高考数学-三角函数的图像与性质导学案-新人教版

山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.4 三角函数的图象和性质小结导学案（无答案）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.4 三角函数的图象和性质小结导学案（无答案）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

4 三角函数的图象和性质【学习目标】1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间），（22-ππ内的单调性．【新知自学】知识梳理：1．周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f（x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f（x）的最小正周期．2函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域x∈R x∈Rx∈R且x≠错误!＋kπ,k∈Z值域__________________单调性在______上递增，k∈Z;在______上递减，k∈Z在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z在______上递增，k∈Z最值x＝________(k∈Z)时，y max＝1；x＝________（k∈Z）时，y min＝－1x＝________（k∈Z)时,y max＝1;x＝__________（k∈Z)时，y min＝－1无最值奇偶性________________________对称性对称中心__________________对称轴__________无对称轴最小正周期__________________对点练习:1、函数y ＝cos 错误!,x ∈R （ ）．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中,在错误!上是增函数的是（ ）． A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x3．函数y ＝cos 错误!的图象的一条对称轴方程是( ）． A ．x ＝－错误! B ．x ＝－错误!C ．x ＝π8D ．x ＝π4．函数f （x ）＝tan ωx (ω＞0）的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为错误!，则f 错误!的值是（ ）．A ．0B ．1C ．－1D ．错误!5．已知函数y ＝sin x 的定义域为［a ，b ]，值域为错误!,则b －a 的值不可能是（ )． A ．错误! B ．错误! C ．π D ．错误! 【合作探究】典例精析:一、三角函数的定义域与值域 例1、（1)求函数y ＝lg sin 2x ＋错误!的定义域．(2）求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x ｜≤π4的最大值与最小值．规律总结：1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值）的题目一般常用以下方法:（1)利用sin x，cos x的值域；（2）化为y＝A sin（ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出值域；（3）换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值)问题．变式练习1:(1)求函数y＝sin x－cos x的定义域．(2)已知函数f（x)＝cos错误!＋2sin错误!·sin错误!，求函数f(x）在区间错误!上的最大值与最小值．二、三角函数的单调性例2、（1)已知函数f（x)＝2sin（ωx＋φ）,x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x＝错误!时，f(x)取得最大值,则（)．A．f（x)在区间［－2π，0］上是增函数B．f（x）在区间［－3π，－π］上是增函数C．f(x)在区间[3π,5π］上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π］上是减函数（2）设a∈R，f(x)＝cos x（a sin x－cos x）＋cos2错误!满足f错误!＝f（0），求函数f （x）在错误!上的最大值和最小值．规律总结：1．熟记y＝sin x,y＝cos x，y＝tan x的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．2．求形如y＝A sin(ωx＋φ）＋k的单调区间时,只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把ω化为正数．变式练习2:（1）若函数y＝2cosωx在区间［0,错误!]上递减，且有最小值1,则ω的值可以是( ) A。

一、预习指导
1.正弦函数与余弦函数的性质：
(1)定义域： (2)值域： 对于sin y x =：当且仅当x = 时， max y = ；
当且仅当x = 时，min y = ；
对于cos y x =；当且仅当x = 时，max y = ；
当且仅当x = 时，min y = 。

思考：
正、余弦函数的图像的这些性质可以从单位圆中的三角函数线得出吗？ 二、典型例题
例2.不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）)7sin(π
-与)5
sin(π
-
（2）π74
cos 与π8
5cos
例1.求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合。

（1）3
cos x y =
（2）x y 2sin 2-=
例3.求函数sin(2)3
y x π
=+的单调增区间。

思考：()f x sin(2)3
y x π
=-+的单调增区间怎样求呢？
例4、求下列函数的对称轴、对称中心：
（1）2sin()33x y π=+ （2）1cos(3)126
y x π
=-+
【思考】1.求下列函数的定义域： （1）x y sin =
； （2）1
sin 1
y x =
+；
（3)*lgsin y x ．
2..求下列函数的值域： （1）1sin sin 2
-+=x x y ； （2）21sin 1y x =+ ； （3）sin sin 2
x
y x =+。

§1.4.3正切函数的图像与性质课前预习学案一、预习目标利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质二、预习内容1.画出下列各角的正切线：2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”4.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域： 值域： 最值： 渐近线： 周期性： 奇偶性 单调性： 图像特征： 三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。

二、学习过程例1.讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质 变式训练1. 求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期例2.求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2. y 例3. 比较tan 27π与tan 107π的大小 变式训练3. tan 65π与tan (－135π)三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测一、选择题1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A) 32π (B) 2π (C)3π (D)6π 2.函数)4ta n (x y -=π的定义域为( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 二、填空题4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.5.给出下列命题:（1）函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 三、解答题6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域课后练习与提高一、选择题1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<-B ．1317tan()tan()45ππ->-C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3、若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈二、填空题 4、函数tan 2()tan xf x x=的定义域为 .5、函数y =的定义域为 . 三、解答题6、 函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1.4.3正切函数的图象与性质【学习目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质.【学习重点】正切函数图像与性质 【基础知识】正切函数图像：1.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：2.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”正切函数性质： 1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2ππ+−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈，2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T . 结论：)tan(ϕω+=x y 的周期为||ωπ=T 4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数. 5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 【例题讲解】例1.（1）比较tan1670与tan1730的大小; （2）比较⎪⎭⎫⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小.例2 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质.例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+变式训练1：求函数3tan()24x y π=-+的单调区间.例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π=+变式训练2：求解13tan()24y x π=+的周期.例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.【达标检测】1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π 2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0,2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是( ) (A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域【问题与收获】参考答案例1.解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数， ∴tan1670<tan1730 (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 又：20,tan 0,4522y x ππππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭在内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 例2 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域： R ; 它是非奇非偶函数;在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数; 令f(x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan [(x+π)+4π]=f(x+4π) 因此，函数f(x)的周期是π. 例3 解：1,3tan .24u x y u π=+=令那么 124u x π=+是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈1:24u x π∴=+由得12242k x k πππππ-<+<+；13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222k k k Z ππππ-+∈（，）.变式训练1：解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ=--,tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的单调递减区间为3(2,2).22k k k Z ππππ-+∈ 例4 解：()3tan(2)4f x x π=+3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++(),2f x π=+2T π∴=周期.变式训练2： 解：1()3tan()24f x x π=+13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2),f x π=+2.T π∴=周期（||Tπω=周期） 例5解：令u=3x-3π,则y=tanu ，由u ≠2k k Z ππ+∈可得：5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，， y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3π], 所以，y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k ππππ-<<+可以得到5()318318k k x k Z ππππ-<<+∈， ∴y=tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)，∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f (x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π. 拓展训练： 1.C 2.D 3.C 4. tan2<tan3<t an1 5.(1)(4)(5)6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。