专升本高等数学课件《内部资料》PPT课件

例2. 设 q 1 , 思考等比数列
的极限为？ . 证:
故
lim qn1 0
n
二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 2. 收敛数列一定有界.
此性质反过来不一定成立.
例如,
数列 （ 1)n 虽有界但不收敛 .
3. 夹逼准则 (准则1)
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
数学语言描述: n , An S
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
n , xn a
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或
xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
几何解释 :
(
x1
xa4
)
x3 x2
2
...
1 n2
n
)
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn
n
2、求数列的极限:
3n 1
（1）、
lim
n
5n
1
；
（2）、
lim0.999....9
n
（3）、
（4）、
（5）、
（6）、
（7）、
lim(
n
1 n2
1
1 n2
适用于专升本及高职高专各专业
高等数学
M A T H E M A ＴＩＣＳ
第一章 函数与极限
第二节 数列的极限

b
a
（2）几何意义：曲边梯形的面积 • 定积分的性质 （1）

b
a
f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx
a c
c
b
（2）若 f (x) 0,x [a,b] ，则

b
a
f (x)dx 0
2、定积分
•
变限积分
（1）变上限积分的概念： （2）变限积分求导定理：

x
a
f (t )dt 是关于上限 x 的函数。
x =x0
=f (x0 )x
（2） dy =ydx
3、应用
• 中值定理 (a,b)可导；f (a)=f (b) （1）罗尔定理：若 y f (x) 满足：在 [a,b] 连续； 则至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( )=0 。 （2）拉格朗日中值定理： f ( )= • 洛必达法则
4、典型例题
• • • • • • •
x arcsin - 1 的定义域。 2 3 - x2 x,1< x 4 例2：设 f (x) ，求 f (x2 ) 的定义域。 sin x, x 1 1 ,g (x)=1+x 2 ，求 f g (x) ,g f (x) 。 例3：设 f (x) 1+x
x f (t )dt =f (x) a (x ) f (t )dt =f (x) (x) a b f (t )dt =-f g (x) g(x) g (x ) (x ) f (t )dt = c f (t )dt + (x ) f (t )dt =f (x) (x)-f g(x) g(x) c g (x ) g (x )

是单调增加(或减少)的,则它必存在反函数y f 1(x), x f (D),
且反函数y f 1(x)在M上也是单调增加(或减少)的.
y
y x3
y3 x
o
x
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例3 讨论函数y x2的反函数.
解
y
y x2
1
1 o 1 x
定义域D (, ),函数
x y
x y x[0, ) x y x(,0]
y x y x
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定理 设函数y f (x)的定义域是D.如果函数y f (x)在D上
y
y f 1(x)
yx
的图象在同一坐标
P(a, b)
y f (x)
o
P(b, a)
x
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例2 求函数y ln(x 2) 1的反函数. 解 y ln(x 2) 1 ln(x 2) y 1,
x 2 ey1, x ey1 2.
即函数y ln(x 2) 1的反函数为y ex1 2.
1.3 反函数
定义 设函数y f (x)的定义域为D,值域为M.如果对于M中 的每一个y值(y M ),都可以从关系式y f (x)确定唯一的x 值与之对应,则所确定的以y为自变量的函数、x为因变量的
新函数x (y)称为函数y f (x)的反函数,常记作 x f 1( y).
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 直接函数 y f 1(x) , x f (D)
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例1
求函数 y 1 x 2的反函数，并在同一个 2
平面直角坐标系中
作出它们的图像.
解
y 1 x 2 x 2 y 4,

满足 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x) dx,则称 F (x) 为f (x) (或 f (x)dx)在区间 I 上的一个原函数 .
[例] sin x cos x sin x 是cos x 的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x 是 1 在区间(0,)内的原函数.
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13)
axdx
ax C ln a
[例5]求积分
dx x3
.
[解]
dx x3
x3dx x31 C 31
1 2x2 C.
[例6]求积分 x2 xdx.
5
[解]
x2 xdx x2dx
x
1 2
d(1 2ln x)
1 2ln x
du u
ln
|
u
|
C
[例10] 求
e3
x
dx .
x
[解] 原式 = 2 e3 x d x
凑
2 e3 x d(3 x ) 3
2e3 x C 3
eudu eu C
[例11] 求 sin3 xdx . [解] 原式 = sin2 x sin x dx (1 cos2 x) dcos x
第三章 一元函数积分学
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结
一、原函数与不定积分的概念
1.[定义1] 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
(
x
a)