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专升本考试课件一、教学内容本次教学内容选自专升本考试辅导教材《高等数学》第三章《一元函数微分学》的部分内容。
详细内容包括导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、导数的应用等。
二、教学目标1. 让学生掌握导数的定义，理解导数在几何和物理上的意义。
2. 使学生熟练运用求导法则，解决实际问题中的求导问题。
3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：隐函数求导、导数的应用。
教学重点：导数的定义、求导法则、高阶导数的计算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示汽车行驶过程中速度与时间的关系图，引导学生思考如何描述物体的瞬时速度。
2. 导数的定义（15分钟）按照教材内容，讲解导数的定义，解释导数在几何和物理上的意义。
3. 求导法则（20分钟）介绍常用函数的求导法则，结合例题进行讲解。
4. 高阶导数（10分钟）解释高阶导数的概念，举例说明高阶导数的计算方法。
5. 隐函数求导（10分钟）介绍隐函数求导的方法，结合例题进行讲解。
6. 导数的应用（15分钟）通过实际例子，讲解导数在求解极值、最值问题中的应用。
7. 随堂练习（10分钟）设计针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 导数的定义及公式2. 常用函数求导法则3. 高阶导数计算方法4. 隐函数求导方法5. 导数在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列函数的导数：y = x^3 2x^2 + 3x 4y = sin(x)cos(x)（2）已知函数 y = (x^2 + 1)^2，求 y''（二阶导数）。
（3）求下列隐函数的导数：y^3 3xy^2 + 2x^3 = 0（4）某物体做直线运动，其位移 s(t) = t^3 6t^2 + 9t +1（单位：米），求 t = 2 秒时的瞬时速度。
2021年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学(一)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设lim x →0ln （1＋bx ）x＝2，则b ＝( )A ．2B ．1C ．12D ．－2 2．当x →0时，tan x 2A ．低阶无穷小量B ．等价无穷小量C ．同阶但不等价无穷小量D ．高阶无穷小量 3．设函数f (x ) 满足lim x →1f （x ）－f （1）2（x －1）＝1，则f ′(1)＝( )A ．2B ．1C ．12 D ．－1 4．设y ＝x ＋e －x，则d y|x ＝1＝( )A ．e －1d x B ．－e －1d xC ．(1＋e －1)d xD ．(1－e －1)d x5．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e )处法线的斜率为( ) A ．— 2 B ．－12C ．12D ．2 6．∫(cos x )′d x ＝( ) A ．sin x ＋C B ．cos x ＋C C ．－sin x ＋C D ．－cos x ＋C 7.⎠⎛－11 (x cos x ＋1)d x ＝3( )A ．— 2B ．— 1C ．1D ．2 8.⎠⎛1＋∞ 1x3 d x ＝( )A ．12B ．14C ．－14D ．－129．设z ＝y 5＋arctan x ，则∂z ∂y ＝( )A ．5y 4＋11＋x 2 B ．11＋x 2C ．5y 4D ．5y 4＋arctan x 10．设z ＝e2x －y，则∂2z∂x ∂y＝( )A ．－e 2x －yB ．e 2x －yC ．－2e 2x －yD ．2e 2x －y第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题(11～20小题，每小题4分，共40分) 11.lim x →03x ＋1x 2＋2x ＋3＝.12.lim n →∞ 3n 2＋5n2n 2＋4n ＋5 ＝.13．设函数f (x )＝e x－12x，则f (x )的间断点为x ＝.14．设y ＝x e x，则y ′＝.15．设y ＝y (x )是由方程y ＋e y＝x 所确定的隐函数，则y ′＝. 16．曲线y ＝1x －2的铅直渐近线方程为. 17．∫x e x 2d x ＝. 18.d d x ⎝⎛⎭⎫⎠⎛2x tan t d t ＝. 19.⎠⎛0111＋x 2 d x ＝. 20．过坐标原点且与平面3x －7y ＋5z －12＝0平行的平面方程为.三、解答题(21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤) 21．(本题满分8分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋a 2，x >1，－x ，x ≤1在x ＝1处连续，求a .22．(本题满分8分) 设y ＝ln x x，求d y .23．(本题满分8分) 计算∫cos x xd x .24．(本题满分8分)求曲线y ＝2x 3－6x 2的凹、凸的区间及拐点．25．(本题满分8分) 设z ＝ln (x ＋y 2)，求d z|（1.1）.26．(本题满分10分)求微分方程y ″－3y ′＋2y ＝2的通解．27．(本题满分10分)xy d x d yx＝0，y＝x和x2＋y2＝1在第一象限所围成的闭区域．计算∬D28．(本题满分10分)将y＝e x＋1展开成x的幂级数．参考答案及解析一、选择题 1．【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换的知识点． 【应试指导】当x →0时，ln (1＋bx )～bx ，故lim x →0 ln （1＋bx ）x＝lim x →0 bxx ＝b＝2. 2．【答案】D【考情点拨】本题考查了高阶无穷小量的知识点．【应试指导】lim x →0 tan x 2x ＝lim x →0 x 2x＝lim x →0x ＝0，故当x →0时，tan x 2为x 的高阶无穷小量．3．【答案】A【考情点拨】本题考查了函数的导数的知识点．【应试指导】f ′(1)＝lim x →1f （x ）－f （1）x －1 ＝2lim x →1 f （x ）－f （1）2（x －1）＝2. 4．【答案】D【考情点拨】本题考查了函数的微分的知识点． 【应试指导】d y ＝(x ＋e －x)′d x ＝(1－e －x)d x ，因此d y|x ＝1＝(1－e －x)|x ＝1d x ＝(1－e－1)d x .5．【答案】B【考情点拨】本题考查了曲线的法线的知识点．【应试指导】y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，因此曲线在点(e ，e )处切线的斜率为y ′|x ＝e＝(ln x ＋1)|x ＝e＝2，故其法线的斜率为－12.6．【答案】B【考情点拨】本题考查了不定积分的基本性质的知识点． 【应试指导】∫(cos x )′d x ＝∫d(cos x )＝cos x ＋C . 7．【答案】D【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点．【应试指导】⎠⎛－11 (x cos x ＋1)d x ＝∫1－1 x cos x d x ＋⎠⎛－11 d x ＝⎠⎛－11d x ＝x ⎪⎪⎪1－1 ＝2. 8．【答案】A【考情点拨】本题考查了广义积分的计算的知识点． 【应试指导】⎠⎛1＋∞ 1x3 d x ＝1－3＋1 x －3＋1⎪⎪⎪＋∞1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫0－12 ＝12.9．【答案】C【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点． 【应试指导】∂z ∂y＝(y 5)′＝5y 4.10．【答案】C【考情点拨】本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点．【应试指导】∂z ∂x ＝e 2x －y ·2＝2e 2x －y，∂2z ∂x ∂y ＝2e 2x －y ·(－1)＝－2e 2x －y .二、填空题 11．【答案】13【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算的知识点． 【应试指导】lim x →0 3x ＋1x 2＋2x ＋3 ＝0＋10＋0＋3 ＝13.12．【答案】32【考情点拨】本题考查了函数极限的四则运算法则的知识点． 【应试指导】lim n →∞ 3n 2＋5n2n 2＋4n ＋5 ＝lim n →∞3＋5n2＋4n ＋5n2＝32.13．【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的间断点的知识点． 【应试指导】函数在x ＝0处无定义，故其间断点为x ＝0.14．【答案】(x ＋1)e x【考情点拨】本题考查了函数导数的知识点．【应试指导】y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x. 15．【答案】11＋ey【考情点拨】本题考查了隐函数的求导的知识点．【应试指导】方程两边对x 求导，得y ′＋e y·y ′＝1，即y ′＝11＋e y .16．【答案】x ＝2【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点． 【应试指导】当x →2时，lim x →2 1x －2＝∞，故x ＝2为曲线的铅直渐近线． 17．【答案】12e x 2＋C【考情点拨】本题考查了不定积分的第一换元积分法的知识点． 【应试指导】∫x e x 2d x ＝12 ∫2x e x 2d x ＝12 ∫e x 2d(x 2)＝12 e x 2＋C .18．【答案】tan x【考情点拨】本题考查了变上限定积分的性质的知识点． 【应试指导】d d x ⎝⎛⎭⎫⎠⎛2x tan t d t ＝tan x . 19．【答案】π4【考情点拨】本题考查了定积分的知识点． 【应试指导】⎠⎛01 11＋x2 d x ＝arctan x ⎪⎪⎪10 ＝π4 . 20．【答案】3x －7y ＋5z ＝0【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点．【应试指导】已知所求平面与3x －7y ＋5z －12＝0平行，则其法向量为(3，－ 7，5)，故所求方程为3(x －0)＋(－7)(y －0)＋5(z －0)＝0，即3x －7y ＋5x ＝0.三、解答题21.lim x →1＋ f (x )＝lim x →1＋ ()2ax ＋a 2＝2a ＋a 2，lim x →1－ f (x )＝lim x →1－(－x )＝－1. 由于f (x )在x ＝1处连续，所以lim x →1＋ f (x )＝lim x →1－ f (x )，即2a ＋a 2＝－1.解得a ＝－1. 22．y ′＝1－ln xx2， d y ＝y ′d x ＝1－ln x x2d x . 23．令t ＝x ，则x ＝t 2，d x ＝2t d t . ∫cos xxd x ＝∫2t cos ttd t＝2∫cos t d t＝2sin x ＋C .24．y ′＝6x 2－12x ，y ″＝12x －12. 由y ″＝12x －12＝0得x ＝1.当x <1时，y ″<0，因此在区间(－∞，1)曲线是凸的； 当x >1时，y ″>0，因此在区间(1，＋∞)曲线是凹的； 当x ＝1时，y ＝－4，点(1，－4)为曲线的拐点． 25.∂z ∂x ＝1x ＋y 2 ，∂z ∂y ＝2y x ＋y 2 ， 于是d z ＝1x ＋y 2 d x ＋2yx ＋y 2d y ， 因此d z|（1，1）＝12d x ＋d y . 26．原方程对应的齐次方程的特征方程为r 2－3r ＋2＝0， 特征根为r 1＝1，r 2＝2.故原方程对应的齐次方程的通解为y ＝C 1e x ＋C 2e 2x， y *＝1为原方程的特解，所以原方程的通解为y ＝C 1e x ＋C 2e 2x＋1.27．在极坐标系中，D 可表示为π4 ≤θ≤π2，0≤r ≤1.∬Dxy d x d y ＝∫π2 π4 d θ⎠⎛01 r 2cos θsin θ·r d r＝∫π2 π4 sin θd(sin θ)·⎠⎛01 r 3d r＝12 sin 2θ⎪⎪⎪⎪π2π4·14 r 4⎪⎪⎪10＝116 . 28．ex ＋1＝e ·e x＝∑n ＝0∞ e n ！ x n (－∞<x <＋∞).。
