江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题(优质解析)

2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若全集U={0，1，2，3，4，5}，且∁U A={1，2，3}，则集合A的子集共有（）A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个【答案】D【解析】【分析】由已知求得A，再由子集概念得答案．【详解】∵U={0，1，2，3，4，5}，且∁U A={1，2，3}，∴A={0，4，5}，∴集合A的子集共有23=8个．故选：D．【点睛】本题考查补集运算，考查子集的概念，是基础题．2.下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查函数的单调性.函数图像是开口向下，对称轴为的抛物线，在上是增函数，在上是减函数；所以在区间(0，+∞)上不单调；A错误；幂函数在定义域上是增函数；在区间(0，+∞)上是增函数；B错误；函数在定义域上是减函数；在区间(0，+∞)上是减函数；C正确；函数在定义域上是增函数；D错误；故选C3.函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A. B.C. D. R【答案】C【解析】 【分析】由分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案． 【详解】由 ，解得x ＞-1且x≠1．∴函数f （x ）=+lg （x +1）的定义域为（-1，1）∪（1，+∞）．故选：C ．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题． 4.已知a=log 20.3，b=20.3，c=0.32，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A. bca B.b ac C. abc D. c ba【答案】A 【解析】故选：A ．点睛：本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．5.函数的图象是【答案】C 【解析】因为函数是奇函数，同时在y 轴右侧单调递增，在y 轴左侧单调递增，故排除D ，A ，B ，故选C 6.已知函数f （x ）=，则f （f （））=（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，从而，由此能求出结果．【详解】∵函数f（x）=，∴，f（f（））=f（-2）=．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.函数f（x）=log3（6-x-x2）的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中函数f（x）的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．【详解】由6-x-x2＞0，可得-3＜x＜2，函数f（x）=log3（6-x-x2）的定义域为（-3，2），令t=6-x-x2，则y=log3t，∵y=log3t为增函数，t=6-x-x2的单调递增区间是（-3，-]，单调递减区间是[-，2），故函数f（x）=log0.6（6x-x2）的单调递增区间是（-3，-]，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域．8.已知函数f（x）=In（x+）+1，若实数a满足f（-a）=2，则f（a）等于（）A. 1B. 0C.D.【答案】B【解析】【分析】由实数a满足f（-a）=2，得，从而，进而，由此能求出结果．【详解】∵函数f （x ）=In （x+）+1，实数a 满足f （-a ）=2， ∴，∴，∴=-1+1=0．故选：B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 0.5a ）≤2f （1），则a 的最小值是（ ）A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】∵f （x ）是偶函数，∴f （log 2a ）+f （log 0.5a ）≤2f （1），等价为f （log 2a ）+f （-log 2a ）≤2f （1）， 即2f （log 2a ）≤2f （1）， 即f （log 2a ）≤f （1）， 即f （|log 2a|）≤f （1），∵函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数， ∴|log 2a|≤1， 即-1≤log 2a≤1， 即≤a≤2， 即a 的最小值是， 故选：A ．【点睛】根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．10.已知函数，若对任意的，且时，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得在上单调递增;当时,在上单调递增,所以由;当时, ,由,因此的单调增区间为,所以由;综上实数的取值范围为,选B.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知，则.【答案】-1【解析】因为f(2x+1)=x2-2x,令2x+1=t,x=,因此可知f(t)=,因此f(3)=-112.计算：=______．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．13.函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为．【答案】2【解析】略14.已知3a=5b=m，且，则m的值为______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件可利用对数的性质分别求得和的表达式，进而根据求得m的值．【详解】∵3a=5b=m∴m＞0∵3a=m，5b=m∴=log m3，=log m5则=log m3+log m5=log m15即m2=15而m＞0则m=故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题．15.已知定义在R上的函数f（x）=（）|x-t|+2（t∈R）为偶函数，记：a=f（log25），b=f（-log34），c=f（2t），则a、b、c的大小关系为______（用“＜”连接）．【答案】【解析】【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），即（）|-x-t|+2=（）|x-t|+2，分析可得t=0，即可得函数的解析式，据此分析可得f（x）在[0，+∞）为减函数，结合函数的奇偶性与单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）=（）|x-t|+2（t∈R）为偶函数，则f（-x）=f（x），即（）|-x-t|+2=（）|x-t|+2，分析可得t=0，则函数f（x）=（）|x|+2，当x≥0时，f（x）=（）x+2，为减函数，a=f（log25），b=f（-log34）=f（log34）=，c=f（2t）=f（0），又由0＜1＜log34＜2＜log25，则a＜b＜c；故答案为：a＜b＜c．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出t的值，属于基础题．16.若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又有f（-2）=0，则（log2x-1）•f（log2x-1）＜0的解集是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得在区间（-2，0）和（2，+∞）上，f（x）＞0，在区间（-∞，-2）和（0，2）上，f（x）＜0，令t=log2x-1，则原不等式等价于，即或，求出t的取值范围，进而由对数函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又有f（-2）=0，则函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（2）=0，则在区间（-2，0）和（2，+∞）上，f（x）＞0，在区间（-∞，-2）和（0，2）上，f（x）＜0，对于（log2x-1）•f（log2x-1）＜0，令t=log2x-1，则原不等式等价于tf（t）＜0，即或，解可得：0＜t＜2或-2＜t＜0，又由t=log2x-1，则0＜log2x-1＜2或-2＜log2x-1＜0，则有2＜x＜8或＜x＜2，即不等式的解集为（，2）∪（2，8）；故答案为：（，2）∪（2，8）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及换元法解不等式，属于基础题．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.已知全集为实数集R，A={x|y=log2（3-x）}，B={x|≥1}．求：（1）A∩B，A∪B（2）（∁R A）∩B．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）可求出A，B，然后进行交集、并集的运算即可；（2）进行补集、交集的运算即可．【详解】解：（1）A={x|x＜3}，B={x|-2＜x≤3}；∴A∩B={x|-2＜x＜3}，A∪B={x|x≤3}；（2）∁R A={x|x≥3}；∴（∁R A）∩B={3}．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，分式不等式的解法，对数的真数大于0，以及交集、并集和补集的运算．18.已知集合(Ⅰ) 求集合；（Ⅱ）若函数，求函数的值域。

2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜45．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点；15．已知函数，则f（log23）＝．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}【分析】根据补集的定义，写出∁U M．【解答】解：全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝{x|2≤x＜3}．故选：B．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅【分析】由2x＞3，得x＞log23，由（x﹣1）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜1即M＝（log23，+∞），N＝（﹣3，1），得M∩N＝∅．【解答】解：∵2x＞3∴x＞log23，即M＝（log23，+∞）又∵（x﹣1）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜1∴N＝（﹣3，1），又∵log23＞1，∴M∩N＝∅故选：D．【点评】本题考查了指数不等式与二次不等式的解法，属简单题．3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2+2x，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，在（0，+∞）是减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）是增函数，符合题意；对于D，f（x）＝lnx，不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜4【分析】根据f（x）的定义域为R，即可得出不等式kx2+kx+1≥0的解集为R，显然k＝0时满足题意，而当k≠0时，则满足，解出k的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴不等式kx2+kx+1≥0的解集为R；①k＝0时，1≥0恒成立，满足题意；②k≠0时，；解得0＜k≤4；综上得，0≤k≤4．故选：B．【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集和判别式△取值的关系．5．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【分析】由已知得f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，结合简图易得结果．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）图象关于y轴对称，∵当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，∴f（x）＜0的解集是（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】用a＝1排除A、D，由底数大于0，排除B．【解答】解：a＝1时，2＜1成立，排除A、D又3﹣2a＞0得a＜，排除B，故选：C．【点评】本题考查了其它不等式的解法，属基础题．7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f （c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）【分析】根据f（x）的定义域，可看出，要使得函数g（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1）；∴要使g（x）有意义，则；解得1＜x＜2；∴g（x）的定义域为（1，2）．故选：A．【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域的方法．9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b【分析】直接利用对数的运算性质进行大小比较．【解答】解：∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log23＞1，d＝log45＞1．且．∴b＜a＜d＜c．故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）【分析】先求得函数的定义域，本提即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：由函数f（x）＝log（x2﹣4x），可得x2﹣4x＞0，求得x＜0，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞4 }，本题即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t＝x2﹣4x在定义域内的增区间为（4，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）【分析】作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象，根据图象得出m的范围．【解答】解：作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象如图所示：∵程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，∴直线y＝m与y＝x2﹣4|x|+3的函数图象有4个交点，∴﹣1＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由奇偶性的定义可判断①；讨论x＞2，x＜2，求得f（x），以及导数，判断符号，即可判断②；由f（x）的单调性可判断③．【解答】解：函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，设g（x）＝f（x+2）＝（|x|+1）4，g（﹣x）＝g（x），可得g（x）是偶函数，故①正确；x＞2时，f（x）＝（x﹣1）4的导数为f′（x）＝4（x﹣1）3＞0；x＜2时，f（x）＝（3﹣x）4递，导数为f′（x）＝4（x﹣3）3＜0，可得f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，故②正确；由②可得f（x）在x＝2处取得最小值1，故③错误．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的求法，考查导数的运用和奇偶性定义的应用，考查运算能力，属于基础题．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．【分析】函数y＝有意义，可得0＜5x﹣3≤1，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y＝有意义，可得，即为0＜5x﹣3≤1，解得＜x≤，则定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，以及偶次根式被开方数非负，考查运算能力，属于基础题．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3）；【分析】令幂指数等于零，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1），令x2﹣2x+1＝0，求得x＝1，y ＝3，可得函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3），故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15．已知函数，则f（log23）＝．【分析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用进行求解．【解答】解：由已知得，，且1＜log23＜2，∴f（log23）＝f（log23+1）＝f（log23+2）＝f（log23+3）＝f（log224）＝＝．故答案为：．【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式进行求值．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝1．【分析】f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，从而a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，进而f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，f（lg3）＝3，∴f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，∴a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，∴f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+＝，（2）原式＝﹣+lg100+2＝﹣+2+2＝．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】先确定A、B，由B⊆A得，得﹣1≤a≤1．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|a＜x＜a+1}，∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤1．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）＝2，得c＝2，又f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1得2ax+a+b＝2x﹣1，故解得：a＝1，b＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各（1分），解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1∈[﹣1，2]，故f min（x）＝f（1）＝1，又f（﹣1）＝5，f（2）＝2，所以f max（x）＝f（﹣1）＝5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）g（x）＝x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．【分析】（1）f（x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；（2）先求出a，再求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）是增函数．证明如下：函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则．∵y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2＝0，即a＝1．（也可利用f（0）＝0求得a＝1）∴，∵2x+1＞1，∴，∴，∴．故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【分析】第一步得到解析式和x的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．【解答】解：（1）由题意可得g（x）＝，且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，h（t）＝﹣t2+t+1，∵h（t）在【1，3】递减∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，g（x）有最大值1．【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．【分析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），可得f （0）的值，令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），分析可得f（﹣1）的值；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，进而有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），结合单调性的定义分析可得结论；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，据此分析可得f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）•f（b）；令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），又由f（1）＝2，则；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），则f（x2）﹣f（x1）＞0，即函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，则f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）．【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值法分析．。

江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学（强化班）试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则图中阴影部分表示的集合为．故选：D．利用不等式的解法化简集合A，求出，可得图中阴影部分表示的集合为本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.下列函数中，表示同一函数的一组是A.B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：对于A，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数或，与的定义域不同，不是同一函数．故选：B．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．3.已知，，且，则角为A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角【答案】B【解析】解：由，，可得，，．又，角为第二象限的角．故选：B．由，，可得，，结合得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．4.已知，且，那么A. B. 10 C. D. 18【答案】A【解析】解：；；．故选：A．根据即可求出，而，从而求出的值．考查奇函数的定义及判断，已知函数求值的方法．5.设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】解：是R上的奇函数，且在内是增函数，在内也是增函数，又，，当时，；当时，；的解集是．故选：D．由对或进行讨论，把不等式转化为或的问题解决，根据是奇函数，且在内是增函数，又，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．6.函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】A【解析】解：函数是幂函数，对任意，，且，满足，解得，，，，且，．．故选：A．由幂函数的性质推导出，由此根据a，，且，得到．本题考查函数值和的符号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.函数的零点个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】解：由得，在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个，故函数的零点个数为2个，故选：C．由得，然后分别作出函数与的图象，利用数形结合即可得到结论本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键8.设、、是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是A. 正确，正确B. 错误，错误C. 正确，错误D. 错误，正确【答案】D【解析】解：错误，可举反例：，，，均不是增函数；但、、均为增函数；故错误；，，均是奇函数；为奇函数；为奇函数；同理，，均是奇函数；故正确．故选：D．可判断错误，可举出反例：，，，均不是增函数，但是、、均为增函数，从而得出错误；而可判断正确，根据、、均是奇函数可得出为奇函数，从而为奇函数，而同理可判断出，均是奇函数，从而得出正确．考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义，知道和均是奇函数时，也是奇函数．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：______．【答案】2【解析】解：．故答案为：2．直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．10.已知某产品的销售价格单位：元件是销量单位：件的函数，而总成本为单位：元，假设生产的产品全部售出，那么产量为______件时，利润最大．【答案】300【解析】解：由题意可得，设利润为，则，当时，利润最大，故答案为：300．根据题意可得，利用二次函数的性质即可求出．本题考查了二次函数的性质的应用，属于基础题．11.若，则的值域为______．【答案】【解析】解：；，；；，；的值域为．故答案为：．可变形，从而得出，，根据求出的范围，即得出的值域．考查函数解析式的定义及求法，函数值域的定义及求法，换元法求函数的解析式，以及不等式的性质．12.当时，，则在内的单调增区间为______．【答案】【解析】解：令，则，当时，，且．或．二次函数在上为减函数，在上为增函数，而对数式在上为减函数，在内的单调增区间为．故答案为：．由已知函数解析式求出时的函数解析式，由真数大于0得到x的范围，再由复合函数的单调性求解．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．13.不等式存在正整数解，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由题意知，，由，可得，构造函数，其中，则，由双勾函数的单调性可知，函数在或处取得最小值，因为，，所以，函数的最小值为，所以，，故答案为：．利用参变量分离法得到，其中，构造函数，将问题转化为，从而求出a的取值范围．本题考查一元二次不等式，利用参变量分离法，将问题转化，是解本题的关键，属于中等题．14.设，，，，一般地，，其中，则使方程有2018个根的n的值为______．【答案】2014【解析】解：，可令，，时，，即，解得舍去或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有5个根；时，，即，解得舍去或或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有6个根；时，可将中的t换为，t的值增加一个，可得原方程共有7个根；，可得使方程有2018个根的n的值为2014．故答案为：2014．运用归纳法，计算，2，3，原方程的个数，即可得到所求值．本题考查方程的根的个数问题解法，注意运用绝对值的方程解法和换元法，以及指数函数的值域，考查化简变形能力、运算能力和归纳推理能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知集合，，．求与；若，求a的取值范围．【答案】解：，，或，，或；，或；，或，；；，或；，或；的取值范围为，或．【解析】进行并集、交集和补集的运算即可；先得出，或，，根据即可得出，或，解出a的范围即可．考查描述法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，以及子集的概念．16.已知，若，求的值；若，求的值．【答案】解：，，为第四象限角，，，．，，，或．【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．17.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；证明：函数在R上是增函数；若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：由题意，可得，可得，那么可得经验证成立，故，由可得证明：任意取，，且，则，；那么则即，可得；故得函数在R上是增函数；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立；当时，成立当时，则解得．综上可得实数k的取值范围是：．【解析】由定义域为R的函数是奇函数可得，可得a的值；根据定义证明即可；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立，对k讨论可得实数k的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想，奇偶性单调性的应用，二次不等式的恒成立．18.已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和3．求的解析式；若，求函数的所有零点之和；试求在上的最小值其中【答案】解：根据题意，函数的零点为和3，则设；则，又由二次函数的图象的对称轴为，则有，解可得，则；根据题意，，而方程显然有两个不同于1的实根，其两根之和为，另外1个根为1，则方程有3个根，其和为2，则函数的所有零点之和，根据题意，，开口向下，其对称轴为，当时，，当时，，综合可得：．【解析】根据题意，设，可得，由二次函数对称轴的方程可得，解可得a的值，代入函数的解析式，即可得答案；根据题意，，分析可得的零点之和，进而可得的零点，即可得答案；根据题意，，开口向下，其对称轴为，结合二次函数的性质讨论a的取值范围，求出函数在的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的最小值，关键是求出函数的最小值．19.已知函数，其中且．当时，求的值域；函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，对称轴为，可得y的最小值为，y的最大值为0；当时，；综上的值域为；当时，函数在递增，故二次函数在也要递增，，故只有符合要求；当时，函数在递减，故二次函数在也要递减，，故无解．综上，a的取值集合为；当时，恒成立，即有，即，由，令，，可得，当且仅当时，取得等号，可得；当时，当时，，，即有，求得，故；当时，求得均符合要求．综上可得a的范围为．【解析】由二次函数和指数函数的值域求法，可得的值域；讨论，，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；讨论x的范围和a的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．20.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】解：因为，所以，由得，令，而存在一根，即存在，使得，所以为“局部奇函数”．由题意知，在R上有解，即在R上有解，所以在R上有解，令，所以在上有解，令，当时，即，解得，此时在上必有零点，所以；当时，在上有零点必须满足对称轴综上：．由题意知，，在上都有解，即，在上都有解，即，在上都有解，令，令，由题意知在上的值域包含，因为，又因为，，所以，所以，所以在上单调递增，所以综上：．【解析】若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；根据为定义域R上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；根据为定义域上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题。

五校联盟18-19年度第一学期期中考试高一数学试卷一．选择题1.下列集合中表示同一集合的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】A 选项点集中元素点的坐标不同，C 选项中前一个是点集，后一个是数集，D 选项中前一个是数集，后一个是点集，故选B 2.如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由图象可知阴影部分是集合B 与集合A 在全集U 中的补集的公共元素，因此答案选C. 考点：集合的运算3.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）A. 与B.与y=x+1C.与D. y=x 与【答案】D 【解析】 【分析】首先利用同一函数的定义，对各个选项逐个分析，分别从定义域、值域和对应法则几个角度去区分，从而确定出正确结果. 【详解】对于A ，，两个函数的值域不同，所以不是同一函数；对于B ，函数与的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，与的定义域不相同，所以不是同一函数；对于D，，与是同一函数；故选D.【点睛】该题考查的是有关选择同一函数的问题，涉及到的知识点有同一函数的定义，以及相关式子的化简公式，必须保证三要素都是完全一样的，才能保证是同一函数.4.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.考点：定义域.5.函数的图象关于( )A. 原点对称B. 轴对称C. 轴对称D. 直线对称【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的定义，判断函数为奇函数，故图像关于原点对称.【详解】函数的定义域为，即.，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性.务必记住，要判断一个函数是奇函数还是偶函数，需要先求函数的定义域.属于基础题.6.当时，函数和的图象只能是A.B.C.D.【答案】B【解析】略7.设，，，则的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先得到最小的，然后利用，求得的大小关系.【详解】由于，而，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查利用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小.属于基础题.8.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A. ﹣1B. ﹣2C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.9.已知幂函数的图象过，若，则值为（）A. 1B.C. 3D. 9【答案】B【解析】【分析】由函数的图象过点，先求出幂函数，再由，能求出的值，最后求的值. 【详解】∵幂函数幂函数的图象过，，解得．则故选：B．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法及应用，考查对数恒等式的应用，解题时要认真审题，注意待定系数法的灵活运用，是基础题．10.已知函数，其中是偶函数，且，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将代入，求得的值.然后利用奇偶性，求得的值.【详解】，由于函数为偶函数，故，.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的奇偶性来求函数值，属于基础题.注意偶函数的定义.11.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数是上的减函数∴∴故选D点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.12.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数可知，函数在上递减，在上递增.利用对数运算，将题目所给不等式转化为，即，由此解得的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，且在上递增，属于函数在上递减.原不等式等价于，即，即，所以，，解得.【点睛】本小题考查函数的奇偶性与函数的单调性，考查利用函数的奇偶性来求解不等式.如果一个函数为奇函数，那么它的图像关于原点对称，在轴两侧的单调性是相同的，如果一个函数为偶函数，则图像关于轴对称，在轴两侧的单调性是相反的本小题属于中档题.二 .填空题13.函数恒过定点__________．【答案】【解析】试题分析：定点．考点：函数的定点．14.已知函数,若=10，则=________。

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第一学期期中考试 高一数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，计70分） 1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则B A =． 2．函数()x x x f lg 1+-=的定义域是．3．函数()[]1,1,121-∈+⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x的值域是．4．已知幂函数()αx x f =的图像过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛222，，则f （4）=． 5．已知f （x ）是奇函数，当x>0时，()xx x f 1+=，则f （-1）=． 6．方程151243=-x 的解为x=．7．设()⎩⎨⎧>≤=-0,log 0,22x x x x f x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f =． 8．已知32log ,23,3223443=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a ，则a ，b ，c 从小到大用“<”号排列为． 9．若322=--xx，则=--x x 44．10．已知函数()12++=mx mx x f 的定义域是一切实数，则实数m 的取值范围是． 11．若关于x 的方程a x =-12有三个不等的实数解，则实数a 的值是．12．已知函数())1(522>+-=a ax x x f ，若f （x ）的定义域和值域均是[1，a]，则实数a=．13．设已知函数()x x f 2log =，正实数m ，n 满足m<n ，且f （m ）=f （n ），若f （x ）在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m+n=．14．已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈+=-)2,21[,2)21,0[,211x x x x f x ，若存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，()()21x f x f =，则()21x f x ⋅的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分）（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656131212132313b a b a b a （2）4lg 2lg -5lg 22+16．（本题满分14分）设集合(){}{}R x x x y y B x y x A ∈++==-==,32,1log 22． （1）求集合A ，B ，()B C A R ；（2）若集合{}0>-=a x x C ，且满足C C A = ，求实数a 的取值范围．17．（本题满分15分） 已知函数()x x x f --=12．（1）用分段函数的形式表示该函数，并在所给的坐标系中画出该函数的图像； （2）写出该函数的值域、单调区间（不要求证明）；（3）若对任意R x ∈，不等式x a x +≥-12恒成立，则实数a 的取值范围是．18．（本题满分15分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R （x ）（万元）满足：()()()⎩⎨⎧≥<≤+-=511502.44.02x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题．（1）分别写出G （x ）和利润函数y=f （x ）的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？并求出此时每台产品的售价．19．（本题满分16分）已知函数()32+=x x f ，()()R k k x x g ∈-=3． （1）如果函数()()()x g x f x F ⋅=为偶函数，求k 的值；（2）如果()()()()x f g x g f =恒成立，求k 值，并求函数()()()x g x f x h +=的值域； （3）如果k=-4，实数a 满足()()a ag a f -=22，求2323--a a 的值．20．（本题满分16分）已知函数()()()[]1,1,2222-∈++-=-x a a x f xx．（1）若设xx t --=22，求出t 的取值范围（只需直接写出结果，不须论证过程．．．．．．．．．．．．．．．），并把()x f 表示为t 的函数()t g ； （2）求()x f 的最小值；（3）关于x 的方程()22a x f =有解，求实数a 的取值范围．高一年级数学试卷答案一、填空题（共14小题，每小题5分，计70分） 1．B A ={1，2，3，4，5} 2．解：由⎩⎨⎧>≥-01x x 得：10≤<x ．3．解：∵函数()[]1,1,121-∈+⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x在定义域内是单调减函数，∴()[]1,1,121-∈+⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡323，． 4．解：∵()αx x f =的图像过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222，，∴222=α，解得：21-=α． ∴()21-x x f =，∴()214=f ． 5．解：设0<x ，∴0>-x ，∴()x x x f 1--=-． 又∵()x f 是奇函数，∴()()()01<+=--=x xx x f x f ，∴()21111--=-+-=f ． 6．解：16,843=∴=x x ． 7．解：241log 412-==⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()42412==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--f f ． 8．解：∵0431323232⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，∴132<<a ；又∵2341232323⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=<⎪⎭⎫ ⎝⎛b ，∴4923<<b ；1log 32log 22<=c ，∴0<c ；∴b a c <<．9．解：∵322=--x x，∴()9424222=+-=---x x xx ，∴1144=+-xx ．10．解：∵函数()12++=mx mx x f 的定义域是一切实数，∴012≥++mx mx 对R x ∈恒成立。

2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期中数学试卷试题数：20.满分：1601.（单选题.5分）设集合U=R.A={x|0＜x＜2}.B={x|x＜1}.则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|x≥1}B.{x|x≤1}C.{x|0＜x≤1}D.{x|1≤x＜2}2.（单选题.5分）下列函数中.表示同一函数的一组是（）A. f(x)=|x|x ，g(x)={1，(x＞0)−1，(x≤0)B.f（x）=x2+x-1.g（t）=t2+t-1C.f（x）=x-1（x∈R）.g（x）=x-1（x∈N）D.f（x）=lnx（x-1）.g（x）=lnx+ln（x-1）3.（单选题.5分）已知cos α2＜0 .sin α2＜0.且cosα＜0.则角α为（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角4.（单选题.5分）已知f（x）=ax5+bx3+sinx-8.且f（-2）=4.那么f（2）=（）A.-20B.10C.-4D.185.（单选题.5分）设函数f（x）是奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.又f（-3）=0.则x•f（x）＜0的解集是（）A.{x|-3＜x＜0或x＞3}B.{x|x＜-3或0＜x＜3}C.{x|x＜-3或x＞3}D.{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}6.（单选题.5分）函数f（x）=（m2-m-1）x4m+3是幂函数.对任意x1.x2∈（0.+∞）.且x1≠x2.满＞0 .若a.b∈R.且a+b＞0.ab＜0．则f（a）+f（b）的值（）足f(x1)−f(x2)x1−x2A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断7.（单选题.5分）函数f（x）=x•ln（x+1）-x-1的零点个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个8.（单选题.5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数.对于以下两个结论：① 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数.则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；② 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数.则f（x）、g（x）、h（x）均是奇函数.下列判断正确的是（）A. ① 正确. ② 正确B. ① 错误. ② 错误C. ① 正确. ② 错误D. ① 错误. ② 正确9.（填空题.5分）计算：log432 +4−12 -（-3）0=___ ．10.（填空题.5分）已知某产品的销售价格p（单位：元/件）是销量x（单位：件）的函数.而总成本为C（x）=100x+1500（单位：元）.假设生产的产品全部售出.那么产量为p=400- x2___ 件时.利润最大．11.（填空题.5分）若f（√e x+1）=e x.则f（x）的值域为___ ．12.（填空题.5分）当x ＞0时.f （-x ）= log 12（x 2-3x+2）.则y=f （x ）在（-∞.0）内的单调增区间为___ ．13.（填空题.5分）不等式x 2-ax+3＜0存在正整数解.则a 的取值范围为___ ．14.（填空题.5分）设f 0（x ）=|x-1|.f 1（x ）=f 0（f 0（x ））.f 2（x ）=f 0（f 1（x ））.…….一般地.f n （x ）=f 0（f n-1（x ））.其中n∈N*.则使方程f n （f 1（2x ））= 12 有2018个根的n 的值为___ ．15.（问答题.14分）已知集合A={x|3＜x ＜7}.B={x|4＜x≤10}.C={x||x-a|＞2}．（1）求A∪B 与（∁R A ）∩∁R B ；（2）若A∩B⊆C .求a 的取值范围．16.（问答题.14分）已知tanα＜0.（1）若sin α=−2√55 .求 2sin (α+π)+cos (2π−α)cos(α−π2)−sin(3π2+α) 的值； （2）若sin 2 α+sinαcosα=−15 .求tanα的值．17.（问答题.14分）已知定义域为R 的函数f （x ）=ln （x+ √a 2+x 2 ）是奇函数．（1）求a 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是增函数；（3）若对任意的t∈R .不等式f （kt 2+kt ）+f （kt-1）＜0恒成立.求实数k 的取值范围．18.（问答题.16分）已知二次函数f （x ）的图象的对称轴为x=1.且函数g （x ）=f （x ）-4x 的零点为-5和3．（1）求f （x ）的解析式；（2）若h （x-2）=-xf （x ）+16.求函数h （x ）的所有零点之和；（3）试求f （x ）在x∈[a .a+2]上的最小值．（其中a∈R ）19.（问答题.16分）已知函数f（x）= {x2+ax−a，−1≤x＜02a x−2a，0≤x≤1.其中a＞0且a≠1．（1）当a= 12时.求f（x）的值域；（2）函数y=f（x）能否成为定义域上的单调函数.如果能.则求出实数a的范围；如果不能.则给出理由；（3）f（x）≥-2在其定义域上恒成立.求实数a的取值范围．20.（问答题.16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x.满足f（-x）=-f（x）.则称f（x）为“局部奇函数”．（1）当定义域为[-1.1].试判断f（x）=x4+x3+x2+x-1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”.求实数m的范围；（3）已知a＞1.对于任意的b∈[1，32] .函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x-b都是定义域为[-1.1]上的“局部奇函数”.求实数a的取值范围．2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（单选题.5分）设集合U=R.A={x|0＜x＜2}.B={x|x＜1}.则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|x≥1}B.{x|x≤1}C.{x|0＜x≤1}D.{x|1≤x＜2}【正确答案】：D【解析】：利用不等式的解法化简集合A.求出∁R B.可得图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A【解答】：解：A={x|0＜x＜2}.B={x|x＜1}.∁R B={x|x≥1}则图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A={x|1≤x＜2}．故选：D．【点评】：本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题2.（单选题.5分）下列函数中.表示同一函数的一组是（）A. f(x)=|x|x ，g(x)={1，(x＞0)−1，(x≤0)B.f（x）=x2+x-1.g（t）=t2+t-1C.f（x）=x-1（x∈R）.g（x）=x-1（x∈N）D.f（x）=lnx（x-1）.g（x）=lnx+ln（x-1）【正确答案】：B【解析】：根据两个函数的定义域相同.对应关系也相同.即可判断它们是同一函数．【解答】：解：对于A.函数f （x ）= |x|x= {1，x ＞0−1，x ＜0 . 与g （x ）= {1，(x ＞0)−1，(x ≤0)的定义域不同.不是同一函数； 对于B.函数f （x ）=x 2+x-1（t∈R ）.与g （t ）=t 2+t-1（t∈R ）的定义域相同.对应关系也相同.是同一函数；对于C.函数f （x ）=x-1（x∈R ）.与g （x ）=x-1（x∈N ）的定义域不同.不是同一函数； 对于D.函数f （x ）=lnx （x-1）（x ＜0或x ＞1）.与g （x ）=lnx+ln （x-1）=lnx （x-1）（x ＞1）的定义域不同.不是同一函数．故选：B ．【点评】：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题.是基础题．3.（单选题.5分）已知cos α2＜0 .sin α2 ＜0.且cosα＜0.则角α为（ ）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【正确答案】：B【解析】：由cos α2＜0 .sin α2 ＜0.可得2π+4kπ＜α＜3π+4kπ.k∈Z .结合cosα＜0得答案．【解答】：解：由cos α2＜0 .sin α2 ＜0.可得π+2kπ＜ α2 ＜ 32π+2kπ .∴2π+4kπ＜α＜3π+4kπ.k∈Z ．又cosα＜0.∴角α为第二象限的角．故选：B ．【点评】：本题考查三角函数的象限符号.是基础题．4.（单选题.5分）已知f （x ）=ax 5+bx 3+sinx-8.且f （-2）=4.那么f （2）=（ ）A.-20B.10C.-4D.18【正确答案】：A【解析】：根据f（-2）=4即可求出a•25+b•23+sin2=-12.而f（2）=a•25+b•23+sin2-8.从而求出f（2）的值．【解答】：解：f（-2）=-a•25-b•23-sin2-8=4；∴a•25+b•23+sin2=-12；∴f（2）=a•25+b•23+sin2-8=-12-8=-20．故选：A．【点评】：考查奇函数的定义及判断.已知函数求值的方法．5.（单选题.5分）设函数f（x）是奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.又f（-3）=0.则x•f（x）＜0的解集是（）A.{x|-3＜x＜0或x＞3}B.{x|x＜-3或0＜x＜3}C.{x|x＜-3或x＞3}D.{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}【正确答案】：D【解析】：由x•f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论.把不等式x•f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决.根据f（x）是奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.又f（-3）=0.把函数值不等式转化为自变量不等式.求得结果．【解答】：解：∵f（x）是R上的奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.∴在（-∞.0）内f（x）也是增函数.又∵f（-3）=0.∴f（3）=0.∴当x∈（-∞.-3）∪（0.3）时.f（x）＜0；当x∈（-3.0）∪（3.+∞）时.f（x）＞0；∴x•f（x）＜0的解集是（-3.0）∪（0.3）．故选：D．【点评】：考查函数的奇偶性和单调性解不等式.体现了分类讨论的思想方法.属基础题．6.（单选题.5分）函数f （x ）=（m 2-m-1）x 4m+3是幂函数.对任意x 1.x 2∈（0.+∞）.且x 1≠x 2.满足 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0 .若a.b∈R .且a+b ＞0.ab ＜0．则f （a ）+f （b ）的值（ ）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【正确答案】：A【解析】：由幂函数的性质推导出f （x ）=x 11.由此根据a.b∈R .且a+b ＞0.ab ＜0．得到f （a ）+f （b ）=a 11+b 11＞0．【解答】：解：∵函数f （x ）=（m 2-m-1）x 4m+3是幂函数.对任意x 1.x 2∈（0.+∞）.且x 1≠x 2.满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0 ∴ {m 2−m −1=14m +3＞0.解得m=2. ∴f （x ）=x 11.∵a .b∈R .且a+b ＞0.ab ＜0．∴f （a ）+f （b ）=a 11+b 11＞0．故选：A ．【点评】：本题考查函数值和的符号的判断.是基础 题.解题时要认真审题.注意函数性质的合理运用．7.（单选题.5分）函数f （x ）=x•ln （x+1）-x-1的零点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：由f （x ）=0得ln （x+1）=1+ 1x .然后分别作出函数y=ln （x+1）与y=1+ 1x 的图象.利用数形结合即可得到结论【解答】：解：由f （x ）=0得ln （x+1）=1+ 1x .在同一坐标系中分别作出函数y=ln （x+1）与y=1+ 1x 的图象.如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个.故函数的零点个数为2个.故选：C．【点评】：本题主要考查函数零点个数的判断.根据函数和方程之间的关系.转化为两个函数图象的交点个数问题.利用数形结合是解决本题的关键8.（单选题.5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数.对于以下两个结论：① 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数.则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；② 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数.则f（x）、g（x）、h（x）均是奇函数.下列判断正确的是（）A. ① 正确. ② 正确B. ① 错误. ② 错误C. ① 正确. ② 错误D. ① 错误. ② 正确【正确答案】：D【解析】：可判断① 错误.可举出反例：f(x)={2x x≤1−x+3x＞1. g(x)={2x+3x≤0−x+30＜x≤12x x＞1.ℎ(x)={−x x≤02x x＞0.均不是增函数.但是f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数.从而得出① 错误；而可判断② 正确.根据f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数可得出f（x）+g（x）+f（x）+h（x）-[g（x）+h（x）]=2f（x）为奇函数.从而f（x）为奇函数.而同理可判断出g（x）.h（x）均是奇函数.从而得出② 正确．【解答】：解： ① 错误.可举反例： f (x )={2x x ≤1−x +3x ＞1. g (x )={2x +3x ≤0−x +30＜x ≤12x x ＞1 . ℎ(x )={−x x ≤02x x ＞0.均不是增函数； 但f （x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均为增函数；故 ① 错误；② ∵f （x ）+g （x ）.f （x ）+h （x ）.g （x ）+h （x ）均是奇函数；∴f （x ）+g （x ）+f （x ）+h （x ）-[g （x ）+h （x ）]=2f （x ）为奇函数；∴f （x ）为奇函数；同理.g （x ）.h （x ）均是奇函数；故 ② 正确．故选：D ．【点评】：考查增函数的定义.一次函数和分段函数的单调性.举反例说明命题错误的方法.以及奇函数的定义.知道f （x ）和g （x ）均是奇函数时.f （x ）±g （x ）也是奇函数．9.（填空题.5分）计算：log 432 +4−12 -（-3）0=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．【解答】：解：log 432 +4−12 -（-3）0= lg25lg22+22×(−12)−1 = 52+12−1=2 ．故答案为：2．【点评】：本题考查对数的运算性质.是基础的计算题．10.（填空题.5分）已知某产品的销售价格p （单位：元/件）是销量x （单位：件）的函数p=400- x 2 .而总成本为C （x ）=100x+1500（单位：元）.假设生产的产品全部售出.那么产量为___ 件时.利润最大．【正确答案】：[1]300【解析】：根据题意可得f （x ）=- 12 （x-300）2+43500.利用二次函数的性质即可求出．【解答】：解：由题意可得.设利润为f（x）.则f（x）=px-C（x）=x（400- x2）-100x-1500=- 12x2+300x-1500=- 12（x-300）2+43500.当x=300时.利润最大.故答案为：300．【点评】：本题考查了二次函数的性质的应用.属于基础题．11.（填空题.5分）若f（√e x+1）=e x.则f（x）的值域为___ ．【正确答案】：[1]（0.+∞）【解析】：可变形f(√e x+1)=(√e x+1)2−1 .从而得出f（x）=x2-1.x＞1.根据x＞1求出x2-1的范围.即得出f（x）的值域．【解答】：解：f(√e x+1)=(√e x+1)2−1；∴f（x）=x2-1.x＞1；∵x＞1；∴x2＞1.x2-1＞0；∴f（x）的值域为（0.+∞）．故答案为：（0.+∞）．【点评】：考查函数解析式的定义及求法.函数值域的定义及求法.换元法求函数的解析式.以及不等式的性质．12.（填空题.5分）当x＞0时.f（-x）= log12（x2-3x+2）.则y=f（x）在（-∞.0）内的单调增区间为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-2）【解析】：由已知函数解析式求出x＜0时的函数解析式.由真数大于0得到x的范围.再由复合函数的单调性求解．【解答】：解：令x＜0.则-x＞0.∵当x＞0时.f（-x）= log12（x2-3x+2）.∴f（x）=f[-（-x）]= log12[(−x)2−3(−x)+2]=log12(x2+3x+2)（x＜0且x2+3x+2＞0）．∴x＜-2或-1＜x＜0．二次函数t=x2+3x+2在（-∞.-2）上为减函数.在（-1.0）上为增函数.而对数式y= log12t在t∈（0.+∞）上为减函数.∴y=f（x）在（-∞.0）内的单调增区间为（-∞.-2）．故答案为：（-∞.-2）．【点评】：本题考查函数解析式的求解及常用方法.考查复合函数的单调性.对应复合函数的单调性.一要注意先确定函数的定义域.二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断.判断的依据是“同增异减”.是中档题．13.（填空题.5分）不等式x2-ax+3＜0存在正整数解.则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] (72，+∞)【解析】：利用参变量分离法得到a＞x+3x .其中x∈N*.构造函数f(x)=x+3x(x∈N∗) .将问题转化为a＞f（x）min.从而求出a的取值范围．【解答】：解：由题意知.x∈N*.由x2-ax+3＜0.可得a＞x2+3x =x+3x.构造函数f(x)=x+3x.其中x∈N*.则a＞f（x）min.由双勾函数的单调性可知.函数f（x）在x=1或x=2处取得最小值.因为f（1）=4.f（2）= 72 .所以.函数f（x）的最小值为72.所以. a＞72.故答案为：(72，+∞)．【点评】：本题考查一元二次不等式.利用参变量分离法.将问题转化.是解本题的关键.属于中等题．14.（填空题.5分）设f0（x）=|x-1|.f1（x）=f0（f0（x））.f2（x）=f0（f1（x））.…….一般地.f n（x）=f0（f n-1（x））.其中n∈N*.则使方程f n（f1（2x））= 12有2018个根的n的值为___ ．【正确答案】：[1]2014【解析】：运用归纳法.计算n=1.2.3.原方程的个数.即可得到所求值．【解答】：解：f n（f1（2x））= 12.可令t=f1（2x）.f n（t）= 12.n=1时.f1（t）= 12 .即||t-1|-1|= 12.解得t=- 12（舍去）或12或32或52.由f1（2x）= 12 .即||2x-1|-1|= 12.即|2x-1|=1± 12.即2x= 12. 32. 52.有三个根；由f1（2x）= 32 .即||2x-1|-1|= 32.即|2x-1|= 52.即2x= 72.有一个根；由f1（2x）= 52 .即||2x-1|-1|= 52.即|2x-1|= 72.即2x= 92.有一个根；即n=1时.原方程共有5个根；n=2时.f2（t）= 12 .即|||t-1|-1|-1|= 12.解得t=- 12（舍去）或12或32或52或72.由f1（2x）= 12 .即||2x-1|-1|= 12.即|2x-1|=1± 12.即2x= 12. 32. 52.有三个根；由f1（2x）= 32 .即||2x-1|-1|= 32.即|2x-1|= 52.即2x= 72.有一个根；由f1（2x）= 52 .即||2x-1|-1|= 52.即|2x-1|= 72.即2x= 92.有一个根；由f1（2x）= 72 .即||2x-1|-1|= 72.即|2x-1|= 92.即2x= 112.有一个根；即n=2时.原方程共有6个根；n=3时.可将n=2中的t换为|t-1|.t的值增加一个92.可得原方程共有7个根；….可得使方程f n（f1（2x））= 12有2018个根的n的值为2014．故答案为：2014．【点评】：本题考查方程的根的个数问题解法.注意运用绝对值的方程解法和换元法.以及指数函数的值域.考查化简变形能力、运算能力和归纳推理能力.属于难题．15.（问答题.14分）已知集合A={x|3＜x＜7}.B={x|4＜x≤10}.C={x||x-a|＞2}．（1）求A∪B与（∁R A）∩∁R B；（2）若A∩B⊆C.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）进行并集、交集和补集的运算即可；（2）先得出C={x|x＜a-2.或x＞a+2}.A∩B={x|4＜x＜7}.根据A∩B⊆C即可得出a-2≥7.或a+2≤4.解出a的范围即可．【解答】：解：（1）A∪B={x|3＜x≤10}.∁R A={x|x≤3.或x≥7}.∁R B={x|x≤4.或x＞10}；∴（∁R A）∩∁R B={x|x≤3.或x＞10}；（2）C={x|x＜a-2.或x＞a+2}.A∩B={x|4＜x＜7}；∵A∩B⊆C；∴a -2≥7.或a+2≤4； ∴a≥9.或a≤2；∴a 的取值范围为{a|a≥9.或a≤2}．【点评】：考查描述法表示集合的定义.绝对值不等式的解法.交集、并集和补集的运算.以及子集的概念．16.（问答题.14分）已知tanα＜0. （1）若sin α=−2√55 .求 2sin (α+π)+cos (2π−α)cos(α−π2)−sin(3π2+α)的值； （2）若sin 2 α+sinαcosα=−15 .求tanα的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值.可得tanα的值.再利用诱导公式求得要求式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得 tan 2α+tanαtan 2α+1 =- 15.由此求得 tanα的值．【解答】：解：（1）∵tanα＜0.sin α=−2√55.∴α为第四象限角.∴cosα= √1−sin 2α =√55 .∴tanα= sinαcosα=-2. ∴2sin (α+π)+cos (2π−α)cos(α−π2)−sin(3π2+α)=−2sinα+cosαsinα+cosα = −2tanα+1tanα+1=-5． （2）∵sin 2 α+sinαcosα=−15 .∴ sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α = tan 2α+tanαtan 2α+1 =- 15 .∴tanα=- 12.或tanα=- 13 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系.诱导公式.属于基础题． 17.（问答题.14分）已知定义域为R 的函数f （x ）=ln （x+ √a 2+x 2 ）是奇函数． （1）求a 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是增函数；（3）若对任意的t∈R .不等式f （kt 2+kt ）+f （kt-1）＜0恒成立.求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由定义域为R的函数f（x）=ln（x+ √a2+x2）是奇函数．可得f（0）=0.可得a的值；（2）根据定义证明即可；（3）（3）根据奇函数和增函数函数可得.kt2+2kt-1＜0对任意t恒成立.对k讨论可得实数k 的取值范围．【解答】：解：（1）由题意.可得f（0）=0.可得a=±1.那么f（x）=ln（x+ √1+x2）可得f（-x）=ln（x+ √1+x2）=ln（-x+ √1+x2）=ln（x+√1+x2=-ln（x+ √1+x2）=-f （x）经验证f（-x）=-f（x）成立.故a=±1.（2）由（1）可得f（x）=ln（x+ √1+x2）证明：任意取x1.x2.且x1＜x2.则f（x1）-f（x2）=ln（x1+ √x12+1）-ln（x2+ √x22+1）=ln（1+√x12+1x2+√x22+1∵x1＜x2.∴（x1+ √x12+1＜x2+ √x22+1）；1+√x12+1x2+√x22+11则ln（1+√x12+1x2+√x22+1即f（x1）-f（x2）＜0.可得f（x1）＜f（x2）；故得函数f（x）在R上是增函数；（3）根据奇函数和增函数函数可得.kt2+2kt-1＜0对任意t恒成立；1°当k=0时.-1＜0成立2°当k≠0时.则{k＜0△=b2−4ac=42+4k2＜0解得-1＜k＜0．综上可得实数k的取值范围是：-1＜k≤0．【点评】：本题主要考查了函数恒成立问题的求解.分类讨论以及转化思想.奇偶性单调性的应用.二次不等式的恒成立．18.（问答题.16分）已知二次函数f（x）的图象的对称轴为x=1.且函数g（x）=f（x）-4x的零点为-5和3．（1）求f（x）的解析式；（2）若h（x-2）=-xf（x）+16.求函数h（x）的所有零点之和；（3）试求f（x）在x∈[a.a+2]上的最小值．（其中a∈R）【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.设g（x）=a（x+5）（x-3）.可得f（x）=g（x）+4x=a（x+5）=1.解可得a的值.代入（x-3）+4x=ax2+（2a+4）x-15a.由二次函数对称轴的方程可得- 2a+42a函数的解析式.即可得答案；（2）根据题意.h（x-2）=-xf（x）+16=（x-1）（x2-x-16）.分析可得h（x-2）的零点之和.进而可得h（x）的零点.即可得答案；（3）根据题意.f（x）=-x2+2x+15.开口向下.其对称轴为x=1.结合二次函数的性质讨论a的取值范围.求出函数在[a.a+2]的最小值.综合即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.函数g（x）=f（x）-4x的零点为-5和3.则设g（x）=a（x+5）（x-3）；则f（x）=g（x）+4x=a（x+5）（x-3）+4x=ax2+（2a+4）x-15a.=1.解可得a=-1.又由二次函数f（x）的图象的对称轴为x=1.则有x=- 2a+42a则f（x）=-x2+2x+15；（2）根据题意.h（x-2）=-xf（x）+16=（x-1）（x2-x-16）.而方程x2-x-16=0显然有两个不同于1的实根.其两根之和为x1+x2=1.另外1个根为1.则方程h（x-2）=0有3个根.其和为2.则函数h（x）的所有零点之和2-6=-4.（3）根据题意.f（x）=-x2+2x+15.开口向下.其对称轴为x=1.当a≤0时.f （x ）min =f （a ）=-a 2+2a+15. 当a ＞0时.f （x ）min =f （a+2）=-a 2-2a+15. 综合可得：f （x ）min = {−a 2+2a +15，a ≤0−a 2−2a +15，a ＞0 ．【点评】：本题考查二次函数的性质以及应用.涉及函数的最小值.关键是求出函数f （x ）的最小值．19.（问答题.16分）已知函数f （x ）= {x 2+ax −a ，−1≤x ＜02a x−2a ，0≤x ≤1 .其中a ＞0且a≠1．（1）当a= 12 时.求f （x ）的值域；（2）函数y=f （x ）能否成为定义域上的单调函数.如果能.则求出实数a 的范围；如果不能.则给出理由；（3）f （x ）≥-2在其定义域上恒成立.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由二次函数和指数函数的值域求法.可得f （x ）的值域；（2）讨论a ＞1.0＜a ＜1.结合指数函数的单调性和二次函数的单调性.即可得到所求范围； （3）讨论x 的范围和a 的范围.结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）当-1≤x ＜0时.y=x 2+ 12 x- 12 .对称轴为x=- 14 ∈[-1.0）. 可得y 的最小值为- 916 .y 的最大值为0； 当0≤x≤1时.y=2•（ 12 ）x -1∈[0.1]； 综上f （x ）的值域为[- 916 .1]； （2）当a ＞1时.函数在[0.1]递增. 故二次函数在[-1.0]也要递增.{−a2≤−12−2a ≥−a.故只有a=2符合要求； 当0＜a ＜1时.函数在[0.1]递减.故二次函数在[-1.0]也要递减.{−a2≥02−2a≤−a.故无解．综上.a的取值集合为{2}；（3）① 当x∈[-1.0]时.x2+ax-a≥-2恒成立. 即有a（x-1）≥-2-x2.即a≤ 2+x21−x.由y= 2+x 21−x.令t=1-x.t∈[1.2].可得y=t+ 3t-2≥2 √3 -2.当且仅当t= √3时.取得等号.可得a≤2 √3 -2；② 当x∈[0.1]时. ① 当a＞1时.y=2a x-2a.2a x-2a≥-2.即有2a-2≤2.求得a≤2.故1＜a≤2；② 当0＜a＜1时.求得0＜a＜1均符合要求．综上可得a的范围为a≤2 √3 -2．【点评】：本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用.考查分类讨论思想方法和化简运算能力.以及不等式恒成立问题解法.属于中档题．20.（问答题.16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x.满足f（-x）=-f（x）.则称f（x）为“局部奇函数”．（1）当定义域为[-1.1].试判断f（x）=x4+x3+x2+x-1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”.求实数m的范围；（3）已知a＞1.对于任意的b∈[1，32] .函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x-b都是定义域为[-1.1]上的“局部奇函数”.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）若f（x）为“局部奇函数”.则根据定义验证条件是否成立即可；（2）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数.得到f（-x）=-f（x）.恒成立.建立条件关系即可求实数m的取值范围；（3）根据f（x）为定义域[-1.1]上的“局部奇函数.得到f（-x）=-f（x）.恒成立.建立条件关系即可求实数a 的取值范围；【解答】：解：（1）因为f （x ）=x 4+x 3+x 2+x-1. 所以f （-x ）=x 4-x 3+x 2-x-1. 由f （-x ）=-f （x ）得x 4+x 2-1=0. 令x 2=t∈[0.1].而t 2+t-1=0存在一根√5−12∈[0，1] .即存在x∈[-1.1].使得f （-x ）=-f （x ）. 所以f （x ）为“局部奇函数”．（2）由题意知.g （-x ）=-g （x ）在R 上有解.即4-x -2m•2-x +m 2-3=-4x +2m•2x -m 2+3在R 上有解.所以4x +4-x -2m （2x +2-x ）+2（m 2-3）=0在R 上有解. 令2x +2-x =u∈[2.+∞）.所以u 2-2mu+2m 2-8=0在u∈[2.+∞）上有解. 令F （u ）=u 2-2mu+2m 2-8.① 当F （2）≤0时.即2m 2-4m-4≤0.解得 1−√3≤m ≤1+√3 . 此时F （u ）在[2.+∞）上必有零点.所以 1−√3≤m ≤1+√3 ； ② 当F （2）＞0时.F （u ）在[2.+∞）上有零点必须满足{△≥0F (2)＞0对称轴x =m ＞2⇒{4m 2−4(2m 2−8)≥02m 2−4m −4＞0m ＞2⇒1+√3≤m ≤2√2 综上： 1−√3≤m ≤2√2 ．（3）由题意知. ∀b ∈[1，32] .-h （x ）=h （-x ）在x∈[-1.1]上都有解.即 ∀b ∈[1，32] .ln （-x+1+a ）+x 2-x-b=-ln （x+1+a ）-x 2-x+b 在x∈[-1.1]上都有解. 即 ∀b ∈[1，32] .ln[（a+1）2-x 2]+2x 2=2b 在x∈[-1.1]上都有解. 令x 2=s∈[0.1].令φ（s ）=ln[（a+1）2-s]+2s. 由题意知φ（s ）在s∈[0.1]上的值域包含[2.3]. 因为 φ′(s )=−1(a+1)2−s +2 .又因为s∈[0.1].a∈（1.+∞）.所以（a+1）2-s ＞3.所以φ′（s ）＞0.所以φ（s ）在s∈[0.1]上单调递增. 所以 {φ(0)≤2φ(1)≥3a ＞1⇒{a ≤e −1a ≥√e +1−1a ＞1⇒1＜a ≤e −1综上：1＜a≤e-1．【点评】：本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义.根据条件建立方程关系是解决本题的关键.考查学生的计算能力.属于难题。

江苏省天一中学2020-2021学年春学期期中考试高一数学学科（强化班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =（）A.2i- B.4- C.2D.42.已知,a b 是不共线的向量，,,,AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈，若A ，B ，C 三点共线，则（）A.+=2λμB.=1λμ-C .1λμ=- D.1λμ=3.当复数z 满足|z +3﹣4i |＝1时，则|z +2|的最小值是（）A.1B.1- C.D.1-4.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是()A.,//a b a bαβα⋂=⊂⇒B.,////a a b b αβα=⇒ 且b β//C.//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ 5.已知O 为ABC 所在平面内一点，若()()0,5,3OA OB AB OB OC BC AB AC +⋅=+⋅=== ，则AO BC ⋅=（）A.8- B.16- C.8D.166.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =3a b =，则c 的值为（）A.72B.3 C.3D.7.半径为R 的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值是（）A.RB.C.RD.R8.在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A.)+∞B.C.(6D.6二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中错误的是（）A.若向量,a b 满足//a b r r，则存在唯一的实数λ，使得λa b= B.已知非零向()()1211a b == ，，，，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5()3-+∞，C.“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件D.若复数12,z z ，满足22120z z ->，则2212z z <10.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B.若30A = ，4b =，3a =，则ABC 有两解C.若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D.若60A = ，2a =，则ABC 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC (含端点)上运动，则下列判断正确的是（）A.11A P B D ⊥B.三棱锥1D APC -的体积不变，为83C.1//A P 平面1ACD D.1A P 与1D C 所成角的范围是(0,)3π12.已知点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOB cOC ++=(),,0a b c >，则下列选项正确的是（）A.若1a =，2b =，3c =，则1132AO AB AC=+B.若3a =，2b =，4c =，且1OA OB OC === ，则316OC AB ⋅=C.若直线AO 过BC 的中点，则a b c ==D.::AOB AOC S S b c=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，则三棱锥P ABC -的表面积为________．14.设复数12,z z满足：11212||||,(1z z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求21z z =________．15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠=== 的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________.16.如图，在ABC 中，已知90C = ∠，1AC =，2BC =，直线l 过ABC 的重心G ，且与边A 、B 分别交于D 、E 两点，则CG ED ⋅的最小值为________．四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设实部为正数的复数z，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若2(1)4()z m i mi m R +-++为纯虚数，求实数m 的值.18.如图，在菱形ABCD 中，12BE BC = ，2CF FD =．（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB = ，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅ ．（3）若菱形ABCD 的边长为6，求AE EF ⋅的取值范围．19.在①3sin cos 3c B a b C =-，②sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.问题：ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知.（1）求B ；（2）若D 为AC 的中点，2BD =，求ABC 的面积的最大值.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF ∥平面1ADC21.如图，海上有A ，B 两个小岛，B 在A 的正东方向，小船甲从A 岛出发以v 海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t 小时与小船甲相遇．（1）若AB 相距2海里，v 为/小时，小船乙从B 岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从A 岛以16海里/小时匀速沿射线AB 方向行驶()0k k t <<小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v 的最大值.22.四面体ABCD 中，（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？(参考公式：(,,0)3a b ca b c ++≤>，当且仅当a b c ==时取得等号)江苏省天一中学2020-2021学年春学期期中考试高一数学学科（理强）命题人：审阅人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =（）A.2i - B.4- C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.【详解】因为2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则另一根为2i-由韦达定理得()()22i i a ++-=-，所以4a =-故选：B 2.已知,ab 是不共线的向量，,,,AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈，若A ，B ，C 三点共线，则（）A.+=2λμB.=1λμ-C.1λμ=- D.1λμ=【答案】D 【解析】【分析】根据三点共线，可得AB AC ，所以AB mAC =，对应系数相等即可求解.【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以AB AC ，设存在m R ∈，使得AB mAC =，即()a b m a b λμ+=+ ，则=1mm λμ⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：D.3.当复数z 满足|z +3﹣4i |＝1时，则|z +2|的最小值是（）A.1- B.1- C.D.1【答案】B 【解析】【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．【详解】∵|z +2|＝|（z +3﹣4i ）+（﹣1+4i ）|≥|﹣1+4i |﹣|z +3﹣4i |1﹣1∴|z +2|﹣1．故选：B ．4.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是()A.,//a b a bαβα⋂=⊂⇒B.,////a a b b αβα=⇒ 且b β//C.//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D.//,,//a b a bαβαγβγ==⇒ 【答案】D 【解析】【详解】选项A 中，,a b αβα⋂⊂＝，则,a b 可能平行也可能相交，故A 不正确；选项B 中，,a a b ＝αβ⋂，则可能b α且b β∥，也可能b 在平面α或β内，故B 不正确；选项C 中，//,//,,a b a b ββαα⊂⊂，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b ＝A ，才能得出//αβ，故C 不正确；选项D 为面面平行性质定理，故正确．选D ．5.已知O 为ABC 所在平面内一点，若()()0,5,3OA OB AB OB OC BC AB AC +⋅=+⋅===，则AO BC ⋅= （）A.8- B.16- C.8D.16【答案】A 【解析】【分析】由题意可知，O 是ABC 的外心，利用数量积投影意义即可得到结果.【详解】∵()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，∴OA OB OC ==，O 是ABC 的外心，22111()(925)8222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-=-=- ，故选：A ．6.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C的角平分线交AB 于点D ，且CD =，3a b =，则c 的值为（）A.72B.3C.3D.【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCDS S S =+△△△可得出ab a b=+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B=+- ，由正弦定理可得()22c a b a b=+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<< ，所以3C π=，由ABCACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b> ，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得3c ===.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.7.半径为R 的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值是（）A.RB.RC.D.R 【答案】B 【解析】【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为2r ，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体外接球半径，即可得结论．【详解】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为2r ，3=，设正四面体的外接球半径为x ，则有222()()33x x =-+，解得2x r =，所以2R r r=+，所以r =，故选：B8.在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A.)+∞ B.C.(6D.6【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵22a c bc-=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-=sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C+-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C -+-+-+=-+=+113sin 3sin 2sin cos sin A AC C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,(0,),(0,)22222A A A CB A ππππ∈=∈=--∈，∴(,32A ππ∈∴sin2A t =∈，1+3t t 在,1)2t ∈上单调递增，∴1113sin +3(,4)tan tan 6A t C A t -+=∈，故选：C二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中错误的是（）A.若向量,a b 满足//a b r r，则存在唯一的实数λ，使得λa b= B.已知非零向()()1211a b == ，，，，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5()3-+∞，C.“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件D.若复数12,z z ，满足22120z z ->，则2212z z <【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 举出反例即可；对于B 根据向量夹角为锐角时坐标运算公式计算即可；对于C 化简复数z 根据逻辑命题知识判断即可；对于D 举出反例即可.【详解】对于A ，若0b=，则“当//a br r时，存在唯一的实数λ，使得a b λ= ”不成立，故A 错误；对于B ，由题意得=(1,2)a b λλλ+++ ，若a 与a λb + 的夹角为锐角，则()0()a ab a a b λμλ⎧⋅+>⎨≠+⎩代入数据解得5(,0)(0,)3λ∈-⋃+∞，故B 错误；对于C ，由“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”得210,1a a -≠≠±，因为“1a ≠”是“1a ≠±”的必要不充分条件，所以“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件.故C 正确；对于D ，当12i,2i z z ==时满足22120z z ->，此时不满足2212z z <.故D 错误.故选:ABD 10.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B .若30A = ，4b =，3a =，则ABC 有两解C.若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D.若60A = ，2a =，则ABC【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，由A B >，得到a b >，再利用正弦定理判断；对于B 选项，由sin b A a b <<判断；对于C选项，由ABC 为钝角三角形且C 为钝角，利用余弦定理判断；对于D 选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin4sin 302b A == ，则sin b A a b <<，如图：所以ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc==+-=+-≥-=，即4bc≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以1sin 24ABC S bc A bc ==≤△，D 选项正确．故选：ABD11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC (含端点)上运动，则下列判断正确的是（）A.11A P B D ⊥ B.三棱锥1D APC -的体积不变，为83C.1//A P 平面1ACD D.1A P 与1D C 所成角的范围是(0,3π【答案】ACD 【解析】【分析】证明出1B D ⊥平面11A BC ，可判断A 选项的正误；证明出1//BC 平面1ACD ，利用锥体的体积公式可判断B 选项的正误；证明出11//A BC 平面1ACD ，利用面面平行的性质定理可判断C 选项的正误；推导出11//D C A B ，可得出1A P 与1D C 所成的角等于1BA P ∠，即可判断D 选项的正误．【详解】对于A 选项，连接1A B 、11A C 、1A P 、11B D ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，1DD ⊥Q 平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，111A C DD ∴⊥，1111B D DD D = ，11A C ∴⊥平面11BB D D ，1B D ⊂ 平面11BB D D ，111B D A C ∴⊥，同理可证11B D A B ⊥，1111A C A B A = ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A P ⊂ 平面11A BC ，因此，11A P B D ⊥，A 选项正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ∴，1BC ⊄ 平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD ，1P BC ∈ ，∴点P 、B 到平面1ACD 的距离相等，∴1111211422323D APCP ACD B ACD D ABC VV V V ----====⨯⨯⨯=，B 选项错误；对于C 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，11//AC A C ∴，11A C ⊄ 平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，11//A C ∴平面1ACD ，同理可证1//BC 平面1ACD ，1111AC BC C = ，∴平面11//A BC 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，1//A P ∴平面1ACD ，C 选项正确；对于D选项，易知1111A B A C BC ===，所以，11A BC V 是等边三角形，113BAC π∴∠=，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BC A D 且11BC A D =，所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//DC A B ∴，所以，1A P 与1D C 所成角等于1BA P ∠，当P 在线段1BC （含端点）上运动时，11103BA P BAC π≤∠≤∠=，D 选项正确．故选：ACD ．12.已知点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOBcOC ++=(),,0a b c >，则下列选项正确的是（）A.若1a =，2b =，3c =，则1132AO AB AC=+B.若3a =，2b =，4c =，且1OA OB OC === ，则316OC AB ⋅=C.若直线AO 过BC 的中点，则a b c==D.::AOB AOC S S b c= 【答案】AB 【解析】【分析】由230OA OB OC ++=，OB OA AB =+ ，OC OA AC =+ 即可判断A ；将()432OC OA OB =-+ 两边平方可得OA OB ⋅的值，再结合AB OB OA =- 即可判断B ；设BC的中点为D ，则()111222AD AB AC OA OB OC =+=-++ 再结合AO k AD =即可得,,a b c 之间的关系可判断C ；取点,,A B '''使得OA aOA '= ，OB bOB '= ，OC cOC '=，则点O 为A B C '''V 的重心，可得B OC A OC A OB S S S ''''''== ，再利用三角形面积公式即可求AOB A OB S S ''，AOC A OC S S ''即可求得:AOB AOC S S ，即可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：若1a =，2b =，3c =则230OA OB OC ++= ，因为OB OA AB =+，OC OA AC =+，代入可得()()230OA OA AB OA AC ++++= 即6230OA AB AC ++= ，所以623AO AB AC =+，可得1132AO AB AC =+ ，故选项A 正确；对于B ：若3a =，2b =，4c =则3240OA OB OC ++=，所以()432OC OA OB=-+ 所以()221632OC OA OB =+ ，即222169412OC OA OB OA OB =++⋅ ，所以169412OA OB =++⋅，可得14OA OB ⋅= ，所以()()()2211323244OC AB OA OB OB OA OA OB OA OB⋅=-+⋅-=--++⋅113324416⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对于C ：设BC 的中点为D ，则()()1122AD AB AC OB OA OC OA=+=-+-1122OA OB OC =-++ 若直线AO 过BC 的中点，则存在实数k 满足AO k AD = ，即112222k k AO k OA OB OC kOA OB OC ⎛⎫=⨯-++=-++ ⎪⎝⎭，所以()1022k k k OA OB OC +--= ，所以1a k =+，2kb c ==-，所以不一定a b c ==，故选项C不正确；对于D ：取点,,A B C '''使得OA aOA '= ，OB bOB '= ，OC cOC '= ，则0OA OB OC '''++=，所以点O 为A B C '''V 的重心，因为重心O 到B C ''中点的距离等于中线的13，所以重心O 到B C ''的距离等于高线的13，可得13B OC A B C S S '''''= ，同理可得13A OC A B C SS '''''= ，13A OB A BC S S '''''= ，所以B OC A OC A OB S S S ''''''== ，所以1sin 121sin 2BOC B OC OB OC BOCS OB OC S OB OC bc OB OC B OC ''⋅∠⋅===''⋅''''⋅∠ ，同理可得：1AOC A OC S S ac''= ，1AOB A OB S S ab''= ，所以11::11A OB AOB AOCA OC S ab b S S c b S ac c''''=== ，故选项D 不正确；故选：AB.【点睛】结论点睛：若点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOBcOC ++=(),,0a b c >，则::::BOC AOC AOB S S S a b c = .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，则三棱锥P ABC -的表面积为________．【答案】4+【解析】【分析】先分析出,PB BC AB BC ⊥⊥，再分别求各个面的面积即可.【详解】因为三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，所以PC ===,PB ==+=,所以,PB BC AB BC ⊥⊥.所以三棱锥P ABC -表面积PAC PAB PBC ABC S S S S S =+++11112222222222=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯22=+++4=+.故答案为：4+.14.设复数12,zz 满足：11212||||,(1z z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求21z z =________．【答案】2-【解析】【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.【详解】解：1121112121212||||()()()()z z z z z z z z z z z z z =+⇒=++=++，∴1111122122++z z z z z z z z z z =+，122122+=0z z z z z z，又12(1z a =+，则12(1z z a =，222+=0a z z ，∴22=2z z a -，∴2221122z z z z z z ==-.故答案为：2-.15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠=== 的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________.【答案】{|012k k <≤或k =【解析】【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.【详解】由正弦定理sin sin AC BC B A =，sin sin 60sin 12BC B k A AC ︒==24k=，当124k=，即k =时，2A π=，只有一解，当124k <时，k<，若12k <<，则60A B >=︒，A 可为锐角也可为钝角，有两解，当012k <≤时，A B ≤，A 只能为锐角，只有一解.∴k 的范围是{|012k k <≤或k =.故答案为：{|012kk <≤或k =.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，由于求出的是角的正弦值，因此可能出现两解的情形.像本题，如果12k <<，则有两解，主要原因是60A B >=︒，A 可为锐角也可为钝角.16.如图，在ABC 中，已知90C = ∠，1AC =，2BC =，直线l 过ABC 的重心G ，且与边A 、B分别交于D 、E 两点，则CGED ⋅的最小值为________．【答案】49+【解析】【分析】设AE AC λ=uu u r uuu r ，AD AB μ= ，分析得出113λμ+=，求得()133CG ED λμ⋅=+ ，利用基本不等式可求得CG ED ⋅的最小值.【详解】先证明结论：已知O 为直线l 外一点，R 、S 、T 为直线l 上三个不同的点，若OT xOR yOS =+，则1x y +=.因为R 、S 、T 为直线l 上三个不同的点，则//ST SR，可设ST xSR =，即()OT OS x OR OS -=- ，所以，()1OT xOR x OS =+- ，所以，()11x y x x +=+-=，结论成立.本题中，设AE AC λ=uu u r uuu r ，AD μ=，当点E 与点C 重合时，D 为AB 的中点，此时12μ=；当点E 为线段AC 的中点时，D 与点B 重合，此时1μ=，故1,12μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，同理可得1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.由31311331D A A G AB AC AE μλ+=+=，又E 、G 、D 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=，延长CG 交AB 于点F ，则F 为AB 的中点，且有()()22113323CG CF CA CB CA CB==⨯+=+，又()()11113333CG ED CA CB AB AC CA CB CA CB μλλμμ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=+-=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()()1111131423344239999μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当39λ+=，9μ=时取得最小值.故答案为：49+.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设实部为正数的复数z ，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若2(1)4()z m i mi m R +-++∈为纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）13z i =-；（2）1m =.【解析】【分析】（1）设(z a bi a =+，b R ∈且0)a >，由条件可得2210a b +=①，3a b =-②．由①②联立的方程组得a 、b 的值，即可得到z 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解m ．【详解】解：（1）设z a bi =+，,R a b ∈，0a >.由题意：2210a b +=.①()2()2(2)i a bi a b a b i ++=-++，得220a b a b -++=，30a b +=，②①②联立，解得1a =，3b =-得13z i=-.（2）由（1）可得13z i=+所以()()()22214143z m i mi m m m i+-++=-++++由题意可知2210430m m m ⎧-+=⎨++≠⎩解得1m =±且1m ≠-且3m ≠-所以1m=【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题．18.如图，在菱形ABCD 中，12BE BC = ，2CF FD = ．（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB = ，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅ ．（3）若菱形ABCD 的边长为6，求AE EF ⋅的取值范围．【答案】（1）321x y +=-；（2）9AC EF ⋅=-；（3）()21,9--．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得,x y 值；（2）先化AC AB AD =+ ，再结合（1）中关系即可求解AC EF ⋅；（3）由于12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r ，1223EF AD AB =-，即可得6cos ,15AE EF AB AD ⋅=- ，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为12BE BC = ，2CF FD = ，所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=- ，所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭．（2）∵AC AB AD =+ ，∴()221212123236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭ ∵ABCD 为菱形∴6AD AB ==∴2211111cos 3636966662AC EF AB AB BAD ⋅=--∠=-⨯-⨯⨯=- ，即9AC EF ⋅=- ．（3）因为12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r ，1223EF AD AB=-所以22121121362342AD A AE EF AB AD AB AD AB ADB ⎛⎫-= ⎛⎫⋅=+⋅⋅-+ ⎪⎪⎭⎭⎝⎝ 2221cos ,6cos ,153416AB AD AB AD AB AD AB AD =⋅-+=-1cos ,1AB AD -<<∴AE EF ⋅的取值范围：()21,9--．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．19.在①sin cos 3c B a b C =-，②sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.问题：ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知.（1）求B ；（2）若D 为AC 的中点，2BD =，求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）3.【解析】【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形可求得B ；选②，由正弦定理化边为角，然后由两角差的余弦公式、同角间的三角函数关系变形可求得B ；（2）利用向量的线性运算得2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，平方后利用数量积的运算得出,a c 的关系，再由基本不等式得ac 的最大值，从而可得面积最大值．【详解】（1）选择条件①：sin cos 3B a bC =-，∴由正弦定理得，sin sin sin sin cos 3C B A B C =-.又在ABC 中，sinsin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,sin sin sin sin cos cos sin 3C B A B C B C =-=.又(0,)C π∈ ，sin 0C ∴>.sin cos 3B B =，即tan B =又(0,)B π∈ ，3B π∴=.选择条件②：sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴由正弦定理得，sin sin sin cos 6B C C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又(0,)Cπ∈ ，sin 0C ∴>.sin cos 6B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即1sincos cossin sin cos sin 6622B B B B B ππ=+=+.1sin 22B B ∴=，即tanB =.又(0,)B π∈ ，.3B π∴=（2）有题意知2BD BA BC =+uu u ruu r uu u r.224||()BD BA BC ∴=+ ，即2216a c ac =++.又222a c ac + ，163ac∴（当且仅当3a c ==时等号成立）.由三角形面积公式可知143sin 23ABCSac B =△.ABC ∴ 的面积的最大值为433.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦、余弦公式的应用，考查基本不等式，三角形面积公式，向量的线性运算，解题关键是用正弦定理进行化边为角，然后可由三角函数恒等变换公式，基本不等式求解．20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF ∥平面1ADC 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】试题分析：（1）要证D 为BC 的中点，又AB=AC，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG ，由（１）易证//EF DG ，从而问题得证．试题解析：（1） 正三棱柱111ABC A B C -，∴1C C ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，∴1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B ，又 正三棱柱111ABC A B C -，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴AD ⊥BC ，D 为BC 的中点．（2）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG矩形11A ACC ，∴G 为1A C 的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴1A BC 中，1//DG A B又 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，∴△11A B B 中，1//EF A B ，∴//EF DG ，又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC ∴//EF 平面1ADC 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.如图，海上有A ，B 两个小岛，B 在A 的正东方向，小船甲从A 岛出发以v 海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t 小时与小船甲相遇．（1）若AB 相距2海里，v 为/小时，小船乙从B 岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从A 岛以16海里/小时匀速沿射线AB 方向行驶()0k k t <<小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v 的最大值.【答案】（1）小船乙的速度是/小时；（2）v 的最大值3海里/小时.【解析】【分析】首先设,AC vt BC v t '==，再根据余弦定理求'v ；（2）根据速度和时间表示边长，再根据余弦定理表示为2228()(16)()216cos30t k k vt k vt -=+-⨯⨯ ，再根据换元转化为一元二次方程有解问题，求v 的最大值.【详解】（1）由题意可知，2,,AB AC vt BC v t'===，由余弦定理知222112())22cos30663v '+⨯-=⨯⨯ ，∴解得v '（2）由题意知2228()(16)()216cos30tk k vt k vt -=+-⨯⨯ 等式两侧同时除以2t 得22192((128)640k kv t t +-+-=，设(01)km m t=<<，则有22192(128)640m m v +-+-=，其中(0,1)m ∈，即关于m 的方程22192(128)640m m v +-+-=在(0,1)上有解，则必有22=(128)4192(64)0v ∆--⨯⨯-≥，解得03v <≤，当3v =时，可得1(0,1)3m =∈，因此v 的最大值3海里/小时.22.四面体ABCD 中，（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？((,,0)3a b ca b c ++≤>，当且仅当a b c ==时取得等号)【答案】（1）证明见解析；（2）当a =时，三棱锥体积最大为3．【解析】【分析】（1）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）当2条长为a 的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积，利用基本不等式求最值；当边长为a 的两条棱在同一个三角形中时，可知当AB ⊥平面BCD 时，体积取最大值，比较大小的结论.【详解】（1）∵四面体ABCD ，如图,,AB CD AC BD AD BC ===，故四面体ABCD 中四个面为全等三角形，即只需证明一个ABC 为锐角三角形即可，设长方体长宽高分别为,,a b c ，则222222222,,AB a b BC b c AC a c =+=+=+，∴222222222+,+,+AB BC AC AB AC BC AC BC AB >>>，∴ABC 为锐角三角形，故四面体四个面都为锐角三角形；（2）解：2条长为a 的线段不在同一个三角形中，此时长为a 的两条线段必还在三棱锥的对棱，不妨设,2AD BC a BD CD AC =====，取BC 中点E ，连接AE ，DE (如图)，则AE BC ⊥，DE BC ⊥，则BC ⊥平面AED ，13AED V S BC=⋅ ，在AED 中，AE ED ==，AD a =，1122AEDS ==∴V ==，由均值不等式222316(162)()3aa a -≤，等号当且仅当2163a =时成立，即3a =，∴此时max27V==，当边长为a 的两条棱在同一个三角形中时，设AD AC a ==，11333A BCD BCD BCD V S h S AB -=⋅≤⋅=当且仅当AB ⊥平面BCD 时，体积取最大，此时a =∵327>，综上，当a =时，三棱锥体积最大为3。

2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题（强化班）一、单选题1．已知公比大于0的等比数列{}n a 满足13a =，前三项和321S =，则234a a a ++=（ ） A ．21 B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】根据13a =，前三项和321S =，代入前n 项和公式，求出q ，即可. 【详解】()()31231=21=311a q S q q q-=++-，即260q q +-=，解得2q =，3q =-（舍）， 所以234322142.a a a qS ++==⨯=故选：B . 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，方程思想可求解，属于基础题.2．直线a 与直线b 为两条异面直线，已知直线//l a ，那么直线l 与直线b 的位置关系为（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．异面或相交【答案】D【解析】两条直线的位置关系是异面，相交，平行，用反证法假设平行，推出矛盾，说明假设不成立，故而是异面或相交. 【详解】假设l b P ，又l a P ，根据公理3可得a b ∥，这与a 与b 是异面直线矛盾，故假设不成立，所以l 与b 异面或相交. 故选：D . 【点睛】本题考查空间中两直线位置关系，是概念辨析题，属于基础题.3．圆1O ：()()22121x y -+-=与圆2O ：()()22212x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】A【解析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出两个圆的圆心距，分析可得1212O O r r >+，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】根据题意，圆1O ：()()22121x y -+-=的圆心为(1，)2，半径1=1r ，圆2O ：()()22212x y -++=的圆心为(2，)1-，半径2r =12O O =121r r +=，则有1212O O r r >+，两圆外离；故选A . 【点睛】本题考查两圆位置关系，圆心距大于两圆半径之和为相离，属于基础题.4．已知点()0,0O ，()0,A b ，()1,1B .若OAB ∆为直角三角形，则必有（ ） A ．1b =B ．2b =C ．()()12=0b b --D ．120b b -+-=【答案】C【解析】根据题意即可得出OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u ur u u u r ，而可求出()1,1OB =u u u r ，()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r ，从而得出0OB AB ⋅=u u u r u u u r ，0OA AB ⋅=u u u r u u u r，从而求出b 的值.【详解】根据题意知，OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u u r u u u r；()1,1OB =u u u r ，()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r；110OB AB b ⋅=+-=uu u r uu u r ，或010OA AB b ⋅=+-=uu r uu u r2b ∴=，或1b =，则有(1)(2)0b b --=故选：C . 【点睛】本题考查向量垂直，转化成数量积为零，计算求解，属于基础题.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ，分别为棱1AB CC ，的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线A ．有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在【答案】A【解析】∵平面D 1EF 与平面ADD 1A 1有公共点D 1且不重合，∴两平面有1条过D 1的交线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的任意直线都与平面D 1EF 平行，这样的直线有无数条．6．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为An 和Bn ，且7453n n A n B n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3C ．5D ．4【答案】C【解析】∵数列{a n }和{b n }均为等差数列，且其前n 项和An 和Bn 满足7453n n A n B n +=+，则1212112121()2143872n+2)+2424122=7=7+()222222212n n n n n n n n n a a a a A n n b b b b B n n n n ----++=====++++++（. 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，nna b 为整数. 故选C.7．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D【解析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d ==1，化为24k 2+50k +24＝0， ∴k 43=-，或k 34=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的*n N ∈都有21n n S S n ++=，若{}n a 为单调递增的数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,44⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,43⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据数列的递推关系求出22n n a a +-=，根据{}n a 为单调递增的数列，则只要满足1234a a a a <<<，即可，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】Q 对于任意的n *∈N 都有21n n S S n ++=，①()2121n n S S n ++∴+=+，②②-①得()2212=121n n a a n n n ++++-=+，③则当2n ≥时，121n n a a n ++=-，④③-④得22n n a a +-=，也就是当2n ≥时，隔2项成等差数列，公差为2.{}n a Q 为单调递增的数列∴只要保证1234a a a a <<<可以保证整个数列单调递增.当1n =时，1121a a a ++=，即2112a a =-，当2n =时，121234a a a a a ++++=，即123224a a a ++=， 则31214222a a a a =--=+，421232a a a =+=-， 代入1234a a a a <<<，得1111122232a a a a <-<+<-，即1111111212222232a a a a a a <-⎧⎪-<+⎨⎪+<-⎩，即111131414a a a ⎧<⎪⎪⎪>-⎨⎪⎪<⎪⎩，即11144a -<<， 即1a 的取值范围为14⎛- ⎝，14⎫⎪⎭故选：C 【点睛】运用数列常用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求解递推关系，判断数列性质，有一定难度.二、填空题9．1l ：()1360m x y +++=，2l ：()120x m y +-+=，若12//l l ，则m =_____. 【答案】-2.【解析】根据两直线平行的公式，即可求解参数值. 【详解】 依题意，12l l P()()11310m m ∴+--⨯=且()21160m +-⨯≠解得：2m =- 故答案为：2- 【点睛】本题考查解析几何中两直线平行公式，属于基础题. 10．给出下列三个命题：①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行；④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 【答案】1.【解析】根据空间中，直线与直线位置关系，逐一判断，即可求解. 【详解】①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错；②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错；③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对只有一个结论正确 故答案为：1 【点睛】空间中直线与直线位置关系，与平面内直线与直线位置关系有所不同，需仔细辨析，本题属于中等难度.11．过三个点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交直线340x y +=与M 、N 两点，则MN =____.【答案】.【解析】根据题意，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入三个点的坐标，求出D ，E ，F ，即可得圆的方程，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=，圆过三个点(1A ，)3，(4B ，)2，(1C ，)7-，则有193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解可得：2D =-，4E =，20F =-，即圆的方程为2224200x y x y +-+-=， 变形可得：()()221225x y -++=， 其圆心为(1，)2-，半径为=5r ； 圆心到直线340x y +=的距离1d ==，则2MN ==，故答案为：【点睛】本题考查待定系数法确定圆的一般方程，考查了几何法求解直线与圆相交弦长问题，属于基础题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则11S =_____. 【答案】1365【解析】推导出11222n nn n a a -++=⨯=，()()()()()112345678910111S a a a a a a a a a a =++++++++++，由此能求出结果.【详解】n S Q 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列， 11222n n n n a a -+∴+=⨯=，()()()()()246810111234567891011=1222221365S a a a a a a a a a a a ++++++++++=+++++=故答案为：1365. 【点睛】本题考查并项求和，需仔细辨析项数，属于中等偏难题型.13．已知一组平行线n l ：0n y c ++=，*n N ∈，其中13c =，且点()1,n n c c +在直线21y x =-上，则100l 与101l 间的距离为_____. 【答案】992.【解析】由题意可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，由等比数列的通项公式可得所求12nn c =+，再由两平行直线的距离公式可得所求值.【详解】13c =，且点(n c ，)1n c +在直线21y x =-上，可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，∴数列{}1n c -为等比数列，公比为2可得()111122n n n c c --=-⋅=，即12n n c =+，可得直线120nn l y +++=，则100l 与101l 间的距离为992d ==.故答案为：992. 【点睛】本题考查数列求通项公式中的构造等比数列方法，和两平行直线距离公式，有一定难度. 14．点P 为圆A ：()2244x y -+=上一动点，Q 为圆B ：()()22641x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，则PO PQ PB ++的最小值为______. 【答案】9【解析】取点(3,0)C ，则2PO PC =，将PO PQ PB ++的最小值转化为BC 距离，即可得到所求. 【详解】P 为圆A ：22(4)4x y -+=上一动点，Q 为圆B ：22(6)(4)1x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，取(3,0)C ，则12AC AP AP AO ==， ACP APO ∴V :V 2PO PC ∴=21PO PQ PB PO PB ∴++=+- 221219PC PB BC =+-≥-=故答案为：9 【点睛】本题考查距离最短问题，将距离转化，利用两点间线段最短，求解最短距离.三、解答题15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413,,a a a 成等比数列，等差数列{}n b 前n 项为n S ，且416S =，636S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求和1122111n n nT a b a b a b =+++L . 【答案】.（1）21n a n =+，21n b n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）分别运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）由（1）得，11111()(21)(21)22121n n a b n n n n ==--+-+，运用裂项相消求和，化简可得所求和. 【详解】（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413a a a ，，成等比数列，可得24113a a a =，即2(33)3(312)d d +=+，解得2d =，即21n a n =+；等差数列{}n b 的公差设为m ，前n 项和为n S ，且416S =，636S =，可得14616b m +=，161536b m +=，解得112b m ==， 则21n b n =-；（2）由（1）结论，11111()(21)(21)22121nn a b n n n n ==--+-+ 则1122111111111...(1...)23311(1)52112221n n n T a b a b a b n n n =+++=-+-+=--+++-21n n =+ 【点睛】（1）考查等差数列基本量的求法，分别通过通项公式和前n 项和公式列方程，通过方程求解首项和公差，是等差数列常见方法；（2）裂项相消求和，通项公式可化简差的形式，适合裂项相消求和.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：（1）//PD 平面ANC ； （2）M 是PC 中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）作辅助线，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理，由线线平行证明线面平行；（2）先利用线面平行的判定定理证明BC ∥平面ADMN ,再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M 是PC 中点. 【详解】证明：（1）连结,BD AC ，设AC BD O =I ，连结NO ，ABCD Q 是平行四边形，O ∴是BD 的中点，在PBD ∆中，N 是PB 的中点，//PD NO ∴，又NO ⊂平面ANC ，PD ⊄平面ANC ，//PD ∴平面ANC ，（2）Q 底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊄Q 平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， //BC ∴平面ADMN .Q 平面PBC I 平面ADMN MN =，//BC MN ∴，又N 是PB 的中点，M ∴是PC 的中点.【点睛】（1）利用三角形中位线平行于底边证明线线平行，再证线面平行是证明线线平行的常见方法；（2）考查线面平行的性质定理；有一定难度，属于中等题型. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，记n a 与1n a +的等差中项为n k .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n kn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设集合{}*,n A x x k n N==∈，{}*2,nB x x a n N ==∈，等差数列{}nc 的任意一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B I 中的最小数，且10110115c <<，求{}n c 的通项公式.【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）26116499n n n T ++=⋅-；（Ⅲ）126n c n =-. 【解析】（Ⅰ）根据点(,)n n P n S 都在函数2()2f x x x =+的图像上，可得22()n S n n n N *=+∈，再写出1n S -，两式相减，即可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的和；（Ⅲ）先确定A B B =I ,再确定{}n c 是公差为4的倍数的等差数列，利用10110115c <<，可得10114c =，由此可得{}n c 的通项公式.【详解】（Ⅰ）Q 点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，()2*2n S n n n N ∴=+∈，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+. 当1n =时，113a S ==满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （Ⅱ）n k Q 为n a 与1n a +的等差中项12n n n a a k ++∴==()21211222n n n ++++=+ 2n k n n b a ∴==()4214n n ⋅+⋅.12434454n T ∴=⨯⨯+⨯⨯+()34744214n n ⨯⨯++⨯+⨯L ①由①4⨯，得234434454n T =⨯⨯+⨯⨯+()414744214n n +⨯⨯++⨯+⨯L ②①-②得：()()23134342444214n n n T n +⎡⎤-=⨯+⨯+++-+⨯⎣⎦L ()()211414434221414n n n -+⎡⎤-⎢⎥=⨯+⨯-+⨯-⎢⎥⎣⎦26116499n n n T ++∴=⋅-（Ⅲ）{}*,n A x x k n N==∈，{}*2,nB x x a n N ==∈A B B ∴=In c A B ∈⋂Q ，1c 是A B I 中的最小数，16c ∴=.{}n c Q 是公差为4的倍数的等差数列，()*1046c m m N ∴=+∈. 又10110115c <<Q ，*11046115m m N <+<⎧∴⎨∈⎩，解得27m =. 所以10114c =，设等差数列的公差为d ，则101101c c d -==-1146129-=，()6112n c n ∴=+-⨯126n =-，126n c n ∴=-.【点睛】本题考查：（Ⅰ）已知前n 项和公式求通项公式，11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩ 12n n =≥；（Ⅱ）数列求和方法：错位相减法；（Ⅲ）结合集合中交集运算，判断等差数列；本题考查知识比较全面，属于难题.18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心O 后转向ON u u u r方向，已知tan 2MON ∠=-，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km .（1）若102OA km =，求两站点,A B 之间的距离；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区.因考虑未来道路AB 的扩建，则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？ 【答案】（1）)2021；（2）设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.【解析】（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=，则34EOB πα∠=-，（42ππα<<），可得10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可求310sin43cos cos 4AB ππαα=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1sin 224πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合42ππα<<，可得max32cos cos 44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，即可求解两出入口之间距离的最小值.（2）设切点为F ，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，可求20t k =，或60t k =（舍去），可求(20,0)A -，此时20OA =，又由（1）可知当//AB ON时，OA =，综上即可求解. 【详解】（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=， 则34EOB πα∠=-，（42ππα<<），故10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫=-⎪⎝⎭， 310tan 10tan 4AB παα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin sin 4103cos cos 4πααπαα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭310sin43cos cos 4ππαα=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭， 又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭cos cos 22ααα⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2244πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由42ππα<<，得32,444πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故max32cos cos 44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，当且仅当242ππα-=，38πα=时取等号.此时，AB 有最小值为()2021+.即两出入口之间距离的最小值为()2021+.（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F 此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线. 因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy 由5CF =，10OE =，因为圆O 的方程为22100x y +=，圆C 的方程为()223025x y ++=，设直线AB 的方程为()0y kx t k =+>，则221013051tkk t k ⎧=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩所以，两式相除，得230t k t =-+， 所以20t k =或60t k =，所以此时()20,0A -或()60,0A -（舍去），此时20OA =， 又由（1）知当//AB ON 时，102OA = 综上，()102,20OA ∈.即设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 【点睛】（1）实际应用问题中，三角函数的应用，可利用三角函数的有界性取得最小值； （2）由实际问题建立平面直角坐标系，运用直线与圆的位置关系，确定参数范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>．（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点． （ⅰ）若217AB ≤k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）15y x =；（2）1154k ≤<（3）见解析 【解析】试题分析：（1）由题意0k >，圆心C 到直线l 的距离21d k =+l与圆C 相切得15k =l 的方程；（2）（i ）由题意得：221702117AB d <=-，2 1d k =+k 的取值范围；(ii)()1:3AM l y k x =-与圆C ()22:41x y -+=联立，得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由韦达定理求出,A B 的坐标，从而得到 ()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由此能证明存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．试题解析：（1）解：由题意，0k >， ∴圆心C 到直线l 的距离21d k =+，∵直线l 与圆C 相切，∴1d ==，∴k =，∴直线:l y x =． （2）解：由题意得：0AB <=≤1d ≤<， 由（1）可知：d =∴117≤<，∴1415k ≤<． （3）证明：()1:3AM l y k x =-，与圆C ()22:41x y -+=联立，得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，∴3M x =，2121351A k x k +=+，∴2112211352,11k k A k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，∵OA OB k k =， ∴122212221222122211355311k k k k k k k k -++=++++，即()()12121350k k k k ++=， ∵121k k ≠-，∴2135k k =-， 设()00,P x y ， ∴()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩， ∴12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1313141554k k k ==，∴1213225k k k k +==，∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20．若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,p q ∈N 使得p q a a c ==（c 为常数）； ②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n =+； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =-- （2）设501012,1502,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设()9310nn a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ①③是双底数列，②不是双底数列(2) 1m =-249100,15022548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩（3）存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列【解析】试题分析：（1）根据双底数列的定义可判定①③是双底数列，②不是双底数列；（2）由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，()29910121002n n n S n n +-==-，当50n >时，()()()22501005050212121n n S L -=⨯-+-+-++-，从而可得结果；（3）()119931010nn n a a k kn +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列），即 39n k-=，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果.试题解析：（1）①③是双底数列，②不是双底数列； （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增， 由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-，当150n ≤≤时，数列成等差，()29910121002n n n S n n +-==-，当50n >时，()()()22501005050212121n n S L -=⨯-+-+-++-4922548n n -=-+，综上，249100,15022548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩. （3）()()1199331010n nn n a a kn k kn ++⎛⎫⎛⎫-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()93931010n kn k kn ⎛⎫++⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()19931010nk kn ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列）， 即 39n k-=， 得16k n =⎧⎨=⎩或38k n =⎧⎨=⎩或112k n =-⎧⎨=⎩或310k n =-⎧⎨=⎩ 故当1k =时，()13961010nn n a a n +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<； 从而 12345678a a a a a a a a L <<<= ，数列{}n a 不是双底数列； 同理可得：当3k =时，12891011a a a a a a =L L ，数列{}n a 不是双底数列； 当1k =-时，1212131415a a a a a a >>>=<<<L L ，数列{}n a 是双底数列； 当3k =-时，1210111213a a a a a a >>>=<<<L L ，数列{}n a 是双底数列； 综上，存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列.【方法点睛】本题考查数列的通项公式及求和公式、新定义问题的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义双底数列达到考查数列性质的目的.。

江苏省天一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（强化班）一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1.直线05-y 3=+x 的倾斜角为 A.030- B.060 C.0120 D.01502.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若02=+n S a ,则公比q 等于 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23. 已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A. (1,2) B. )23,1( C. ),2()1,(+∞-∞ D. ),23()1,(+∞-∞4.设n m ,是两条+同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若 m// a , n//a ,则 m//n B.若βα// , βα⊂⊂n m ,,则 m//n C.若n n m ,,αβα⊂= 丄 m ，则 n 丄 β D.若m 丄 a , m//n ，β⊂n ，则 βα丄5.若直线022=+-by ax (a>0，b>0)被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4,则ba 14+的最小值是 A. 9B.4C.21 D. 416.己知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2,过直线O102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. π212 B. π12 C. π28D. π107.已知关于x 的不等式0862≥++-k kx kx 对任意R x ∈及恒成立，则k 的取值范围 A. 10≤≤k B. 1<0≤k C. k<0 或 k>l D. 0≤k 或1≥k9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设直线A1B 与平面A1DCB1所成角为1θ，二面角 A1-DC-A 的大小为2θ，则1θ，2θ为A.030，045B. 045，030C.030，060D. 060，04510. 过曲线的左焦点F1且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得∠ACB =090,则双曲线离心率e 的最小值为A.213+ B.13+ C. 215+ D. 15+ 11.数列{n a }是各项均为正数的等比数列，数列{n b }是等差数列，且65a a =,则 A. 8473b b a a +≤+ B. 8473b b a a +≥+C. 8473b b a a +≠+D.8473b b a a +=+ 12.已知点P 为圆0: 122=+y x 上-个动点，O 为坐标原点，过P 点作圆0的切线与圆01:198222=--+y x y x 相交于两点A,B ，则PBPA的最大值为 A. 223+ B.5 C. 73+ D.33314+ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若2cos sin ,2=+=B B a , 则角A的大小为.14.己知正四棱锥的底面边长为4cm,高为5cm,则该四棱锥的面积是 cm 2.15. 已知△OAB 内接于抛物线x y 42=，其中0为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则△OAB 的外接圆方程为 .16. 设数列{n a }满足)4(,9,4,1321321≥++====---n a a a a a a a n n n n ，=2019a . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。