高中数学用数形结合解零点问题

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(&#0)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。

高中数学函数零点问题及解题策略探究郭文峰(福建省宁德市民族中学ꎬ福建宁德３５５０００)摘㊀要:函数是高中数学学习的重难点ꎬ函数零点问题则是函数的重点所在.本论文结合具体的例题ꎬ对不同类型的函数零点问题的解题方式进行了探究.关键词:高中数学ꎻ零点问题ꎻ策略探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３６－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:郭文峰(１９８３.２－)ꎬ男ꎬ福建省福安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀函数零点是沟通函数㊁方程和图象的重要媒介ꎬ充分体现了函数和方程之间的内在联系ꎬ也蕴含了丰富的数学思想.在函数零点问题解答中ꎬ由于题目类型不同ꎬ解题思路也就有所不同ꎬ学生不仅要理清这一类型题目的特点ꎬ还应掌握多种零点问题的解答方法ꎬ才能灵活应对各种函数零点问题的解答ꎬ真正提升学生的解题效率.１高中函数零点问题常考类型分析１.１求函数零点的值求函数零点值问题只要掌握了函数零点的定义ꎬ将函数问题转化成为方程ꎬ即可通过方程的根得出函数的零点值.例１㊀已知ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ２－４ｘꎬ求该函数的零点.㊀解析㊀令ｆ(ｘ)＝０ꎬ即ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０ꎬ解方程得出ｘ１＝０ꎬｘ２＝４ꎬｘ３＝－１.因此ꎬ函数ｆ(ｘ)的零点就是ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０的三个根ꎬ即０ꎬ４ꎬ－１.例２㊀已知ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂꎬ求该函数的极值点.解析㊀由题可知ｆᶄ(ｘ)＝２ｘ(３ｘ－ａ)ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得出ｘ＝０或ｘ＝ａ３.当ａ＝０时ꎬ在(－¥ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０.因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎬ不存在极值点.当ａ>０时ꎬ在(－¥ꎬ０)ꎬ(ａ３ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎻ在(０ꎬａ３)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.此时ꎬ该函数具备极大值点０ꎬ极小值点ａ３.当ａ<０时ꎬ在(－¥ꎬａ３)ꎬ(０ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递增ꎻ在(ａ３ꎬ０)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.因此ꎬ该函数具备极大值点ａ３ꎬ极小值点为０[１].１.２求函数零点个数此类题目可以先将函数的零点求出来ꎬ然后看零点一共有多少个ꎻ还可以利用零点存在性定理ꎬ并结合函数的单调性ꎬ对函数零点的个数进行确定ꎻ也可以通过构造函数的方式ꎬ将函数的零点问题进行转化ꎬ使其成为求函数图象的交点个数问题.例３㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ的零点６３个数.解析㊀令ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ＝０ꎬ得出ｌｏｇ０.５ｘ＝(１２)ｘꎬ令ｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘꎬ绘制出函数图象(如图１所示).图１结合图象分析得出ꎬｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘ之间存在两个交点.因此ꎬ原函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ存在２个零点.例４㊀已知ａ>１ｅꎬ判断ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋(ａ＋１)ｘ－(ａ＋１)ｘｌｎｘ－１的零点个数.解析㊀在函数定义域(０ꎬ＋¥)内ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘꎬ令２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘ＝ｈ(ｘ)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝２ａ－ａ＋１ｘ＝２ａｘ－(ａ＋１)ｘ.令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ则ｘ＝ａ＋１２ａ.当０<ｘ<ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘ>ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬａ＋１２ａ)内单调递减ꎬ在区间(ａ＋１２ａꎬ＋¥)内单调递增ꎬ因此ꎬｆᶄ(ｘ)的最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ).因为ａ>１ｅꎬ所以ａ＋１２ａ＝１２＋１２ａ<１２＋ｅ２<ｅꎬ即ｆᶄ(ｘ)最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ)>０.因此ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递增ꎬ至多存在一个零点.因为ｆ(１)＝２ａ>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间(１ꎬ＋¥)内没有零点.又因为ａ为常数ꎬ当ｘң０时ꎬ在原函数中ꎬａｘ２ң０ꎬ(ａ＋１)ｘң０ꎬｌｎｘң－¥ꎬ所以ｆ(ｘ)ң－１<０.综上ꎬ函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ１)内有一个零点ꎬ在(０ꎬ＋¥)内有一个零点[２].１.３求函数零点的范围例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１ｘ－２ｘ在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ则正整数ｎ的值为多少?解析㊀易知函数ｆ(ｘ)为减函数ꎬ因为ｆ(１２)＝２－２>０ꎬｆ(１)＝１－２<０ꎬ因此该函数在(１２ꎬ１)中存在零点.同时ꎬ由已知条件得出ｆ(ｘ)在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ因此ꎬ０<ｎ－１ｎ<ｎｎ＋１<１ꎬ得出ｎɤ２ꎻ将ｎ＝２代入ｎｎ＋１ꎬ得出ｎｎ＋１＝２３ꎬ所以ｆ(２３)<０ꎬ因此ｎ＝２符合题意.１.４根据函数零点个数求解参数范围１.４.１基于转化思想解决零点问题例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘ(ｘ>０).(１)若ｇ(ｘ)＝ｍ存在零点ꎬ求ｍ的取值范围ꎻ(２)确定ｍ的取值范围ꎬ使得函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.解析㊀(１)因为ｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘȡ２ｅ２＝２ｅ(ｘ>０)ꎬ当且仅当ｘ＝ｅ２ｘ时ꎬ取等号.因此ꎬ该函数存在最小值ꎬ即２ｅ.所以ꎬ当ｍɪ[２ｅꎬ＋¥)时ꎬ函数存在零点.(２)要使得ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点ꎬ即ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝０存在两个不同的实数根(如图２所示)ꎬ即两个函数的图象有两个不同的交点.因为ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１＝－(ｘ－ｅ)２＋ｍ－１＋ｅ２ꎬ其对称轴为ｘ＝ｅ.所以当ｍ>－ｅ２＋２ｅ＋１７３图２时ꎬ函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.１.４.２基于数形结合思想解决零点问题在高中函数零点问题中ꎬ数形结合思想是一种非常有效的方法ꎬ主要是借助函数零点的概念ꎬ引导学生对函数图象进行观察ꎬ明确函数图象与坐标轴的交点ꎬ在图象的辅助下ꎬ顺利解决函数零点问题.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{若方程ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀将ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ看做成为ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｘ－ａ存在两个不相同的零点.在平面直角坐标系中分别作出函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{以及ｈ(ｘ)＝ｘ的图象(如图３)ꎬ接着对ｈ(ｘ)＝ｘ进行平移.当ａ<１时ꎬ两个函数存在两个交点ꎻ此时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根.图４１.４.３基于分类与整合思想解决零点问题分类讨论与整合ꎬ就是化整为零㊁各个击破ꎬ是一种非常有效的函数零点问题解决手段.通常ꎬ这一种方法常常被用于综合性的函数零点问题中ꎬ需要在解题的过程中ꎬ通过分类讨论ꎬ最终在各个击破的基础上ꎬ整合到一起.例８㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数ꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍꎬ如果函数存在两个不同的零点ꎬ求ｍ的取值范围.解析㊀因为ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ的图象开口向上ꎬ且图象必须经过(０ꎬｍ)点㊁图象对称轴为ｘ＝ｍ.(１)当ｍ>０时ꎬ由于函数必然经过(０ꎬｍ)点ꎬ且ｙ轴为图象的对称轴ꎬ根据判别式值等于０ꎬ得出ｍ＝１ꎻ(２)当ｍ＝０时ꎬ因为函数只有一个零点ꎬ所以ｍ＝０与题意不相符ꎻ(３)当ｍ<０时ꎬ通过函数图象即可得知ꎬ该函数存在两个不同的零点ꎬ其符合题意.２基于函数零点问题解答的日常教学启示结合上述例题研究显示ꎬ学生对函数零点的概念㊁零点存在性定理的掌握情况以及对函数和方程㊁图象之间的关系熟悉程度ꎬ直接决定了学生的解题能力.鉴于此ꎬ为了真正提升学生的数学解题能力ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ唯有坚持以生为本的理念ꎬ引导学生积极主动参与到相关数学概念和定理的探究学习中.为了全面提升学生的解题能力ꎬ唯有彻底转变传统的教学模式ꎬ指向数学新课程的要求ꎬ灵活借助多种方式优化课堂教学ꎬ包括:探究式学习㊁多媒体信息技术教学等ꎬ使得学生在多样化学习中ꎬ高效完成课堂学习目标.在最新的课程标准中明确提出了数学六大核心素养ꎬ并且已经成为当前考查的方向.在常见的函数零点问题中就蕴含了数形结合思想㊁转化化归思想㊁分类讨论思想等ꎬ学生唯有熟练掌握这些数学思想ꎬ才能促使其形成正确的解题思路.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学时ꎬ应结合不同的例题内容ꎬ针对性地融入数学思想ꎬ使得学生在日常学习中ꎬ逐渐完成数学思想的内化和应用ꎬ进而提升自身的数学解题能力.参考文献:[１]孟彩彩ꎬ巩铠玮.基于波利亚 怎样解题表 的习题教学案例研究 以 函数的零点 为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２２(０９):６－８.[２]寿啸天.高中数学函数零点解决方法探究[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２０(２８):３１－３２.[责任编辑:李㊀璟]８３。

函数零点问题的几种常见求解方法作者：卢杰来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第1期湖北十堰市第一中学（442000）卢杰函数零点是函数与导数部分的重要知识，它涉及函数的图像与性质等基本知识，渗透着转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等重要思想，体现对学生综合能力的考查.下面对常见的几种函数零点解决办法作些归纳.方法一：解方程法.函数f(x)零点问题可转化为求方程f(x)=0的解，方程几个解就对应函数有几个零点.【例1】函数f(x)=xcosx2在区间［0,4］上零点的个数为（）.A.4B.5C.6D.7分析：求方程xcosx2=0在区间［0,4］上解的个数，x=0为一个解；x∈(0,4］时，x2∈(0,16］，由cosx2=0得x2=kπ+π2 ，k∈Z，k只能取0,1,2,3,4，此时有5个解.综上，解的个数为6，即零点个数为6.选C.方法二：利用零点存在性定理法.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，y=f(x)在区间(a,b)内有零点.若结合单调性，就能判断零点的个数.【例2】函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是（）.A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)分析:因为f(0)=e0+0-2=-1＜0，f(1)=e1+1-2=e-1＞0，所以函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(0,1)．选C.方法三：数形结合法.函数零点、方程的根与函数图象的关系为函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点�方程F(x)=f(x)-g(x)=0有实数根�函数y1=f(x)和y2=g(x)的图像有交点.故可以把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，有时又需要把方程解的问题转化为函数零点问题，通过图象反映与轴交点的情况.【例4】函数f(x)=lgx-cosx的零点有（）.A．4个 B．3个 C．2个 D．1个分析:可画出y=lgx和y=cosx的图象,观察得出有3个交点.选B.【例5】函数f(x)=x2-8x+6lnx+m有三个零点，求实数m的取值范围.分析：函数有三个零点等价于图象与x轴有三个不同的交点.f(x)在(0,1)上递增，（1,3）上递减，(3,+∞)上递增.结合f(x)的图象可得f(1)＞0且f(3)＜0，解得7＜m＜15-6ln3.以上三种方法是常见的函数零点问题解决办法，前两种方法主要适用于较简单的问题，小题中运用较多；后一种方法有时直接画出函数图象看其与轴交点的个数，有时又必须画两个图象，注意在做题过程中加以区分.(责任编辑金铃）。