独立随机变量和的分布

2.2.2 事件的独立性自主预习·探新知情景引入在一次有关“三国演义”的知识竞赛中,三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%,“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%,如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛,各选手独立答题,不得商量,团队中只要有一人答出即为该组获胜．试问：哪方获胜的可能性大？新知导学相互独立事件1．概念(1)设A,B为两个事件,若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即__P(B|A)＝P(B)__,则称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做__相互独立事件__．(2)对于n个事件A1,A2,…,A n,如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响,则称n个事件A1,A2,…,A n相互独立．2．性质(1)如果事件A与B相互独立,那么事件A与__B__,A与__B__,__A__与__B__也都相互独立．(2)若事件A与B相互独立,则P(A|B)＝__P(A)__,P(A∩B)＝__P(A)×P(B)__．(3)若事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于__每个事件发生的概率积__,即P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．并且上式中任意多个事件A i换成其对立事件后等式仍成立．预习自测1．(2020·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次,若两人投中的概率都是0.7,则恰有一人投中的概率是( A )A ．0.42B ．0.49C ．0.7D ．0.91[解析] 设甲投篮一次投中为事件A ,则P (A )＝0.7, 则甲投篮一次投不中为事件A ,则P (A )＝1－0.7＝0.3, 设乙投篮一次投中为事件B ,则P (B )＝0.7,则乙投篮一次投不中为事件B ,则P (B )＝1－0.7＝0.3, 则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A ． 2．国庆节放假,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是13、14、15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( B )A ．5960B ．35C ．12D ．160[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A 、B 、C ,则P (A )＝13,P (B )＝14,P (C )＝15,P (A )＝23,P (B )＝34,P (C )＝45,由于A ,B ,C 相互独立,故A ,B ,C 也相互独立,故P (A B C )＝23×34×45＝25,因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35． 3．已知A 、B 是相互独立事件,且P (A )＝12,P (B )＝23,则P (A B )＝__16__；P (A B )＝__16__．[解析] ∵A 、B 是相互独立事件, ∴A 与B ,A 与B 也是相互独立事件． 又∵P (A )＝12,P (B )＝23,故P (A )＝12,P (B )＝1－23＝13,∴P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16；P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16．4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__．[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶事件独立性的判断典例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生,2名女生；乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解析] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为58,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为47,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为57.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点,B ：出现3点或6点,则A ＝{2,4,6},B ＝{3,6},AB ＝{6}, ∴P (A )＝36＝12,P (B )＝26＝13,P (AB )＝16,∴P (AB )＝P (A )·P (B ), ∴事件A 与B 相互独立．『规律总结』 (1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法,较准确,因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件．┃┃跟踪练习1__■一个家庭中有若干个小孩,假设生男孩和生女孩是等可能的,设A ＝{一个家庭中既有男孩,又有女孩},B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}. 对下列两种情况讨论事件A 与B 的独立性．(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．[解析] (1)有两个小孩的家庭,对应的样本空间Ω＝{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},有4个基本事件,每个基本事件的概率均为14,这时A ＝{(男,女),(女,男)},B ＝{(男,男),(男,女),(女,男)},AB＝{(男,女),(女,男)},于是P (A )＝12,P (B )＝34,P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B ),所以事件A ,B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω＝{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},每个基本事件的概率均为18,这时A 中有6个基本事件,B 中有4个基本事件,AB 中含有3个基本事件,于是P (A )＝68＝34,P (B )＝48＝12.P (A )·P (B )＝38,即P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立,从而事件A 与B 是相互独立的． 命题方向❷求相互独立事件的概率典例2 (2020·鹤岗高二检测)小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[解析] 用A ,B ,C 分别表示这三列火车正点到达的事件,则P (A )＝0.8,P (B )＝0.7,P (C )＝0.9,所以P (A )＝0.2,P (B )＝0.3,P (C )＝0.1．(1)由题意得A ,B ,C 之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．『规律总结』 与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地,已知两个事件A ,B ,它们的概率分别为P (A ),P (B ),那么： (1)A ,B 中至少有一个发生为事件A ＋B ； (2)A ,B 都发生为事件AB ； (3)A ,B 都不发生为事件A B ； (4)A ,B 恰有一个发生为事件A B ＋A B ．(5)A ,B 中至多有一个发生为事件A B ＋A B ＋A B ． 它们之间的概率关系如表所示：┃┃跟踪练习2__■(2020·浙江杭州高级中学检测)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标概率； (2)求甲射击4次,恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击,求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．[解析] (1)记事件A 表示“甲击中目标”,事件B 表示“乙击中目标”． 依题意知,事件A 和事件B 相互独立,因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12．(2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4),并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ,则C ＝A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4,且A 1A 2A 3A 4与A 1A 2A 3A 4是互斥事件． 由于A 1,A 2,A 3,A 4之间相互独立,所以A i 与A j (i ,j ＝1,2,3,4,且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝23,故P (C )＝P (A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4) ＝(23)3×13＋13×(23)3＝1681． (3)记事件B i 表示“乙第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4),并记事件D 表示“乙在第4次射击后终止射击”,则D ＝B 1B 2B 3B 4∪B 1B 2B3B 4,且B 1B 2B3B 4与B 1B 2B 3B 4是互斥事件．由于B 1,B 2,B 3,B 4之间相互独立,所以B i 与B j (i ,j ＝1,2,3,4,且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (B i )＝34(i ＝1,2,3,4),故P (D )＝P (B 1B 2B3B 4∪B 1B 2B3B 4)＝P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4) ＝(34)2×(14)2＋34×(14)3＝364． 命题方向❸相互独立事件的综合应用典例3 (2020·西安高二检测)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列． [解析] (1)设事件A 表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手． 观众甲选中3号歌手的概率为23,观众乙未选中3号歌手的概率为1－35．所以P (A )＝23×(1－35)＝415．因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为415．(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3． 观众甲选中3号歌手的概率为23,观众乙、丙选中3号歌手的概率为35．当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X ＝0, P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475．当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X ＝1,P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×35×(1－35)＋(1－23)×(1－35)×35＝8＋6＋675＝2075．当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X ＝2,P (X ＝2)＝23×35×(1－35)＋(1－23)×35×35＋23×(1－35)×35＝12＋9＋1275＝3375．当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X ＝3, P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875．X 的分布列如下表：『规律总结』 概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A )＝1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解．┃┃跟踪练习3__■某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)；(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率．[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”；则C A 1与C B 1相互独立,C A 2与C B 2相互独立,C B 1与C B 2互斥,C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2． P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2),由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2的频率分别为1620,420,1020,820,故P (C A 1)＝1620,P (C A 2)＝420,P (C B 1)＝1020, P (C B 2)＝820,所以P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48．学科核心素养正难则反的思想的应用正难则反的思想在求解概率问题中应用广泛,尤其是解概率问题的综合题中,出现“至少”或“至多”等事件的概率求解问题,如果从正面考虑,它们是诸多事件的和或积,求解过程繁杂,而且容易出错,但如果考虑“至少”或“至多”事件的对立事件往往会简单,其概率很容易求出,此时可逆向分析问题,先求出其对立事件的概率,再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概率．典例4三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是：第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,求乙队连胜四局的概率．[思路分析]乙队每局胜利的事件是相互独立的,可由其公式计算概率．[解析]设乙队连胜四局为事件A,有下列情况：第一局中乙胜甲(A1),其概率为1－0.4＝0.6,第二局中乙胜丙(A2),其概率为0.5,第三局中乙胜甲(A3),其概率为1－0.4＝0.6,第四局中乙胜丙(A4),其概率为0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62·0.52＝0.09．『规律总结』(1)求复杂事件的概率一般可分三步进行：①列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系,列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．(2)直接计算符合条件的事件个数较复杂,可间接地先计算对立事件的个数,求得对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率．┃┃跟踪练习4__■在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率．[解析]如图所示,分别记这段时间内开关J A,J B,J C能够闭合为事件A,B,C．由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率乘法公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027,于是这段时间内至少有1个开关能够闭合,从而使线路能正常工作的概率是1－P (A B C )＝1－0.027＝0.973．易混易错警示因混淆独立事件和互斥事件而致错典例5 设事件A 与B 相互独立,两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14,求事件A 和事件B 同时发生的概率．[错解] ∵A 与B 相互独立,且只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14,∴P (A )＝P (B )＝14,∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝14×14＝116．[正解] 在相互独立事件A 和B 中,只有A 发生即事件A B 发生,只有B 发生即事件A B 发生．∵A 和B 相互独立,∴A 与B ,A 和B 也相互独立．∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝14,① P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·P (B )＝14.② ①－②得P (A )＝P (B )．③联立①③可解得P (A )＝P (B )＝12.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×12＝14．[误区警示] 在A 与B 中只有A 发生是指A 发生和B 不发生这两个事件同时发生,即事件A B 发生．课堂达标·固基础1．下列事件A ,B 是相互独立事件的是( A )A ．一枚硬币掷两次,A ＝“第一次为正面”,B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A ＝“第一次摸到白球”,B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子,A ＝“出现点数为奇数”,B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1 000小时”,B ＝“一个灯泡能用2 000小时”[解析] 把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球,显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C,其结果具有唯一性,A ,B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A ．2．已知A ,B 是两个相互独立事件,P (A ),P (B )分别表示它们发生的概率,则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( C )A ．事件A ,B 同时发生B ．事件A ,B 至少有一个发生C ．事件A ,B 至多有一个发生D ．事件A ,B 都不发生[解析] P (A )P (B )是指A ,B 同时发生的概率,1－P (A )P (B )是A ,B 不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A ,“骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( C )A ．512B ．12C ．712D ．34[解析] 由题意P (A )＝12,P (B )＝16,事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712． 4．甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球．从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为__12__． [解析] 若都取到白球,P 1＝812×612＝13,若都取到红球,P 2＝412×612＝16, 则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13＋16＝12． 5．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14.求： (1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率．[解析] 记事件A 为“甲独立地译出密码”,事件B 为“乙独立地译出密码”．(1)两个人都译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112．(2)两个人都译不出密码的概率为P(A B)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－13)(1－14)＝12．(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出,乙译出甲译不出, 即A B＋A B,∴P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)·P(B)＋P(A)P(B)＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512．(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码,∴其概率为1－P(AB)＝1－112＝1112．(5)至少一人译出密码的对立事件为两个都没有译出密码, ∴其概率为1－P(A B)＝1－12＝12．。

第60讲：独立事件及随机变量的概率分布一、课程标准1、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的概率分布列．2、理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3、理解随机变量的概率分布，掌握0－1分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题二、基础知识回顾1. 事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，1－p n－k(k＝0，1，2，…，n)．事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k()2. 随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．3. 离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表的概率分布列，的概率分布，P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的概率分布．(2)离散型随机变量概率分布的性质①p i≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1．4. 常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为其中p ＝P(X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件“X ＝r ”发生的概率为P(X ＝r)＝C r M C n －r N －M C n N，r ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列为超几何分布．(3)二项分布X n5. (1)明确随机变量X 取哪些值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)列成表格．三、自主热身、归纳总结1、某同学通过英语听力测试的概率为12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值是( )A. 3 B . 4 C . 5 D . 6 【答案】B【解析】由题意可得，1－C 0n ·⎝⎛⎭⎫1－12n >0.9，求得⎝⎛⎭⎫12n <0.1，∴n ≥4.故选B .2、某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56，45，35，12，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )A .725 B . 25 C . 1225 D . 1425【答案】D【解析】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以P 1＝56×45×35＝25，第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以P 1＝56×45×(1－35)×35＝425.所以该选手能进入第四关的概率为56×45×35＋56×45×⎝⎛⎭⎫1－35×35＝1425.故选D .3、某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A.15 B.25 C.35 D.710【答案】D【解析】从5名干部中随机选取2人有C 25＝10(种)选法，其中只选中A 没选中B 有C 13＝3(种)选法，只选中B 没选中A 有C 13＝3(种)选法，A 和B 均选中有1种选法，所以所求概率P ＝3＋3＋110＝710，故选D. 4、(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )A.35 B.45 C.720 D.1320【答案】D【解析】依题意，从口袋中任取3个球，共有C 36＝20(种)不同的取法，①当取得三个球颜色相同，则有C 33＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有C 13C 12C 11＝6种取法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－1＋620＝1320.5、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率是___．第5题图【答案】18【解析】设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯泡甲亮应为事件ACB －.由题设知A ，C ，B －之间彼此独立，且P(A)＝P(B －)＝P(C)＝12，所以P(AB －C)＝P(A)P(B －)P(C)＝18.四、例题选讲考点一 互斥事件、对立事件概率公式的应用例1、某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【解析】(1)易知P (A )＝11 000，P (B )＝1100，P (C )＝120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . 因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.变式1、某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.则P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. 变式2、A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．【解析】(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C 班抽8个，故抽样比k ＝20100＝15，故C 班有学生8÷15＝40人． (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，而且这些情况是等可能的．当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P ＝2＋3＋3＋3＋440＝38.方法总结：考点二 相互独立事件例2 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．【解析】(1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球有C 2n ＝n (n －1)2(种)结果，从袋中任取2个球共有C 27＝21(种)结果．由题意知17＝n (n －1)221＝n (n －1)42，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)， 即袋中原有3个白球．(2)记“取球2次即终止”为事件A .则P (A )＝C 14C 13A 27＝27.(3)记“甲取到白球”为事件B .“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5.因为甲先取，所以甲只能在第1次，第3次和第5次取球．所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝C 13C 17＋A 24C 13A 37＋A 44C 13A 57＝37＋635＋135＝2235.变式1、一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η＝1的概率． 【解析】(1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(ABC －)＋P(AB －C)＋P(A －BC)＝34×23×12＋34×13×12＋14×23×12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34×23×12＝14.所以该网民至少购买2种商品的概率为P ＝1124＋14＝1724.答：该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0，1，2，3.由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，又P(η＝0)＝P(A －B －C －)＝14×13×12＝124，故P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.答：η＝1时的概率为14.变式2、甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的概率分布．【解析】(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则A ＝A 1·A 2，所以P(A)＝P(A 1·A 2)＝P(A 1)P(A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0，1，2.设A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X ＝0)＝P(B 1·B 2·A 3)＝P(B 1)P(B 2) P(A 3)＝18，P(X ＝2)＝P(B －1·B 3)＝P(B －1)P(B 3)＝14，P(X ＝1)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝2)＝1－18－14＝58，所以X 的概率分布如下表：方法总结： (1)确定每个事件是相互独立的；(2)确定每个事件会同时发生；(3)先求出每个事件发生的概率，再求其积． 考点三 离散型随机变量的概率分布例3 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3个球所得分数之和，求X 的概率分布．【解析】(1)X 的可能取值为3，4，5，6.P(X ＝3)＝C 35C 39＝542，P(X ＝4)＝C 25C 14C 39＝1021，P(X ＝5)＝C 15C 24C 39＝514，P(X ＝6)＝C 34C 39＝121.故X 的概率分布如下：变式、从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成的三位数各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率； (2)求X 的概率分布及数学期望．【解析】(1)记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48.X 是奇数的个数是28，所以P(A)＝2848＝712，即X 是奇数的概率为712.(2)X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9.当X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X ＝9)＝648＝18.所以X 的概率分布如下表：所以E(X)＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254.方法总结：离散型随机变量概率分布的求法：(1)写出X 的所有可能取值(注意准确理解X 的含义，以免失误)． (2)利用概率知识求出X 取各个值的概率．(3)列表并检验，写出概率分布． 考点四 超几何分布与二项分布例4 袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X 的概率分布，并求至少有一个红球的概率．【解析】由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3，X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P(X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528.同理P(X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P(X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P(X ＝3)＝C 33C 38＝156. 所以X 的概率分布如下表：所以至少有一个红球的概率为P(X ≥1)＝1－528＝2328.例5 从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．【解析】由题意知ξ～⎝⎛⎭⎫3，25，则P ()ξ＝0＝ C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125，P ()ξ＝1＝C 13⎝⎛⎭⎫251⎝⎛⎭⎫352＝54125，P ()ξ＝2＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫351＝36125，P ()ξ＝3＝ C 33⎝⎛⎭⎫253＝8125.所以ξ的概率分布如下表：变式1、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的概率分布．【解析】(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)＝C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝18. (2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ，∵乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝532，乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝532，所以P(B)＝P 1＋P 2＝516. (3)设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7，P(X ＝4)＝2C 44⎝⎛⎭⎫124＝18， P(X ＝5)＝2C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝14， P(X ＝6)＝2C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝516， P(X ＝7)＝2C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝516. 所以比赛局数X 的概率分布如下表：方法总结：求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M ，N ，n ，k 的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．利用二项分布解决实际问题的关键在于，在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．五、优化提升与真题演练1、（2020·合肥一六八中学测试题）如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是（ ）A ．0．729B ．0．8829C ．0．864D ．0．9891【答案】B【解析】电流能通过12,A A 的概率为0.90.90.81⨯=，电流能通过3A 的概率为0.9，故电流不能通过12,A A 也不能通过3A 的概率为()()10.8110.90.019--=，所以电流能通过系统123,,A A A 的概率为10.0190.981-=，而电流能通过4A 的概率为0.9，所以电流能在,M N 之间通过的概率为()10.0190.90.8829-⨯=，故选B ．2、（2020·山东青岛二中开学考试）掷一枚硬币两次，记事件A =“第一次出现正面”，B =“第二次出现反面”，则有（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．()()()⋃=+P A B P A P B C ．A 与B 互斥 D ．1()2P AB =【答案】A【解析】对于选项A ，由题意得事件A 的发生与否对事件B 的发生没有影响，所以A 与B 相互独立，所以A 正确．对于选项B ，C ，由于事件A 与B 可以同时发生，所以事件A 与B 不互斥，故选项B,C 不正确． 对于选项D ，由于A 与B 相互独立，因此1()()()4P AB P A P B ==，所以D 不正确． 故选A ．3、（2020·江苏省南京外国语高三期末）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128【答案】ACD【解析】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题；B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题.故选：ACD.4、（2020·河北易县中学高三月考）某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________. 【答案】25. 【解析】记“第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ， 则1()2P A =，1()5P AB =， 所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为()2()()5P AB P B A P A ==.故答案为255、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A ．游客至多游览一个景点的概率14B ．()328P X == C ．()1424P X == D ．()136E X =【答案】ABD【解析】记该游客游览i 个景点为事件i A ，0,1i =， 则()0211111111322224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3211321211511113232224P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⋅⋅-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以游客至多游览一个景点的概率为()()0115124244P A P A +=+=，故A 正确； 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4;()01(0)24P X P A ===， ()15(1)24P X P A ===，213211(2)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭2232113113228C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；23211(3)1322P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭33311713224C ⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3211(4)3212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故C 错误；数学期望为：1597()012324242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯2134246+⨯=，故D 正确， 故选：ABD.6、（2020届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13. （1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资） 【解析】（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ,则13,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭, 因此()1213121241=33279P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）①当1n =时,设该企业每月的实际获利为1Y 万元, 若X 0=,则1123135Y =⨯-=； 若1X =,则1122+81131Y =⨯⨯-=；若2X =,则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=； 若3X =,则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=；又()030312803327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()33312133327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此时,实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ②当2n =时,设该企业每月的实际获利为2Y 万元, 若X 0=,则2123234Y =⨯-=； 若1X =,则2122+81230Y =⨯⨯-=； 若2X =,则2121+82226Y =⨯⨯-=； 若3X =,则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=；28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ 因为12EY EY <,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在1n =与2n =之中选其一,应选用2n =。

独立同分布随机变量的和与联合概率分布独立同分布随机变量的和是一个重要的随机变量，对于它的求解可以用到联合概率分布的知识。

若有n个独立同分布随机变量，它们的概率密度函数都相同，且每个变量取值的概率独立于其他变量的取值，则它们的和也是一个随机变量，其概率密度函数可以通过联合概率分布来求解。

具体而言，可以通过计算每个随机变量的概率密度函数的卷积来得到随机变量和的概率密度函数。

同时，我们也可以通过联合概率分布来得到随机变量和的分布函数，进而计算其期望和方差等统计量。

在实际应用中，独立同分布随机变量的和在很多情况下都会出现，例如在金融领域中的资产组合，也可以用到这个知识点来进行建模和分析。

因此，深入理解独立同分布随机变量的和和联合概率分布的相关知识，对于统计学和概率论的学习和应用都具有重要意义。

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第60讲：独立事件及随机变量的概率分布一、课程标准1、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的概率分布列．2、理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3、理解随机变量的概率分布，掌握0－1分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题二、基础知识回顾1. 事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k()1－p n－k(k＝0，1，2，…，n)．2. 随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．3. 离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表的概率分布列，的概率分布，P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的概率分布．(2)离散型随机变量概率分布的性质①p i≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1．4. 常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X＝r”发生的概率为P(X＝r)＝C r M C n－r N－MC nN，r＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布．(3)二项分布X n5. (1)明确随机变量X 取哪些值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)列成表格． 三、自主热身、归纳总结1、某同学通过英语听力测试的概率为12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是( )A. 3 B . 4 C . 5 D . 62、某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56，45，35，12，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为( )A . 725B . 25C . 1225D . 14253、某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( )A.15B.25C.35D.7104、(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是( )A.35B.45C.720D.13205、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率是___．第5题四、例题选讲考点一互斥事件、对立事件概率公式的应用例1、某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．变式1、某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)变式2、A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．方法总结：考点二 相互独立事件例2 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．变式1、一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η＝1的概率．变式2、甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的概率分布．方法总结： (1)确定每个事件是相互独立的；(2)确定每个事件会同时发生；(3)先求出每个事件发生的概率，再求其积．考点三 离散型随机变量的概率分布例3 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3个球所得分数之和，求X 的概率分布．变式、从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成的三位数各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率； (2)求X 的概率分布及数学期望．方法总结：离散型随机变量概率分布的求法：(1)写出X 的所有可能取值(注意准确理解X 的含义，以免失误)． (2)利用概率知识求出X 取各个值的概率． (3)列表并检验，写出概率分布． 考点四 超几何分布与二项分布例4 袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X 的概率分布，并求至少有一个红球的概率．例5 从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．变式1、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的概率分布．方法总结：求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M ，N ，n ，k 的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．利用二项分布解决实际问题的关键在于，在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布． 五、优化提升与真题演练1、（2020·合肥一六八中学测试题）如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是（ ）A ．0．729B ．0．8829C ．0．864D ．0．98912、（2020·山东青岛二中开学考试）掷一枚硬币两次，记事件A =“第一次出现正面”，B =“第二次出现反面”，则有（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．()()()⋃=+P A B P A P B C ．A 与B 互斥D ．1()2P AB =3、（2020·江苏省南京外国语高三期末）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为811284、（2020·河北易县中学高三月考）某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.5、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A ．游客至多游览一个景点的概率14B ．()328P X == C ．()1424P X ==D ．()136E X =6、（2020届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13. （1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）。