12相互独立的随机变量

两个随机变量相互独立的充要条件是它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积。

设有两个随机变量 X 和 Y，它们的联合概率分布记为 P(X, Y)，边缘概率分布分别记为 P(X) 和P(Y)。

充分条件：如果 X 和 Y 相互独立，则它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积，即：
P(X, Y) = P(X) * P(Y)
这表示对于所有可能的 X 和 Y 的取值，联合概率等于各自边缘概率的乘积。

需要注意的是，当联合概率等于边缘概率的乘积时，并不一定说明 X 和 Y 是相互独立的。

这只是相互独立的充分条件。

在一些情况下，这个条件可能成立但 X 和 Y 仍然不是相互独立的。

另外，如果 X 和 Y 是离散型随机变量，那么可以通过条件概率来验证独立性。

具体来说，如果 P(X|Y) = P(X) 或者 P(Y|X) = P(Y) 成立，则表示 X 和 Y 是相互独立的。

总结起来，两个随机变量 X 和 Y 相互独立的充分条件是它们的
联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积，但这并不一定是必要条件。

钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）随机过程课后习题答案第⼀章第⼆题：已知⼀列⼀维分布{();1}n F x n ≥，试构造⼀个概率空间及其上的⼀个相互独⽴的随机变量序列{(,);1}n n ξ?≥使得(,)n ξ?的分布函数为()n F x 。

解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某⼀随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。

所以可以假设有相互独⽴的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-?=，则有(,)n ξ?为服从分布()n F x 的随机变量。

⼜由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ?≥之间相互独⽴，则其中任意有限个随机变量12(,), (,),...,(,)n i i i ξξξ的联合分布为：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ?≤?≤?≤=再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯⼀的概率测度P 使得：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ?≤?≤?≤=则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。

第⼋题：令{};1n X n ≥是⼀列相互独⽴且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。

⼜令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。

12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）2． 设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。

3． A .11--n S X μB .12--n S X μ4． C .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]5． 当2212)(11∑=--=i i X X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 6． =T nSX μ-7． A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 8． 而不是nSX T μ-=9． B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== 10． nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。

11． （1997年、数学三、填空）12．设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。

13．[答案：参数为（9）的（t ）分布]14．解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N 15．因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛9123i i Y 相互独立， 16． 因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。

第七周多维随机变量，独立性7.3随机变量的独立性随机变量的独立性定义.设n 维随机变量()n X X X X ,,,21 =的联合分布函数为()12,,,n F x x x ，()i X x F i 为i X 的边缘分布函数，如果对任意n 个实数n x x x ,,,21 有()()∏==ni i X n x F x x x F i 121,,, ，则称n X X X ,,,21 相互独立。

即()1122,,,n n P X x X x X x ≤≤≤ ()1ni i i P X x ==≤∏。

离散型等价定义：()()∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211,,, 连续型等价定义：()()121,,,i nn X i i f x x x f x ==∏ ***********************************************************************例7.3.1（例7.1.3）设二元随机变量(),X Y 的联合分布列为，，,X Y 是否独立？解：12~2313X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12~2313Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()41,1119P X Y P X P Y ====⋅==,()()()21,2129P X Y P X P Y ====⋅==,()()()22,1219P X Y P X P Y ====⋅==,()()()12,2229P X Y P X P Y ====⋅==所以随机变量X 和Y 相互独立。

***********************************************************************例7.3.2101~1/41/21/4X -⎛⎫ ⎪⎝⎭，01~1/21/2Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()10==XY P ，求(1)()Y X ,的联合分布列，(2)Y X ,是否独立解：()10==XY P ⇒()00=≠XY P ⇒()()01,11,1=====-=Y X P Y X P ()()2/12/14/112/104/1110\323122211211ji y Y P p p p p p p x X P Y X =-=12320,0p p ==⇒()()()01,111===≠=⋅-=Y X P Y P X P ，所以Y X ,不独立。

概率论与数理统计（B）试题及答案陕西科技⼤学2010级试题纸课程概率论与数理统计（B ）班级学号姓名1、A B C 表⽰随机事件,,A B C ⾄少有⼀个不发⽣. （）2、若()1P A =，则A 是必然事件. （）3、若2~(2,1),~(2,0.5)X N Y N －，则(0)0.5P X Y >=＋. （）4、X 为随机变量，当12x x <时，则有12()()P X x P X x >≤>.. ( )5、设(,)X Y 是⼆维正态随机变量，则随机变量X 与Y 独⽴的充要条件是cov(,)0X Y =. ..( )⼆、填空题（每⼩题3分，共15分） 1、设,A B 为随机事件，()0.6P A =，()0.4P B =，()0.8P A B = ,则()P B A = .2、在区间(0,1)上随机取两个数,x y ，则关于t 的⼀元⼆次⽅程220t xt y -+=有实根的概率为 .3、设随机变量~()X P λ,且3(0)P X e -==，21Y X =-,则()D Y = .4、设随机变量~(0,1),~(2,1)X N Y N ，且X ，Y 相互独⽴，设随机变量21Z X Y =-+，则Z ～ _ .5、设随机变量X~U[1,2]，由切⽐雪夫不等式可得32P X ?-≥≤??.三、选择题（每⼩题3分，共15分）1、对事件,A B ，下列命题中正确的是（）A 、若,AB 互斥，则,A B 也互斥. B 、若,A B 互斥,且()0,()0P A P B >>,则,A B 独⽴.C 、若,A B 不互斥，则,A B 也不互斥D 、若,A B 相互独⽴，则,A B 也相互独⽴. 2、设随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，则随σ的增⼤，概率(22)P X σ-<是（） A 、单调增加 B 、单调减⼩ C 、保持不变 D 、⽆法判断 3、设(,)F x y 为(,)X Y 的分布函数,则以下结论不成⽴的是（）A 、0(,)1F x y ≤≤B 、 (,)1F -∞+∞=C 、(,)0F -∞+∞=D 、 (,)0F -∞-∞=4、把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在⼀起的概率为（） A 、115B 、112C 、110D 、185、若121000,...X X X 是相互独⽴的随机变量，且(1,)(1,2,,1000)i X B p i = 则下列说法中不正确的是（）A 、1000111000i i X p =≈∑ B 、10001()()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑ C 、10001~(1000,)i i X B p =∑ D、10001()i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑四、（12分）设(,)X Y 的联合概率分布如下,求：①()()E X E Y 、②()E XY 、(,)COV X Y③Z X Y =+的概率分布.五、（10分）甲、⼄、丙三⼈同时独⽴地向某⽬标射击，命中率分别为0.3、0.2、0.5，⽬标被命中⼀发⽽被击毁的概率为0.2，⽬标被命中两发⽽被击毁的概率为0.6，⽬标被被命中三发则⼀定被击毁，求三⼈在⼀次射击中击毁⽬标的概率.六、（16分）设随机变量X 的概率密度为()2,100,10Ax f x x x ?>?=??≤?，求:①A ; ②(15)P x <; ③求X 的分布函数()F x ; ④设2Y X =,求Y 的概率密度.七、（16分）设⼆维随机变量()Y X ,的概率密度为()22,01,0,0,y e x y f x y -?≤≤>=??其它求:① (2)P Y X ≥; ②关于X 与Y 的边缘概率密度; ③X 与Y 是否独⽴？为什么？④(24)E X Y +.⼋、（6分）设X 与Y 相互独⽴，其分布函数分别为()X F x 、()Y F x .证明：随机变量X 与Y 的最⼤值max(,)U X Y =分布函数为()()X Y F u F u ?.2010级概率论与数理统计（B ）试题答案⼀、√； ×； ×； ×； √ ⼆、1/3； 1/3； 12；N(-1,5)； 1/6 三、D ； C ； B ； A ；B 四·(,)()()()5/144COV X Y E XY E X E Y =-=-…………………………2分五、解：设A ：甲击中；B ：⼄击中；C ：丙击中 i D ：击中i 发，(1,2,3)i =；E ：击毁⽬标1()()0.47P D P ABC ABC ABC =++= 2()()0.22P D P ABC ABC ABC =+++=3()()0.03P D P ABC ==………………………………………………5分31()()()0.470.20.220.60.0310.256i i i P E P D P E D ===?+?+?=∑…………………………5分5/12EX =…………………………2分1/12EY =…………………………2分②()0E XY =…………………………2分③……………………………4分六、①2101Adx x +∞=?，则A ＝10 ……………………………………………4分②1521010(15)1/3P x dx x <==?……………………………………………4分③ 10,()0x F x <=210101010,()()1xxx F x f x dx dx x x -∞≥===-?…………………………4分④20,()0Y y F y <=22101020,()()()2yY y y F y P Y y P X dxx ≥=≤=≤=?20,20()[()]20/,20Y Y y f y F y y y ≤?'==?>? ………………………………… 4分七、①412021(2)24yxe P Y x dx edy -+∞--≥==………………………………… 4分②1,01()(,)0,X x f x f x y dy +∞-∞≤≤?==?其它22,0()(,)0,0y Y e y f y f x y dx y -+∞-∞>==≤??…………………………… 4分③ X 与Y 独⽴. 因为(,)()()X Y f x y f x f y = …………………………… 4分④ 11(24)2424322E X Y EX EY +=+=?+?= ……………………… 4分⼋、证明：()()(max(,))(,)U F u P U u P X Y u P X u Y u =≤=≤=≤≤………… 3分()()()()X Y P X U P Y U F u F u =≤≤= ……………………… 3 分陕西科技⼤学2011级试题纸课程概率论与数理统计（B ）班级学号姓名1.设()1P AB =,则事件A 必然发⽣且事件B 必然不发⽣。

概率统计习题课⼀随机事件及其概率1. ,,A B C 为三个随机事件，事件“,,A B C 不同时发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C 都不发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C ⾄少发⽣两件”可表⽰为。

2．从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是，事件“其中⼀个数是另⼀个数的两倍”的概率是。

3. 有r 个球，随机地放在n 个盒⼦中(r n ≤)，则某指定的r 个盒⼦中各有⼀球的概率为_ __ __。

4．把3个球随机放⼊编号为1,2,3的三个盒⼦(每个盒⼦能容纳多个球)，则三个盒⼦各放⼊⼀球的概率是___________。

5. 设,A B 为随机事件，()0.7P A =, ()0.3P A B -=,则()P A B =__ ___。

6．事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣，且()0.1,()0.2,P A P B ==，则()P A B =____。

7. 盒中有6个⼤⼩相同的球，4个⿊球2个⽩球，甲⼄丙三⼈先后从盒中各任取⼀球，取后不放回，则⾄少有⼀⼈取到⽩球的概率为___________。

8. 甲⼄两个盒⼦，甲盒中有2个⽩球1个⿊球，⼄盒中有1个⽩球2个⿊球，从甲盒中任取⼀球放⼊⼄盒，再从⼄盒中任取⼀球，取出⽩球的概率是。

9．某球员进⾏投篮练习，设各次进球与否相互独⽴，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮⾄少投中⼀次的概率是，则他的投篮命中率是。

10. 将⼀枚硬币抛掷3次，观察出现正⾯（记为H ）还是反⾯（记为T ），事件A ={恰有⼀次出现正⾯}，B ={⾄少有⼀次出现正⾯}，以集合的形式写出试验的样本空间Ω和事件,A B ，并求(),(),()P A P B P A B11. 已知()0.1,()0.2P A P B ==，在下列两种情况下分别计算()P A B 和()P A B ：(1) 如果事件,A B 互不相容； (2) 如果事件,A B 相互独⽴。

12. 盒中有3个⿊球7个⽩球，从中任取⼀球，不放回，再任取⼀球，(1)若第⼀次取出的是⽩球，求第⼆次取出⽩球的概率 (2)两次都取出⽩球的概率 (3) 第⼆次取出⽩球的概率 (4) 若第⼆次取出的是⽩球，求第⼀次取出⽩球的概率。