4.离散信号的DTFT和DFT - 数字信号处理实验报告

实验四离散傅立叶变换DFT实验四离散傅里叶变换（DFT ）一实验目的（1）理解信号变换的基本概念（2）理解离散傅立叶变换的基本概念二实验原理及实例分析 1、离散傅里叶变换傅里叶变换是信号分析和处理的重要工具。

有限长序列作为离散信号的一种，在数字信号处理中占有着极其重要的位置。

对于有限长序列，离散傅立叶变换不仅在理论上有着重要的意义，而且有快速计算的方法－快速傅立叶变换FFT 。

所以在各种数字信号处理的运算方法中，越来越起到核心的作用。

1.1 傅里叶变换的几种形式1、非周期连续时间信号的傅里叶变换非周期连续时间信号)(t x 的傅立叶变换)(ωj X 可以表示为)(ωj X ＝dt e t x tj ?∞∞--ω)(逆变换为ωωπωd j x t x tj ?∞∞-=)(21)(在这里，ω是模拟角频率。

可以看到，时域的连续函数造成频域的非周期谱，时域的非周期性造成频域的连续谱。

结论：非周期连续时间函数对应于一非周期连续频域变换函数。

2、周期连续时间信号的傅里叶变换周期为T 的周期性连续时间信号)(t x 傅立叶变换是离散频域函数，可表示为-=22)(1)(T T tjm d e t x Tjm X ωωω 逆变换为ωωωd ejm X t x tjm m ∑∞-∞==)()(这就是经常称之为傅里叶级数的变换形式。

在这里，ω也是模拟角频率。

可以看到，时域的连续函数造成频率域的非周期谱，频域函数的离散造成时域函数的周期性。

结论：周期连续时间函数对应于一离散非周期频域变换函数。

3、非周期离散时间信号)(n x 的傅立叶变换)(ωj e X 可以表示为∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω)()(逆变换为ωπωππωd e e X n x n j j ?-=)(21)( 在这里，ω是数字频率，它和模拟角频率的关系为T Ω=ω。

可以看到，时域的取样对应于频域的周期延拓，而时域函数的非周期性造成频域的连续谱。

数字信号处理实验实验一信号、系统及系统响应1、实验目的认真复习采样理论、离散信号与系统、线性卷积、序列的z 变换及性质等有关内容；掌握离散时间序列的产生与基本运算，理解离散时间系统的时域特性与差分方程的求解方法，掌握离散信号的绘图方法；熟悉序列的z 变换及性质，理解理想采样前后信号频谱的变化。

2、实验内容a. 产生长度为500 的在[0,1]之间均匀分布的随机序列，产生长度为500 的均值为0 单位方差的高斯分布序列。

b. 线性时不变系统单位脉冲响应为h(n)=(0.9)nu(n)，当系统输入为x(n)=R10(n)时，求系统的零状态响应，并绘制波形图。

c. 描述系统的差分方程为：y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n)，其中x(n)为激励，y(n)为响应。

计算并绘制n=20,30,40,50,60,70,80,90,100 时的系统单位脉冲响应h(n)；计算并绘制n=20,30,40,50,60,70,80,90,100 时的系统单位阶跃响应s(n)；由h(n)表征的这个系统是稳定系统吗？d. 序列x(n)=(0.8)nu(n)，求DTFT[x(n)]，并画出它幅度、相位，实部、虚部的波形图。

观察它是否具有周期性？e. 线性时不变系统的差分方程为y(n)=0.7y(n-1)+x(n)，求系统的频率响应H(ejω)，如果系统输入为x(n)=cos(0.05πn)u(n)，求系统的稳态响应并绘图。

f. 设连续时间信号x(t)=e-1000|t|，计算并绘制它的傅立叶变换；如果用采样频率为每秒5000 样本对x(t)进行采样得到x1(n)，计算并绘制X1(ejω)，用x1(n)重建连续信号x(t)，并对结果进行讨论；如果用采样频率为每秒1000 样本对x(t)进行采样得到x2(n)，计算并绘制X2(ejω)，用x2(n)重建连续信号x(t)，并对结果进行讨论。

加深对采样定理的理解。

g. 设X1(z)=z+2+3z-1，X2(z)=2z2+4z+3+5z-1，用卷积方法计算X1(z)X2(z)。

三、离散傅立叶变换（DFT)---有限长序列的离散频谱表示1三、离散傅立叶变换（DFT) ----有限长序列的离散频谱表示从有限长序列的DTFT到DFT 从DFS到DFT DFT的性质21、从有限长序列的DTFT到DFT X (e ) = ∑ x ( n)e = X (Ω )jΩ N −1 n =0 − jΩn非周期信号的频谱都是频率的连续函数，无法用 计算机进行计算。

离散信号的DTFT，它是Ω的连续周期函数，尽 管在理论上有重要意义，但在计算机上实现有困 难。

为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅 里叶变换对，实现计算机的快速计算，这就是离 散傅里叶变换 DFT。

31 x ( n) = 2π∫2π0X (Ω)ejΩndΩ能量有限、时间长度为L的有限长序列的DTFT为X (Ω) = ∑ x(n)e − jΩnkΩ0 = k2π / N →Ω频率离散化L −1 2π ) = ∑ x(n)e − jk 2π n / N X (k N n=0n =0 L −1频率采样点数N已知，2π/N为定数X ( k ) = ∑ x ( n )en=0L −1− jk 2π n / NN点DFT是有限长序 列（L≤N)的DTFT 的N点均匀取样值， 也就是非周期序列 频谱的样值。

42、从DFS到DFTπ 1 N −1 1 N −1 − j 2N nk − % (k ) = % N ( n )e % N (n) wNnk XN = ∑x ∑x N n=0 N n=0 DFS: 2π N −1 N −1 j kn % (k )e N = X (k ) wnk % % x ( n) = XN∑k =0N∑k =0NN% 为了计算的方便，通常将1/N移到 xN (n)中，而且二者所具有的物理意义和性质都相同% X N (k ) =% ∑xn=0N −1N −1N( n )ejπ − j 2N nk1 % % x N ( n ) = ∑ X N ( k )e N k =02π kn N52、从DFS到DFT设DFS % xN (n) ←⎯⎯ X N (k ) → %,令RN(n) 为矩形 % ⎧ X N (k ), k = 0 ~ N − 1 序列 % X (k ) = RN (k ) X N (k ) = ⎨ 0, k = 其他 ⎩% ⎧ xN (n), n = 0 ~ N − 1 % x(n) = RN (n) xN (n) = ⎨ 0, n = 其他 ⎩DFT又可看作以 有限长序列x(n) 为一个周期，进 行周期延拓后所 形成的周期序列 xp(n)的离散频谱x(n)、X(k)分别称作X ( k ) = ∑ x ( n) wn=0 N −1 − nk N% % xN (n)、X N (k ) 的主值1 x ( n) = Nnk X (k ) wN ∑ k =0 N −1DFTIDFT6x p (n)−Nn0DFSX p (k )N2N−N 20x(n)0N 2NknNDFTX (k )0Nk7DFT小结DFT 是 DFS 的主值序列 DFS 是严格按傅立叶分析的概念得来的 DFT 只是一种借用形式，一种算法 用DFT 计算信号的频谱时 采样频率必须大于两倍的信号最高截止 频率 对周期信号要取一个整周期83、DFT的性质线性 对称性 圆周位移 圆周卷积9(1) 线性若DFT x1 (n) ←⎯⎯ X 1 (k ) →DFT x2 (n) ←⎯⎯ X 2 (k ) →如果x1(n)、x2(n) 如果x1(n)、x2(n) 长度不同，长度 长度不同，长度 短的序列要补 短的序列要补 零，使它与另一 零，使它与另一 序列长度相同 序列长度相同那么DFT ax1 (n) + bx2 (n) ←⎯⎯ aX 1 ( k ) + bX 2 ( k ) →1011(2)对称性若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性：若x(n)为虚序列，则X(k)具有共轭反对称性：(N-k)mod N 表示“N －k 对N 取模”，即：如果N －k 写成N-k=qN+l ，q 、l 为整数，，则有()()(()mod )X k X k X N k N ∗∗=−=−()()(()mod )X k X k X N k N ∗∗=−−=−−0l N ≤≤()mod N k N l−=12(3)圆周位移序列x(n)的圆周位移定义 n 0是位移值，R N (n)是矩形序列%00(()mod )()()()N N N x n n N R n x n n R n −=−圆周位移的概念n若)()()(k H k X k Y =17例6计算x 1(n)、x 2(n)的N 点圆周乘积，其中解：x 1(n)、x 2(n)的N 点DFT 为11200()()0N nk Nn N k X k X k w −−==⎧===⎨⎩∑其他12101()()0n N x n x n ≤≤−⎧==⎨⎩其他 因此，有2120()()()0k N X k X k X k =⎧===⎨⎩其他x 1(n)、x 2(n)的N 点圆周卷积是X(k)的反DFT 变换01()0n N N x n ≤≤−⎧=⎨⎩其他频域圆周卷积定理若19四、快速傅立叶变换（FFT）DFT 的计算量DFT 的特点FFT 的基本思想FFT 应用中的注意事项1 DFT22π222、DFT 的特点（3）由于DFT 计算量与N 成几何级数增长，可以将长序列分解成多个短序列信号，然后分别求各个短序列的DFT ，最后将它们组合，得到原序列的DFT 。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DTFT及IDTFT地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DTFT及IDTFT一、实验目的：通过本实验，加深对DTFT和IDFT的理解。

熟悉应用DTFT对典型信号进行频谱分析的方法。

掌握用MATLAB进行离散时间傅里叶变换及其逆变换的方法。

二、实验内容：（1）自己生成正弦序列（如矩形序列，正弦序列，指数序列等），对其进行频谱分析，观察其时域波形和频域的幅频特性。

记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。

矩形序列：程序：M=10;N=2*M+1;T=0.5;n=-4*M:4*M;x=[zeros(1,3*M),ones(1,N),zeros(1,3*M)];w=[-15:0.1:15]+1e-10;X=sin(0.5*N*w*T)./sin(0.5*w*T);subplot(1,3,1);stem(n,x,'.');axis([-20,20,-0.1,1.1]),grid onxlabel('n'),title('(a)序列幅度')subplot(1,3,2),plot(w,X),grid onxlabel('\Omega'),title('(b)幅频特性')subplot(1,3,3),plot(w,X),grid onv=axis;axis([-pi/T,pi/T,v(3),v(4)]);xlabel('\Omega'),title('(c)横轴放大后幅频特性')set(gcf,'color','w')正弦序列：程序:n=-10:10;x=sin(n*pi);k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(3,1,1);stem(n,x,'.k');title('x(n)=sin(πn)');subplot(3,1,2);plot(w/pi,magX,'.k');title('X(e^jw)幅度谱');subplot(3,1,3);plot(w/pi,angX,'.k');title('X(e^jw)相位谱');n=-10:10; x=sin(n*pi);k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(3,1,1);stem(n,x,'.k');title('x(n)=sin(πn)');subplot(3,1,2);plot(w/pi,magX,'.k');title('X(e^jw)幅度谱');subplot(3,1,3);plot(w/pi,angX,'.k');title('X(e^jw)相位谱');波形如下:指数序列：程序：n=-5:5;x=(-0.1).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX,'k');grid;axis([-2,2,0,15])xlabel('frequency in units of\pi');ylabel('｜x｜')gtext('Magnitde Part')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX,'k')/pi,grid;axis([-2,2,-4,4])xlabel('frequency in units of\pi');ylabel('radians\pi') gtext('Angle Part');2.对于理想的低通，高通滤波器，用 IDTFT 求出它的逆变换所对应得离散时间序列。