【金版学案】高中数学人教A版必修四练习：单元评估验收(一)(含答案解析)

评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135° 解析：因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.答案：A2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．2解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，所以8－00－（－4）＝8－（－4）－m，所以m ＝－6. 答案：C3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：由斜截式可得直线方程为y ＝－x －1，化为一般式即为x ＋y ＋1＝0. 答案：D4．已知点A(0，4)，B(4，0)在直线l 上，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －4＝0B ．x －y －4＝0C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝0解析：由截距式方程可得l 的方程为x 4＋y 4＝1，即x ＋y －4＝0. 答案：A5．已知直线l 1：(a －1)x ＋(a ＋1)y －2＝0和直线l 2：(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：因为l 1⊥l 2，所以(a －1)(a ＋1)＋2a ＋2＝0，所以a 2＋2a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：A6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．5x ＋4y ＋1＝0B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0解析：设所求直线上的任一点为(x ，y)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y)，因为点(x ，－y)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ＋4y ＋1＝0，故所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0.答案：A7．已知A(2，4)与B(3，3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析：由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段AB 中点⎝⎛⎭⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0. 答案：D8．直线l 过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.答案：C9．过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋y ＋3＝0或2x ＋y ＝0解析：当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－6)代入得k ＝－2，此时直线方程为2x ＋y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，将(3，－6)代入得a ＝－3，此时直线方程为x ＋y ＋3＝0.答案：D10．设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l 过点P(1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥1或k≤－3B ．－3≤k≤1C ．－1≤k≤3D ．以上都不对解析：如图所示，直线PB ，PA 的斜率分别为k PB ＝1， k PA ＝－3，结合图形可知k≥1或k≤－3.答案：A11．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，－16 B.⎝⎛⎭⎫12，－16 C.⎝⎛⎭⎫12，16 D.⎝⎛⎭⎫－12，16 解析：采用赋值法，令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝⎛⎭⎫12，－16，此即为直线所过的定点． 答案：B12．如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A ′(－2，0)两点间的距离．于是|A 1A ′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为________．解析：直线的斜率k ＝2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝2或m ＝3.但当m ＝2时，m 2－4＝0，直线的斜率不存在，此时倾斜角为90°舍去．所以m ＝3.答案：314．已知斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a ，7)，C(－1，b)三点，则a ，b 的值分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.答案：4，－315．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．解析：设所求的直线方程为x a ＋y －3＝1，则此直线与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，－3)，由两点间的距离公式解得a ＝±4，故所求的直线方程为x ±4＋y －3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝0.答案：3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝016．已知直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0相互垂直，且垂足为(1，p)，则m －n ＋p 的值为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以2m ＋4×(－5)＝0，解得m ＝10；又因为点(1，p)在l 1上，所以10＋4p －2＝0，即p ＝－2；又因为点(1，p)也在l 2上，所以2－5×(－2)＋n ＝0，即n ＝－12.所以m －n ＋p ＝20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0，(1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3（a －2）＝0，3a －1≠0，解得a ＝3，此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0.故所求距离为d ＝|1－9|9＋9＝423. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得点A 的坐标为(－1，0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6， 即顶点C 的坐标为(5，－6)．19.(本小题满分12分)如图所示，已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，所以E(3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1， 所以CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0得C(4，3)，所以|AC|＝|BC|＝2， AC ⊥BC ，所以S △ABC ＝12|AC|·|BC|＝2.20．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P 且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当斜率不存在时，方程x ＝2符合题意；当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y ＋1＝k(x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2.解得k ＝34. 所以直线方程为3x －4y －10＝0.所以适合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P ，且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线，易求其方程为2x －y －5＝0，且最大距离d ＝ 5.(3)由于原点到过点P(2，－1)的直线的最大距离为5，而3>5，故不存在这样的直线．21．(本小题满分12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；(2)证明：不论a 为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：不论a 为何值，直线恒过第四象限．(1)解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，成立． 所以a≤－1，故所求a 的取值范围为a≤－1.(2)证明：方程可整理成a(x －1)＋x ＋y ＋2＝0，当x ＝1，y ＝－3时方程a(x －1)＋x ＋y ＋2＝0对a ∈R 恒成立，因此，直线恒过点(1，－3)．(3)证明：由(2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－3)，因此，不论a 为何值，直线恒过第四象限．22．(本小题满分12分)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P 到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．解：如图①所示，设点B 关于l 的对称点为B′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；如图②所示，设点C 关于l 的对称点为C′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．图① 图②对于(1)，若P′是l 上异于P 的点，则|P′A|－|P′B|＝|P ′A|－|P ′B ′|<|AB ′|＝|PA|－|PB′|＝|PA|－|PB|；对于(2)，若P′是l 上异于P 的点，则|P′A|＋|P′C|＝|P ′A|＋|P ′C|>|AC ′|＝|PA|＋|PC′|＝|PA|＋|PC|.(1)设点B 关于l 的对称点B′的坐标为(a ，b)，则k BB ′·k l ＝－1，即3×b －4a＝－1，所以a ＋3b －12＝0①. 又由于线段BB′的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b ＋42，且中点在直线上， 所以3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0②. 联立①②得，a ＝3，b ＝3，所以B′(3，3)．于是直线AB′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5， 即此时所求点P 的坐标为(2，5)．(2)设点C 关于l 的对称点为C′，同理可求出C′的坐标为⎝⎛⎭⎫35，245.所以直线AC′的方程为19x ＋17y －93＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝019x ＋17y －93＝0，得⎩⎨⎧x ＝117，y ＝267，故此时所求点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫117，267.。

1.1.2 弧度制课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．23.设扇形的半径为R 扇形的面积 S ＝________一、选择题 1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝lr 终边的旋转方向 正数负数0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π°3.απR180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.]3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2α＝1.]4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.]6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25.9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π.10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

A 级 基础巩固一、选择题1．以下四种化简过程，其中正确的有( ) ①sin(360°＋200°)＝sin 200°； ②sin(180°－200°)＝－sin 200°； ③sin(180°＋200°)＝sin 200°； ④sin(－200°)＝sin 200°. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由诱导公式知①正确，②③④错误，故选B. 答案：B2．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )A.53 B ．－53C ．±53D ．－23解析：因为sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53.答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )A.35B ．－35C.45D ．－45解析：因为sin(π＋α)＝35，所以sin α＝－35.因为α为第三象限角，所以cos α＝－45.所以cos(π－α)＝－cos α＝45.答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α， 所以tan α＝m ； 所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13.答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.因为α是第四象限角，所以cos α>0， 故cos(α－2π)＝cos α＝ 1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是__________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2 三、解答题 9．计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋[cos 2π5＋cos(π－2π5)] ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5 ＝0.(2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°＋tan (－10°)＋sin 66°－sin (180°－66°) ＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin 66°＝0. 10．计算：(1)sin (－π3)＋2sin 43πsin 163π＋sin 23π；(2)sin 585°cos 1 290°＋cos (－30°)sin 210°＋tan 135°.解：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 43πsin 163π＋sin 23π＝－sin π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋43π＋sin 23π＝－32－2sin π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋32 ＝2sin 2π3＝32.(2)原式＝sin (360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°sin (180°＋30°)＋tan (180°－45°)＝sin 225°cos 210°－cos 30°sin 30°－tan 45° ＝(－sin 45°)·(－cos 30°)－cos 30°·sin 30°－1 ＝22×32－32×12－1 ＝64－34－1＝6－3－44. B 级 能力提升1．若sin (－α)＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos (π＋α)的值为( )A.53B ．－53 C ．±53D ．以上都不对解析：因为sin (－α)＝23，所以sin α＝－23.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝53. 所以cos (π＋α)＝－cos α＝－53.答案：B2．已知f (x )＝{sin πx ，x <0，f （x －1）－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________． 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.答案：－23．求3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π6·tan 13π6－cos 7π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－41π4的值．解：3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π6·tan 13π6－cos 7π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－41π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6π＋⎝⎛⎭⎪⎫－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6－cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3·tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6·tan π6－cos π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－3sin π6·tan π6＋cos π3·tan π4＝－3×12×33＋12×1＝0.。

评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋1x 2的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 答案：B2．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花( )A ．300 元B ．360 元C ．320 元D ．340 元 解析：由排序原理，反序和最小．所以最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)． 答案：C3．设a 1，a 2，a 3是数1，2，3的任一排列，b 1，b 2，b 3是数4，5，6的任一排列，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的取值范围是( )A ．[28，32]B ．[28，44]C ．[32，44]D ．[44，56]解析：1，2，3与4，5，6反序和是28.挨次和是32，故a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3最小是反序和28，最大是挨次和32.选A.答案：A4．设α，β均为锐角，则1sin 2α＋4cos 2αsin 22β的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．1 D ．9解析：(sin 2α＋cos 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2α＋4cos 2αsin 22β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2β2，由于β为锐角，所以当sin 2β＝1时取最小值32＝9.选D. 答案：D5．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：2x ＋y ＝2×2x ＋1·y ≤（2）2＋12·（2x ）2＋y 2＝3×2x 2＋y 2＝ 3.当且仅当⎩⎨⎧2x ＝2y ，2x 2＋y 2＝1即x ＝y ＝33时，等号成立．答案：C6．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z 的值是( )A.2147B.3147C.4147D.147解析：由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.由于x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.答案：B7．已知a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2 C.12 D ．4解析：a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤a 21＋a 22＋…＋a 2n ·x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1.故应选A.答案：A8．已知x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 23＝2，则x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3的最大值是( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3解析：由于x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 23＝2，所以(x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3)2≤(x 21＋x 22＋x 23)(y 21＋y 22＋y 23)＝1×2＝2，所以x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3≤ 2.当x 1y 1＝x 2y 2＝x 3y 3＝22时，取“＝”，故选C. 答案：C9．已知x ，y ，z ＞0，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：x ＋y 2＋z 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y ·y2＋3z ·z 32＝9. 所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3min ＝9.故应选D. 答案：D10．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2与a 1＋a 2＋a 3大小为( ) A ．＞ B ．≥ C ．＜ D ．≤解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：挨次和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 答案：B11．若a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．9解析：由柯西不等式可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ·b a ＋b c ·c b ＋c a ·a c 2＝32＝9. 答案：D12．设x 1，x 2，…，x n 取不同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x nn 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．1＋12＋13＋…＋1nD ．1＋122＋132＋…＋1n2解析：设a 1，a 2，…，a n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列，且满足a 1＜a 2＜…＜a n ，故a 1≥1，a 2≥2，…，a n ≥n .又由于1＞122＞132＞…＞1n 2，所以x 11＋x 222＋x 332＋…＋x n n 2≥a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .故应选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2·4－2x ＋2x －3≤[（2）2＋1]（4－2x ＋2x －3）＝ 3. 当且仅当x ＝53时，等号成立．答案：314．设a ，b ＞0，若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为________． 解析：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，即25≥(a ＋2b )2. 所以(a ＋2b )max ＝5. 答案：515．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝9，则x ＋y ＋z 的最大值是________． 解析：(x ＋y ＋z )2≤(12＋12＋12)·(x ＋y ＋z )＝3×9＝27.所以x ＋y ＋z ≤3 3.答案：3 316．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是___________．解析：S △＝abc 4R ＝abc 4＝14，即abc ＝1，所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，t 2＝(ab ＋bc ＋ca )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝s 2，又a ，b ，c ＞0， 所以s ≤t .a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 但此时S △＝34≠1，冲突． 故等号不成立，即s ＜t . 答案：s ＜t三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2＋y 2＋z 2＝16，求a ·b 的最大值．解：由于a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )， 所以a ·b ＝x －2z .由柯西不等式[12＋0＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z )2⇒5×16≥(x －2z )2⇒－45≤x －2z ≤45⇒－45≤a ·b ≤45，故a ·b 的最大值为4 5.18．(本小题满分12分)已知0＜a≤b≤c，求证c2a＋b＋b2a＋c＋a2b＋c≥a2a＋b＋b2b＋c＋c2c＋a.证明：由于0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，所以1a＋b≥1c＋a≥1b＋c＞0，又0＜a2≤b2≤c2，所以c2a＋b＋b2a＋c＋a2b＋c是挨次和，a2a＋b＋b2b＋c＋c2c＋a是乱序和，由排序原理可知挨次和大于等于乱序和，即不等式c2a＋b＋b2a＋c＋a2b＋c≥a2a＋b＋b2b＋c＋c2c＋a成立．19．(本小题满分12分)已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.(1)求1x＋1y＋1z的最小值；(2)证明：3≤x2＋y2＋z2＜9.(1)解：由于x＋y＋z≥33xyz＞0，1x＋1y＋1z≥33xyz＞0，所以(x＋y＋z)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y＋1z≥9，即1x＋1y＋1z≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时，1x＋1y＋1z取得最小值3.(2)证明：x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋z2＋（x2＋y2）＋（y2＋z2）＋（z2＋x2）3≥x2＋y2＋z2＋2（xy＋yz＋zx）3＝（x＋y＋z）23＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)＜0，所以3≤x2＋y2＋z2＜9.20．(本小题满分12分)设不等式|x－2|＞1的解集与关于x的不等式x2－ax＋b＞0的解集相同．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)＝a x－3＋b5－x的最大值，以及取得最大值时x的值．解：(1)不等式|x－2|＞1的解集为{x|x＜1或x＞3}，所以，不等式x2－ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，所以a＝4，b＝3.(2)函数的定义域为[3，5]，明显有f(x)＞0，由柯西不等式可得：f(x)＝4x－3＋35－x≤42＋32·（x－3）2＋（5－x）2＝52，当且仅当45－x＝3x－3时等号成立，即x＝10725时，函数取得最大值5 2.21．(本小题满分12分)(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，求a的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：(1)由于|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|＜a 的解集不是空集，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x 4＋5·y 5＋2·z 22＝(x ＋y ＋z )2， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是[－5，5]．22．(本小题满分12分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1. 证明：由于x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )．又⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n (n ＋1)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )]≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝1n 时，等号成立．所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.。