高一数学(必修1)专题复习三 指数函数和对数函数

高一数学（必修1）专题复习三

指数函数和对数函数

一．基础知识复习

（一）指数的运算：

1．实数指数幂的定义：

（1）正整数指数幂：annaaaa个（Ra）（2）零指数幂：10a（0a）

（3）负整数指数幂：nnaa1（0a）

（4）正分数指数幂：nmnmaa（1,,,0nNnma）

（5）负分数指数幂：nmnmaa1（（1,,,0nNnma．

2．指数的运算性质：

① yxyxaaa ② yxyxaaa ③ xyyxaa)( ④ xxxbaab)(

（二）对数的运算：

1．定义：如果aNaab()01且，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作Nbalog（a是底数，N是真数，logaN是对数式）．即：bNNaablog．

（1）由于Nab0，故logaN中N必须大于0

（2）当N为零和负数时对数不存在

（3）1的对数是零，01loga

（4）底数的对数等于1，1logaa

2．对数恒等式：（1）aNaNlog （2）babalog （3）mnaanmloglog

3．对数的运算法则：

① NMMNaaalogloglog ② NMNMaaalogloglog

③ NnNanaloglog ④ NnNanalog1log

4．对数换底公式：bNNaablogloglog．由换底公式推出一些常用的结论：

（1）loglogloglogababbaba11或· （2）ccbabalogloglog

（3）loglogamanbmnb （4）loglogananbb （5）logamnamn

（一）指数函数的图象和性质

1．xya(0a且1a)的定义域为R，值域为0,．

2．xya(0a且1a) 的单调性：

当1a时，xya在R上为增函数；

当01a时，xya在R上是减函数．

3．xya(0a且1a)的图像特征：

当1a时，图象像一撇，过点0,1，

且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴；

当01a时，图象像一捺，过点0,1，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴．

4．xya与xay的图象关于y轴对称．

（二）对数函数的图象和性质

1．)10(logaaxya且 的定义域为R，值域为R．

2．)10(logaaxya且的单调性：

当1a时，在,0单增，

当01a时，在,0单减．

3．)10(logaaxya且的图象特征：

当1a时，图象像一撇，过1,0点，在x轴上方a越大越靠近x轴；

当01a时，图象像一捺，过1,0点，在x轴上方a越小越靠近x轴．

4．balog的符号规律（同正异负法则）：

给定两个区间0,1和1,，若a与b的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a与b的范围分处两个区间，则对数值小于零．

5．logayx与xya1log的图像关于x轴对称．

6．指数函数xya与对数函数logayx互为反函数．

（1）互为反函数的图像关于直线xy对称 （2）互为反函数的定义域和值域相反

（3）一般地，函数)(xfy的反函数用)(1xfy表示，若点),(ba在)(xfy的图像上，则点),(ab在)(1xfy的图像上，即若baf)(，则abf)(1．

（4）求反函数的步骤：①反解，用y表示x； ②求原函数的值域； ③x与y互换，并标明定义域．

二．训练题目

（一）选择题

1．设0a，则23aaa（ ）

A．1112a B．712a C．65a D．67a 2．已知log2ax，log1bx，log4cx，则logabcx（ ）

A．47 B．27 C．72 D．74

3．若)3log4log4log3log()3log4(log3loglog433424349x，则x（ ）

A．4 B．16 C．256 D．81

4．如图为指数函数xxxxdycybyay)4(,)3(,)2(,)1(，

则dcba,,,与1的大小关系为（ ）

A．dcba1 B．cdab1

C．dcba1 D．cdba1

5．已知01a，loglog0aamn，则（ ）

A．1nm B．1mn C．1mn D．1nm

6．设cba,,均为正数，且aa21log2，bb21log21，cc2log21.则（ ）

A．cba B． abc C． bac D． cab

7．设函数()log()(0,1)afxxbaa的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则ab等于（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则（ ）

A．22()xfxexR B．)0(ln2ln)2(xxxf

C．22()xfxexR D．2lnln2(0)fxxx

9．已知函数3()2xfx，1()fx是()fx的反函数，若16mn（mn+R，），则11()()fmfn 的值为（ ）

A．2 B．1 C．4 D．10

10．若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则()fx（ ）

A．21xe B．2xe C．21xe D．22xe

（二）填空题

1．函数32)(12xaxf（1,0aa）的图象恒过定点 ．

2．函数)232(log2)(2xxxfa（1,0aa）的图象恒过定点 ．

3．设,0.(),0.xexgxlnxx则1(())2gg ____．

4．已知nymxaalog,log，则434logaxay ．

5．已知a10log3，b25log6，则用a、b表示45log4 ． （三）解答题

1．比较下列各组数的大小

（1）31)32(，32)31( （2）3.0log2，3.02，23.0 （4）212，313，616

2．计算：（1） 5lg2lg35lg2lg33 （2）8lg3136.0lg2113lg2lg2 、

3．化简： （1） 343233432xxxxxxx （2）111113131313132xxxxxxxx

4．求下列函数的值域

（1）xxy1123 （2）)32(log221xxy （3）xxxxeeeey

5．判断下列函数的奇偶性

（1）1313)21()(xxxf （2）2()lg(1)fxxx （3）11()212xfx

6．对于函数)32(log)(221axxxf，解答下述问题：

（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；

（3）若函数在),1[内有意义，求实数a的取值范围；

（4）若函数的值域为]1,(，求实数a的值．

7．（1）已知093109xx，求函数2)21(4)41(1xxy的最大值和最小值．

（2）设不等式09)(log9)(log25.025.0xx的解集为M，求当Mx时函数)8)(log2(log22xxy的最大和最小值．

8．已知)1(log)(xaaxf（1,0aa）