综上可得；〔3〕当MN在矩形区域内滑动时，f〔〕在区间上单调递减，那么f〔〕＜f〔0〕=；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当〔米〕时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．19．〔16分〕如图，正方形ABCD中边长为1，a即可，而g〔a〕在a∈〔2，4]上是增函数，，故实数t的取值范围为；〔15分〕同理可求当a∈[﹣4，﹣2〕时，t的取值范围为；综上所述，实数t的取值范围为．〔16分〕。

江苏省无锡市天一中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(2)已知二次函数()g x 满足()()1224226x x x g g ++=++，()13g =-，若不等式()()g x fx <有解，求m 的取值范围.22．若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.(1)试判断()()22R x g x x =-Î是否为“局部奇函数”；(2)已知1a >，对于任意的[]0,1b Î，函数()()2ln 1h x x a x x b =++-+-都是定义域为[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数a 的取值范围.（2）C B ÍQ ，{}|1C x a x a =<£+，44819a a a ³ì\Þ£<í+<î.18．(1)增区间为()1,-+¥，减区间为(),3-¥-(2)11a -££【分析】（1）根据对数复合函数的单调性即可求解，（2）根据一元二次不等式恒成立，结合判别式即可求解.【详解】（1）当2a =-时，()()22log 43f x x x =++，2430x x \++>，()()310x x ++>，解得：3x <-或1x >-，令243t x x =++，0t >，则2log y t =，243t x x =++Q 的对称轴为2x =-，243t x x \=++的增区间为()1,¥-+，减区间为(),3¥--，又2log y t =为增函数，\根据“同增异减”法则：()()22log 43f x x x =++的增区间为()1,¥-+，减区间为(),3¥--；（2）x "ÎR Q ，()1f x ³恒成立，()222log 231log 2x ax \-+³=恒成立，2232x ax \-+³，即2210x ax -+³恒成立，。

江苏省无锡市天一中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2参考答案：A考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A，B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．解答：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，且A∩B≠?，∴a＜2．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2. 为了得到函数的图像，只需将的图像上每一点Ａ．向左平移个单位长度Ｂ．向右平移个单位长度Ｃ．向左平移个单位长度Ｄ．向右平移个单位长度参考答案：D3. 已知的表达式为（） A． B．C．(x+1)2+2 D．(x+1)2+1参考答案：C4. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．3参考答案：C【考点】HR：余弦定理．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C5. 不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2} C．{x|﹣2＜x＜5} D．{x|x＞5或x＜﹣2}参考答案：D【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣5）＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＞0可化为（x+2）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣2或x＞5，∴不等式的解集是{x|x＜﹣2或x＞5}．故选：D．6. 己知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则的值为( )A. B． C. D.参考答案：C7. 已知sin（α+β）=，则tanαcotβ=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】方程思想；整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意及和差角的三角函数公式整体可解得sinαcosβ和cosαsinβ的值，要求的式子切化弦，整体代入可得．【解答】解：∵sin（α+β）=，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，联立以上两式可解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，∴tanαcotβ===，故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，整体法是解决问题的关键，属基础题．8. 圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是（）A．3πa2 B．4πa2 C．5πa2 D．6πa2参考答案：C【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据相似三角形求出上底面半径和a的关系，再计算两底面积之和．【解答】解：设圆台的母线AA′与圆台的轴OO′交于点S，则∠ASO=30°，设圆台的上底面半径为r，则SA′=2r，OA=2r，SA=4r，∴AA′=SA﹣SA′=4r﹣2r=2r=2a，∴r=a，∴圆台的上下底面积S=πr2+π（2r）2=5πr2=5πa2．故选C．【点评】本题考查了圆台的结构特征，属于基础题．9. 2017年9月29日，第七届宁德世界地质公园文化旅游节暨第十届太姥山文化旅游节在福鼎开幕.如图所示是本届旅游节的会标，其外围直径为6，为了测量其中山水图案的面积，向会标内随机投掷100粒芝麻，恰有30粒落在该图案上，据此估计山水图案的面积大约是（）A ．B ．C ．D ．参考答案：B10. 已知函数的部分图象如图所示，=A.B.C. 2D. 1参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数 (其中)的图象为，则函数的图象一定不过第 ▲象限.参考答案：四12. 下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ．参考答案：13. 设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A M ，A 不是空集，且满足：若a A ，则，则满足条件的集合A 共有_____________个．参考答案：714. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为________．参考答案：8 略15. 若关于的方程= k 有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 _____▲_ .参考答案：16. 已知直线l 过点，且与直线垂直，则直线l 的方程为____.参考答案：分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，直线过点，直线的方程为：.故答案为：.点睛：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，（1）若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．（2）若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.17. 过点的直线的方程为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 函数f(x)=√1−e x +√x+3的定义域为( )A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]2. “x =2kπ+π6,k ∈Z ”是“sinx =12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知扇形的弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为( )A. π4B. π6C. π2D. 9π44. 函数y =log 13(6−x −x 2)的单调递增区间是( ) A. [−12,+∞)B. [−12,2)C. (−∞,−12]D. (−3,−12]5. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=4|b ⃗ |，且(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π66. 已知函数f(x)=lg(4x −13x −m)，若对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立，则实数m 的取值范围为( )A. [−193,+∞)B. (−∞,−114)C. [−193,−114]D. [−193,−114)7. 已知函数f(x)=ln(x 2−1)+2x +2−x ，则使不等式f(x +1)<f(2x)成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−13)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)8. 已知不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |在t =t 0处取最小值，当0<t 0<15时，θ的取值范围为( )A. (0,π3)B. (π3,π2)C. (π2,2π3)D. (2π3,π)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. φ=−2π3B. 函数f(x)图象的对称轴为直线x =kπ2+7π12(k ∈Z)C. 将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x −π3)的图象 D. 若f(x)在区间[2π3,a]上的值域为[−A,√3]，则实数a 的取值范围为[13π12,3π2]10. 已知x ，y 是正数，且2x +y =1，下列叙述正确的是( )A. xy 最大值为18 B. 4x 2+y 2的最小值为12 C. x(x +y)最大值为14D.x+2y 2xy最小值为411. 在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. 若AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的最大值为1812. 已知直线y =−x +2分别与函数y =e x 和y =lnx 的图象交于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则下列结论正确的是( )A. x 1+x 2=2B. e x 1+e x 2>2eC. x 1lnx 2+x 2lnx 1<0D. x 1x 2>√e2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知幂函数f(x)=(m 2−3m +1)x m2−4m+1的图象不过原点，则实数m 的值为 ．14. 设α，β∈(0,π)，cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根，则sinαsinβ= ．15. 设函数f(x)={2cos π3x,x ∈[−6,6]12|x|,x ∈(−∞,−6)∪(6,+∞)，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．16. 在平面四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，且AB =1，EF =√2，CD =√3，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 从给出的两个条件①a =1，②a =2，③a =3中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合A ={0,a +2}，B ={0,1，a 2}.(1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的值； (2)已知_____，若集合C 含有两个元素且满足C ⊆(A ∪B)，求集合C ．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx +2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω以及函数f(x)的对称中心； (2)已知f(x 0)=115,x 0∈[π6,π3]，求cos2x 0的值．19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3，D 是BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AD 交于点G ．(1)设AG⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (2)设H 是BE 上一点，且HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20. 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%，即假定奖励方案模拟函数为y =f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25,1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤x5恒成立． (1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)=115x +10；(Ⅱ)f(x)=2√x −6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数f(x)=a √x −10(a ≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．21. 对于集合Ω={θ1,θ2,…,θn }和常数θ0，定义：μ=cos 2(θ1−θ0)+cos 2(θ2−θ0)+⋯+cos 2(θn −θ0)n为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．(1)若集合Ω={π3,π4}，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；(2)若集合Ω={π3,2π3,π}，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；(3)若集合Ω={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．22.已知M={x∈R|x≠0且x≠1}，f n(x)(n=1,2，…)是定义在M上的一系列函数，满足：f1(x)=x，f i+1(x)=f i(x−1x)(i∈N+).(1)求f3(x)，f4(x)的解析式；(2)若g(x)为定义在M上的函数，且g(x)+g(x−1x)=1+x．①求g(x)的解析式；②若方程(2x−1−m)(2x(x−1)g(x)+3x2+x+1)+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【解答】解：要使原函数有意义，则{1−e x ≥0x +3>0，解得−3<x ≤0． ∴函数f(x)=√1−e x √x+3的定义域为(−3,0]． 故选：A ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了充分必要条件，考查三角函数问题，属于基础题． 根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由“x =2kπ+π6,k ∈Z ”能推出“sinx =12”，是充分条件， 由“sinx =12”推不出“x =2kπ+π6,k ∈Z ”，比如x =5π6，不是必要条件，故“x =2kπ+π6,k ∈Z ”是“sinx =12”的充分不必要条件， 故选：A ．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题．利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：扇形的圆心角θ=lr =3π2r=π2， 所以r =3，则扇形的面积S =12lr =12×3π2×3=94π．故选：D ．4.【答案】B【解析】 【分析】本题的考点是复合函数的单调性，对于对数函数需要先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间． 【解答】解：要使函数有意义，则6−x −x 2>0，解得−3<x <2， 故函数的定义域是(−3,2)， 令t =−x 2−x +6=−(x +12)2+254，则函数t 在(−3,−12)上单调递增，在[−12,2)上单调递减， 又因函数y =log 13x 在定义域上单调递减， 故由复合函数的单调性知y =log 13(6−x −x 2)的单调递增区间是[−12,2)． 故选：B ．5.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，且|b ⃗ |=t ，由向量垂直的性质可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0，由数量积运算性质可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于一般题． 【解答】解：根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，|b ⃗ |=t ，则|a ⃗ |=4|b ⃗ |=4t ，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=4t 2cosθ−2t 2=0， 则有cosθ=12，又由θ∈[0,π]，则θ=π3， 故选：B ．6.【答案】D【解析】 【分析】利用对数的不等式的解法将不等式转化为0<4x −13x −m ≤10，然后利用参变量分离转化为{m <4x −13xm ≥4x−13x −10，研究函数y =4x−13x 在[−1,1]上的单调性，求出函数的最值，即可得到m 的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，涉及了对数不等式的解法、函数单调性的判断与应用，要掌握不等式恒成立问题的常规解法：参变量分离法、数形结合法、最值法，属于较难题． 【解答】解：对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立， 即lg(4x −13x −m)≤1，可得0<4x −13x −m ≤10， 则有{m <4x −13xm ≥4x−13x −10， 因为y =4x 在[−1,1]上为增函数，函数y =13x 在[−1,1]上为减函数，所以函数y=4x−13x在[−1,1]上为增函数，故y min=14−3=−114，y max=4−13=113，所以113−10≤m<−114，则实数m的取值范围为[−193,−114)．故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了偶函数的定义及判断，判断函数单调性的方法，增函数的定义，二次函数和对数函数的单调性，以及绝对值不等式的解法，考查了推理和计算能力，属于中档题．容易看出f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，可设g(x)=2x+2−x，根据函数单调性的定义可判断g(x)在(1,+∞)上是增函数，从而判断出f(x)在(1,+∞)上是增函数，这样即可由f(x+1)<f(2x)得出f(|x+1|)<f(|2x|)，进而得出{|x+1|>1|2x|>1|x+1|<|2x|，解出x的范围即可．【解答】解：易得f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，设g(x)=2x+2−x，任取1<x1<x2，则g(x1)−g(x2)=2x1+2−x1−(2x2+2−x2)=2x1−2x2+2x2−2x1 2x1·2x2=(2x1−2x2)(2x1·2x2−12x1·2x2)，∵1<x1<x2，∴2x1−2x2<0,2x1·2x2−1>0,2x1·2x2>0,∴g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，∴g(x)在(1,+∞)上是增函数，且y=ln(x2−1)在(1,+∞)上是增函数，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴由f(x+1)<f(2x)得，f(|x+1|)<f(|2x|)，∴{|x +1|>1|2x|>1|x +1|<|2x|, ∴{(x +1)2>12x >1或2x <−1(x +1)2<(2x)2，解得x <−2或x >1， ∴x 的取值范围是：(−∞,−2)∪(1,+∞)． 故选：D ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围．由平面向量的线性运算得：得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量模的运算得：|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，由二次函数的性质可得：当t =t 0=1+2cosθ5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，再求向量夹角的取值范围即可．【解答】解：由题意有：不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)， 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，由二次函数的性质有：当t =t 0=1+2cosθ5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，即0<1+2cosθ5+4cosθ<15， 解得−12<cosθ<0， 又θ∈[0,π]， 即θ∈(π2,2π3)，故选：C ．9.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的性质，图象的平移变换，属于拔高题．根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐项判断即可得到结论．【解答】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=2，且34T=7π12−(−π6)=34π，所以T=π，解得ω=2πT=2，又f(7π12)=2sin(2×7π12+φ)=2，所以sin(7π6+φ)=1，即7π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，又|φ|<π，所以φ=−2π3，故选项A正确；所以f(x)=2sin(2x−2π3).令2x−2π3=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2+7π12，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+7π12(k∈Z)，故选项B正确；将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x+2π3−2π3)=2sin2x，故选项C错误；x∈[2π3,a]，则2x−2π3∈[2π3,2a−2π3]，因为f(x)在区间[2π3,a]上的值域为[−A,√3]，即[−2,√3]，且f(2π3)=2sin2π3=√3，所以3π2≤2a−2π3≤7π3，解得13π12≤a≤3π2，即实数a的取值范围为[13π12,3π2]，故D正确．故选：ABD．10.【答案】AB【解析】【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了利用基本不等式求解最值．【解答】解：∵x ，y 是正数，且1=2x +y ≥2√2xy ，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =12，x =14时取等号，∴解可得，xy ≤18，即xy 的最大值18，A 正确；4x 2+y 2=(2x +y)2−4xy =1−4xy ≥1−4×18=12，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =12，x =14时取得最小值12，B 正确； 因为2x +y =1， 所以y =1−2x ，所以x(x +y)=x(1−x)⩽(x+1−x 2)2=14，当且仅当x =1−x 即y =0，x =12时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C 错误； 因为x+2y2xy =12(1y +2x )=12(4x+2yx+2x+y y)=12(5+2y x+2xy )≥12(5+4)=92，当且仅当2yx =2xy且2x +y =1即x =y =13时取等号，D 不正确． 故选：AB ．11.【答案】BCD【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题．对选项 A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确．对选项C ，首先根据已知得到AD 为∠BAC 的平分线，即AD ⊥BC ，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确．对选项D ，首先根据A ，P ，D 三点共线，设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1，再根据已知得到{λ=t μ=1−t 2，从而得到y =λμ=t(1−t 2)=−12(t −12)2+18，即可判断选项 D正确． 【解答】 解：如图所示：对选项A,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误； 对选项B ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 故B 正确；对选项C,AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示平行于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量， 由平面向量加法可知：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |为∠BAC 的平分线表示的向量，为为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以AD 为∠BAC 的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD ⊥BC ，如图所示：BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量，故选项 C 正确； 对选项 D ，如图所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线， 设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1， 又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{λ=t μ=1−t 2，0≤t ≤1， 令y =λμ=t ×1−t 2=−12(t −12)2+18，t =12时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确． 故选：BCD ．12.【答案】ABC【解析】 【分析】先根据题意画出图形，由函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，知函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称，y =−x +2也是关于直线y =x 对称，然后由直线y =−x +2与函数y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)也关于直线y =x 对称，得出x 2=y 1，再根据A(x 1,y 1)在y =−x +2上，后面再结合基本不等式、函数的零点存在定理等逐一判断即可．本小题主要考查函数对称性的应用、反函数、函数零点存在定理等知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于拔高题． 【解答】解：画出图形，如图，由于函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，故函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称， 因为直线y =−x +2也关于直线y =x 对称，从而直线y =−x +2与函数=y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 也关于直线y =x 对称，∴x 2=y 1，x 1=y 2，又A(x 1,y 1)在y =−x +2上，即有x 1+y 1=2，故x 1+x 2=2，故选项A 正确； e x 1+e x 2>2√e x 1⋅e x 2=2√e x 1+x 2=2e ，故B 正确；将y =−x +2与y =e x 联立可得−x +2=e x ，即e x +x −2=0， 设f(x)=e x +x −2，则函数f(x)为单调递增函数，因为f(0)=1+0−2=−1<0，f(12)=e 12+12−2=e 12−32>0，故函数f(x)的零点在(0,12)上，即0<x 1<12，由x 1+x 2=2得，32<x 2<2，x 1lnx 2+x 2lnx 1=x 1lnx 2−x 2ln 1x 1<x 1lnx 2−x 2lnx 2=(x 1−x 2)lnx 2<0，故C 正确．将y=−x+2与y=lnx联立可得−x+2=lnx，即2−x−lnx=0，记g(x)=2−x−lnx，则g(1)=1>0，g(√e)=2−√e−12=32−√e<0，则1<x2<√e，又x1x2=(2−x2)x2=x2lnx2，易知函数y=xlnx在(1,√e)上单调递增，故x1x2=x2lnx2<√eln√e=√e2，故选项D错误．故选：ABC．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义，熟练掌握幂函数的定义，性质是解题的关键．根据幂函数的定义求出m的值，验证函数图象是否过原点即可．【解答】解：由题意得：m2−3m+1=1，解得：m=0或m=3，m=0时，f(x)=x，过原点，m=3时，f(x)=1x2，不过原点，故m=3，故答案为：3．14.【答案】√76【解析】【分析】本题主要考查利用同角三角函数基本关系化简，结合根与系数之间的关系，利用转化法进行求解是解决本题的关键，是中档题．根据根与系数之间的关系，得到cosαcosβ，cosα+cosβ的值，然后利用同角的三角函数关系进行转化求解即可．【解答】解：∵cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根， ∴cosαcosβ=−26=−13，cosα+cosβ=−−36=12， (sinαsinβ)2=sin 2αsin 2β =(1−cos 2α)(1−cos 2β) =1−cos 2α−cos 2β+cos 2αcos 2β =(1+cosαcosβ)2−(cosα+cosβ)2=(1−13)2−14=49−14=736，∵α，β∈(0,π)，∴sinαsinβ>0， 则sinαsinβ=√76，故答案为：√76．15.【答案】(−∞,−52)∪{52}【解析】 【分析】作出函数f(x)的图象，设f(x)=t ，设关于t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，则方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，利用二次方程根的分别列出关于实数a 的不等式组，解之即可． 本题考查了函数零点与方程根的关系，属于中档题． 【解答】解：作出函数f(x)的简图如图，令f(x)=t ，要使方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根， 则方程t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，t 1⋅t 2=1，且由图可知方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根时，t 1=−2，t 2=−12，此时a =52；当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有6个根和0个根时，t 1∈(0,12)，t 2∈(2,+∞)，设g(t)=t 2+at +1，则有{g(0)=1>0g(12)=54+12a <0g(2)=5+2a <0，解得a <−52；当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有3个根和3个根时，t 1=t 2=2，不满足t 1⋅t 2=1，故不可能，所以实数a 的取值范围是(−∞,−52)∪{52}. 故答案为：(−∞,−52)∪{52}.16.【答案】13【解析】 【分析】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．画出图形，结合图形，先求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再利用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【解答】 解：如图所示，设AB ∩DC =O ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗2，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，两式相加得EF⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2； ∵AB =1，EF =√2，CD =√3，平方得2=1+3+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2； 又∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15， 即(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=15； ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−2 =13． 故答案为：13．17.【答案】解：(1)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A ⫋B ，当a +2=1时，即a =−1时，不满足互异性，不符合题意； 当a +2=a 2时，即a =−1或a =2时，可知a =2符合题意； 所以a =2； (2)若选①：则B ={0,1，1}，不满足互异性，不符合题意； 若选②：A ={0,4}，B ={0,1，4}，所以A ∪B ={0,1，4}， 所以C ={0,1}，C ={0,4}，C ={1,4}； 若选③：A ={0,5}，B ={0,1，9}， 所以A ∪B ={0,1，5，9}，所以C ={0,1}，C ={0,5}，C ={0,9}，C ={1,5}，C ={1,9}，C ={5,9}．【解析】本题考查了充分条件与必要条件的判断、集合与集合关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得到A⫋B，分情况求解即可；(2)分别选择①②③进行研究，利用集合与集合之间的关系进行分析求解即可．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2√3sinωxcosωx+2cos2ωx=√3sin2ωx+cos2ωx+1 =2sin(2ωx+π6)+1(ω>0)的最小正周期为π，∴2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(2x+π6)+1．令2x+π6=kπ，k∈Z.求得x=kπ2−π12，k∈Z．可得f(x)的对称中心为(kπ2−π12,1)，k∈Z．(2)∵f(x0)=2sin(2x0+π6)+1=115,x0∈[π6,π3]，∴sin(2x0+π6)=35，结合2x0+π6∈[π2,5π6]，可得cos(2x0+π6)=−√1−sin2(2x0+π6)=−45，∴cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=−45×√32+35×12=3−4√310．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称中心，得出结论．(2)先由题意求出sin(2x0+π6)的值，可得cos(2x0+π6)的值，再利用两角差的余弦公式，求得cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和对称中心，两角和差的三角公式，属于中档题．19.【答案】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(3,0)． (1)由AE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得E(2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)．由D 是BC 的中点，得D(32,1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,1)． 设G(x,y)，则AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)． 因为A 、G 、D 三点共线， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x =32y ，① 因为B 、G 、E 三点共线，所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ //BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即2(y −2)=−2x ，② 联立①②解得点G 的坐标为(65,45)，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗=(65,45)． 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗=45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以实数λ的值为45． (2)设H(t,−t +2)，则HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,−2+t)，HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,t)，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−t,t −2)． 因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(−t)2+t(t −2)=−t(3−t)+(t −2)2， 解得t =45，所以H 的坐标为(45,65)，所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−25,25)． 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−25×3+25×(−2)=−2．【解析】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于拔高题．建立平面直角坐标系，求出各点坐标．(1)根据向量共线的性质求出G 的坐标，分别求出两个向量AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，即可求解； (2)根据等式求出H 的坐标，进而求得结论．20.【答案】解：(1)对于函数(Ⅰ)，∵f(30)=12>305=6，即函数(Ⅰ)不符合条件③，∴函数f(x)=115x +10不符合公司奖励方案函数模型的要求； 对于函数(Ⅱ)，当x ∈[25,1600]时，f(x)是增函数， 且f(x)max =f(1600)=2×40−6=74<90， ∴f(x)≤90恒成立．设ℎ(x)=2√x −6−x5=−15(√x −5)2−1， ∵√x ∈[5,40]，∴当√x =5时，ℎ(x)max =−1≤0，得f(x)≤x5恒成立． ∴函数(Ⅱ)f(x)=2√x −6符合公司要求． (2)∵a ≥2，∴函数f(x)=a √x −10满足条件①，由函数f(x)满足条件②得：a √1600−10≤90，解得a ≤52， 由函数f(x)满足条件③得，a √x −10≤x5对x ∈[25,1600]恒成立， 即a ≤√x 5+√x对x ∈[25,1600]恒成立，∵√x 5+√x ≥2√√x510√x=2√2，当且仅当√x 5=√x ，即x =50时等号成立， ∴a ≤2√2．综上所述，实数a 的取值范围是[2,52].【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法、基本不等式及函数的单调性求最值，考查运算求解能力，是中档题．(1)由f(30)=12>6，说明函数(Ⅰ)不符合公司奖励方案函数模型的要求；验证函数模型(Ⅱ)满足题目给出的三个条件，说明函数(Ⅱ)f(x)=2√x −6符合公司要求; (2)由a ≥2，说明函数f(x)满足条件①，再求解不等式及利用基本不等式求最值求出满足条件②③的a 的范围，取交集可得实数a 的取值范围．21.【答案】解：(1)当集合为Ω={π3,π4}，θ0=0时，集合Ω相对θ0的“余弦方差μ=cos 2(π3−0)+cos 2(π4−0)2=38； (2)当集合Ω={π3,2π3,π}时，集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”μ=cos 2(π3−θ0)+cos 2(2π3−θ0)+cos 2(π−θ0)3=(12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos 2θ03=12cos 2θ0+32sin 2θ0+cos 2θ03=12∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为12； (3)当集合Ω={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)时，集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”μ=cos 2(π4−θ0)+cos 2(α−θ0)+cos 2(β−θ0)3=13⋅[(12+cos 2α+cos 2β)cos 2θ0+(1+sin2α+sin2β)sinθ0cosθ0+(12+sin 2α+sin 2β)sin 2θ0]要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且12+cos 2α+cos 2β=12+sin 2α+sin 2β由α∈[0,π)，β∈[π,2π)取α=7π12，β=11π12可满足上式．【解析】本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属拔高题． (1)直接代入定义求解即可；(2)代入定义，利用三角恒等变换化简求值即可；(3)代入定义化简，得到1+sin2α+sin2β=0且12+cos 2α+cos 2β=12+sin 2α+sin 2β 由α∈[0,π)，β∈[π,2π)即可得解．22.【答案】解：(1)由f 1(x)=x ，f i+1(x)=f i (x−1x)(i ∈N +)，可得f 2(x)=f 1(x−1x)=1−1x，f 3(x)=f 2(x−1x)=1−1x−1x=11− x ，f 4(x)=f 3(x−1x)=11−x−1x=x ；(2)①利用(1)中的结论，用x−1x代替x 两次，分别得到{g(x−1x )+g(11−x )=2−1x g(11−x )+g(x)=1−1x−1g(x)+g(x−1x )=1+x，消去g(x−1x)，g(11−x )，可得g(x)=x 3−x 2−12x(x−1)(x ≠0,x ≠1)．②由①可得(2x −1−m)[2x(x −1)⋅x 3−x 2−12x(x−1)+3x 2+x +1]+8x 2+4x +2=0，所以(2x −1−m)(x 3+2x 2+x)+8x 2+4x +2=0， 即(2x −1−m)x(x +1)2+8x 2+4x +2=0， 因为(x +1)2≥0，8x 2+4x +2>0恒成立，要使方程(2x −1−m)(2x(x −1)g(x)+3x 2+x +1)+8x 2+4x +2=0有且仅有一个实根，所以只需x(2x −1−m)<0有负实数解，且原方程有且只有一个负根， 则m+12<0，解得m <−1．即m 的取值范围是(−∞,−1)．【解析】本题考查函数方程的关系，以及函数的解析式的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于拔高题．(1)由新定义函数，即可得到所求解析式； (2)①利用(1)中的结论，用x−1x代替x 两次，计算可得所求；②求得原方程(2x −1−m)(x 3+2x 2+x)+8x 2+4x +2=0，转化为只需x(2x −1−m)<0有负实数解，即可得到所求范围．。