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§3.3随机变量的独立性随机变量的独立性我们可利用事件间的独立性的定义给出随机变量间的独立性之概念。
随机变量X 和Y 相互独立，如果对于任意有关X 的事件和有关Y 的事件都相互独，换言之，对于任意两个实数集I 和J ，有},{J Y I X P ∈∈}{}{J Y P I X P ∈∈= （1）理论上可证明（其证明超出了我们的知识范围）（1）式成立当且仅当对),(,+∞-∞∈∀y x ，有},{y Y x X P ≤≤}(){y Y P x X P ≤≤=.于是有以下定义。
定义 设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，两个边际分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ，如果),(,+∞-∞∈∀y x ，有),(y x F )()(y F x F Y X = （2）则称Y X ,相互独立。
当),(Y X 为离散随机向量时，独立的条件（2）等价于等式 }{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ===== (3)对所有的),(j i y x ),2,1,( =j i 成立。
当),(Y X 为连续随机向量时，独立的条件（2）等价于等式 )()(),(y f x f y x f Y X = (4)几乎处处成立。
例3.3.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x ， 则Y X ,相互独立的充要条件是0=λ。
例3.3.2 （续3.1.2）问X 与Y 是否相互独？对于离散随机向量),(Y X ，若说明X 与Y 不相互独立，则只需找一个数对),(j i y x ，使得}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ==≠==；若要说明X 与Y 相互独立，则需要验证，对),(Y X 所有可能取的数对),(j i y x ，都有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =====， 2,1,=j i 。
随机变量的相互独立性定义3.5 如果等式 对所有的 ()()(),X Y F x y F x F y = 成立, 那么称随机变量 与 相互独立. ,x y -∞<<+∞X Y 在离散型随机变量的情形, 定义等价于等式 ij i jp p p ⋅⋅=⨯定义等价于等式: ()()(),X Y f x y f x f y =在的一切公共连续点上成立. ()()(),,,X Y f x y f x f y 对任意的成立; 而在连续型随机变量的情形, ,1,2,i j =解 在上节课中已经求得易知对所有的连续点 , 成立 (),x y ()()(),X Y f x y f x f y =因此随机变量 是相互独立的.,X Y ()26,0,1,, 0,xy x y f x y ⎧<<=⎨⎩其余. ()2,01,0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其余. ()23,01,0,Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其余. 例1 给出 的联合分布 (),X Y 试判断的相互独立性. ,X Y()()2,,,, 0,xy x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其余.xy21G2xy =例2 给出 的联合分布 (),X Y 试判断的相互独立性. ,X Y()()2,,,, 0,xy x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其余.()3,02,40,X x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其余.()()241,01,0,Y y y y f y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其余. 取点 , 计算得 ,31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭327232X f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 13,22Y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭而 , 31331,22222X Y f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此 不独立. ,X Y 解 在上节课中已经求得例3 已知 相互独立, 并且都服从参数为1的指数分布,,X Y 试写出的联合密度函数. ,X Y ()e ,0,xX x f x -⎧>=⎨⎩其余.()e ,0,0,, 0,x yx y f x y --⎧>>⇒=⎨⎩其余.()e ,0,yY y f y -⎧>=⎨⎩其余.解 由题意及独立性定义即知定理3.7 设 , 那么 与 ()()221212,~,,,,ρX Y N μμσσX相互独立的充分必要条件是 Y ρ0.=必要性证明: 设随机变量 是相互独立的, 则等式,X Y 对所有的点 成立, 那么对(),x y ()()(),X Y f x y f x f y =也成立, 代入密度函数的表达式即有 12,x y μμ==()()()1212,X Y f f f μμμμ=211ρ01ρ=⇒=-()2121,2π1ρf x y σσ=-()()()()()22112222212122ρ121ρex x y y μμμμσσσσ⎡⎤----⎢⎥--+⎢⎥-⎣⎦⋅()()212111exp ,22πX x f x μσσ⎧⎫-⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭()()222221exp 22πY y f y μσσ⎧⎫-⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭反之令 , 考察联合密度函数的形式:ρ=0令 , 则有:12,x y μμ==()()()1212,X Y f f f μμμμ=充分性证明: 设 ,则联合密度函数可化简为 ρ0=对所有的 成立, 即证.(),x y ()()()221222121211,exp 2π2x y f x y μμσσσσ⎧⎫⎡⎤--⎪⎪=⋅-+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()221222121211exp exp 222π2πx y μμσσσσ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪=--⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭()()X Y f x f y =⋅谢谢。
