12相互独立的随机变量
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两个随机变量相互独立的充要条件是它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积。
设有两个随机变量 X 和 Y,它们的联合概率分布记为 P(X, Y),边缘概率分布分别记为 P(X) 和P(Y)。
充分条件:如果 X 和 Y 相互独立,则它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积,即:
P(X, Y) = P(X) * P(Y)
这表示对于所有可能的 X 和 Y 的取值,联合概率等于各自边缘概率的乘积。
需要注意的是,当联合概率等于边缘概率的乘积时,并不一定说明 X 和 Y 是相互独立的。
这只是相互独立的充分条件。
在一些情况下,这个条件可能成立但 X 和 Y 仍然不是相互独立的。
另外,如果 X 和 Y 是离散型随机变量,那么可以通过条件概率来验证独立性。
具体来说,如果 P(X|Y) = P(X) 或者 P(Y|X) = P(Y) 成立,则表示 X 和 Y 是相互独立的。
总结起来,两个随机变量 X 和 Y 相互独立的充分条件是它们的
联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积,但这并不一定是必要条件。
钱敏平龚光鲁随机过程答案(部分)随机过程课后习题答案第⼀章第⼆题:已知⼀列⼀维分布{();1}n F x n ≥,试构造⼀个概率空间及其上的⼀个相互独⽴的随机变量序列{(,);1}n n ξ?≥使得(,)n ξ?的分布函数为()n F x 。
解:有引理:设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量,F(x)为某⼀随机变量的分布函数,且F(x)连续,那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。
所以可以假设有相互独⽴的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布,另有分布{()}n F x ,如果令1(,)()n n n F ξθ-?=,则有(,)n ξ?为服从分布()n F x 的随机变量。
⼜由假设条件可知,随机变量{(,),1}n n ξ?≥之间相互独⽴,则其中任意有限个随机变量12(,), (,),...,(,)n i i i ξξξ的联合分布为:11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ?≤?≤?≤=再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=,令F 为Ω所有柱集的σ代数,则由Kolmogorov 定理可知,存在F 上唯⼀的概率测度P 使得:11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ?≤?≤?≤=则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。
第⼋题:令{};1n X n ≥是⼀列相互独⽴且服从(0,1)N (正态分布)的随机变量。
⼜令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明:,;1n n F n ξ≥()是下鞅(参见23题)。
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1. (1994年、数学三、选择)2. 设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本,X 是样本均值,记22121)(11∑=--=i i X X n S ,22122)(1∑=-=i i X X n S ,22123)(11∑=--=i i X n S μ,22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T ( )。
3. A .11--n S X μB .12--n S X μ4. C .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案:选B ]5. 当2212)(11∑=--=i i X X n S 时,服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 6. =T nSX μ-7. A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=,111--=--=n S X n S X T μμ 8. 而不是nSX T μ-=9. B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== 10. nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
11. (1997年、数学三、填空)12.设随机变量Y X ,相互独立,均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本,则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为( )的()分布。
13.[答案:参数为(9)的(t )分布]14.解:由Y X ,相互独立,均服从)3,0(2N 分布,又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,,可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立,均服从分布)3,0(2N 15.因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ,)1,0(~9191N X X i i ∑==,)1,0(~3N Y i ,)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ,且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛9123i i Y 相互独立, 16. 因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
第七周多维随机变量,独立性7.3随机变量的独立性随机变量的独立性定义.设n 维随机变量()n X X X X ,,,21 =的联合分布函数为()12,,,n F x x x ,()i X x F i 为i X 的边缘分布函数,如果对任意n 个实数n x x x ,,,21 有()()∏==ni i X n x F x x x F i 121,,, ,则称n X X X ,,,21 相互独立。
即()1122,,,n n P X x X x X x ≤≤≤ ()1ni i i P X x ==≤∏。
离散型等价定义:()()∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211,,, 连续型等价定义:()()121,,,i nn X i i f x x x f x ==∏ ***********************************************************************例7.3.1(例7.1.3)设二元随机变量(),X Y 的联合分布列为,,,X Y 是否独立?解:12~2313X ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12~2313Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()41,1119P X Y P X P Y ====⋅==,()()()21,2129P X Y P X P Y ====⋅==,()()()22,1219P X Y P X P Y ====⋅==,()()()12,2229P X Y P X P Y ====⋅==所以随机变量X 和Y 相互独立。
***********************************************************************例7.3.2101~1/41/21/4X -⎛⎫ ⎪⎝⎭,01~1/21/2Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,若()10==XY P ,求(1)()Y X ,的联合分布列,(2)Y X ,是否独立解:()10==XY P ⇒()00=≠XY P ⇒()()01,11,1=====-=Y X P Y X P ()()2/12/14/112/104/1110\323122211211ji y Y P p p p p p p x X P Y X =-=12320,0p p ==⇒()()()01,111===≠=⋅-=Y X P Y P X P ,所以Y X ,不独立。