数形结合法在函数零点问题中的应用
高三数学组 2017年3月15日
【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。
1
2
通例1
A. 在区间
1
(,1)
e
，(1,)e内均有零点
B. 在区间
1
(,1)
e
，(1,)e内均无零点
C. 在区间
1
(,1)
e
内有零点，(1,)e内无零点
D. 在区间
1
(,1)
e
内无零点，(1,)e内有零点
解1：113'()33x f x x x -=-=，()f x 在1(,)e e 单调递减，11()103f e e
=+>，1(1)03f =>，()103e f e =-<，由零点存在定理知，区间1(,1)e
内无零点，(1,)e 内有零点。
解2：令()0f x =，得1ln 3x x =，作出函数13
y x =和ln y x =的图象，如右图，显然在区间1(,1)e
内无零点，(1,)e 内有零点。
例2、设1()2,0()222,0
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()y f x x =-的零点个数是__2____。
解：作出函数()y f x =和y x =的图象，如右图，由图可知直线
y x =与函数()f x 的图象有两个交点，所以()y f x x =-有2个零点。
例3、已知函数2,0()ln(1),0
x ax x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，()2()F x f x x =-有2个零点，则实数a 的
取值范围是_______________。1(,]2
-∞ 解1： 0x >时，()2()2ln(1)F x f x x x x =-=+-，则21'()111x F x x x
-=-=++ ∴当01x <<，()F x 单调递增；当1x >，()F x 单调递减；
而max (0)0,()(1)0F F x F ==>，(4)2ln540F =-<，此时有1个零点；
0x ≤时，()F x ，只有1个零点 ，则222x ax x +=的根为0或正数，
由22(21)0x a x +-=解得1202a x x -==或，120a ∴-≥，解得12
a ≤。
解2：令()0F x =，得()2x f x =
，作出()y f x =和2
x y =的图象 ∴当0x <时，22x x ax +>恒成立，12a x ∴<-，12a ∴≤
例4、若函数1,0()ln ,0
kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则当0k >时，函数[()]1y f f x =+的零点个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
解：令()f x t =，若[()]10y f f x =+=，则
()1f t =-则1()(,0)f x t =∈-∞，2()(0,1)f x t =∈
对于1()f x t =存在两个零点；
对于2()f x t =存在两个零点；
综上可知，函数[()]1y f f x =+有4个零点。
例5、设2()(2)x x f x x e ae -=-+，()22g x a x =-（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()()f x g x =有且仅有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ D ）
A. 2
(,)21
e e +∞- B. (,)e +∞ C. (1,)e D. 2(1,)21e e - 解：由()()
f x
g x =得2(2)22x x x e ae a x --+=-
即22(2)220x x x e a x e a ---+=
令2()x t x e h x =-=，则2
20t at a -+= (2),2()(2),2x x x e x h x x e x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，(1),2'()(1),2
x x x e x h x x e x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ()h x 的大致图象如右图：
∴方程220t at a -+=在(0,)e 上有两个不同的解12,t t 时可以满足题意
则24400()20
a a t a e t e e ae a ⎧∆=->⎪<=<⎨⎪=-+>⎩对解得2
121e a e <<-
【归纳小结】
1、解决此类问题的关键是数形结合；
2、还应把握两类知识：
(1) 灵活构造函数；
(2) 图象的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。
【教学反思】数形结合思想是高中数学常用思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数零点问题教学时渗透数形结合的思想，并在平时的训练中不断领悟和总结，可以促使学生在解决零点问题的能力上得到改善和提高！
