当前位置：文档之家 › 四点共圆例题及答案

四点共圆例题及答案

  • 格式：doc
  • 大小：110.50 KB
  • 文档页数：5

1 四点共圆的应用

知识点：

(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．

(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．

四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的．

一 用于证明两角相等

例1 如图1，已知P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交AB于E．求证：∠APC＝∠BPD．

证明 连结OA，OC，OD．由射影定理，得AE2=PE·EO，又AE＝BE，则AE·BE＝PE·EO……(1)；由相交弦定理，得AE·BE＝CE·DE……(2)；由(1)、(2)得CE·ED＝PE·EO，∴ P、C、O、D四点共圆，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠2=∠4．∴∠1＝∠3，易证∠APC＝∠BPD(∠4＝∠EDO)．

二 用于证明两条线段相筹

例2 如图2，从⊙O外一点P引切线PA、PB和割线PDC，从A点作弦AE平行于DC，连结BE交DC于F，求证：FC＝FD． 2

证明 连结AD、AF、EC、AB．∵PA切⊙O于A，则∠1＝∠2．∵AE∥CD，则∠2＝∠4．∴∠1=∠4，∴P、A、F、B四点共圆．∴∠5＝∠6，而∠5＝∠2=∠3，∴∠3＝∠6．∵AE∥CD，∴EC=AD，且∠ECF=∠ADF，∴△EFC≌△AFD，∴FC＝FD．

三 用于证明两直线平行

例3 如图3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B的两条三等分线交AD于E、G，交AC于F、H．求证：EH∥GC．

证明 连结EC．在△ABE和△ACE中，∵AE＝AE，AB=AC，∠BAE＝∠CAE，∴△AEB≌AEC，∴∠5＝∠1＝∠2，∴B、C、H、E四点共圆，∴∠6＝∠3．在△GEB和△GEC中，∵GE＝GE，∠BEG＝∠CEG，EB＝EC，∴△GEB≌△GEC，∴∠4=∠2＝∠3，∴∠4＝∠6．∴EH∥GC． 3 四 用于证明两直线垂直

证明 在△ABD和△BCE中，∵AB=BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE，则△ABD≌△BCE，∴∠ADB=∠BEC，∴P、D、C、E四点共圆．设DC的中点为O连结OE、DE．易证∠OEC＝60°，∠DEO＝30°∴∠DEC＝90°，于是∠DPC=90°，∴ CP⊥AD．

五 用于判定切线

例5 如图5，AB为半圆直径，P为半圆上一点，PC⊥AB于C，以AC为直径的圆交PA于D，以BC为直径的圆交PB于E，求证：DE是这两圆的公切线．

证明 连结DC、CE，易知∠PDC＝∠PEC＝90°，∴ P、D、C、E四点共圆，于是∠1=∠3，而∠3＋∠2＝90°，∠A＋∠2=90°，则∠1＝∠A，∴DE是圆ACD的切线．同理，DE是圆BCE的切线．因而DE为两圆的公切线

六 用于证明比例式

例6 AB、CD为⊙O中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于G，弦PA、PB分别交CD于E、F． 4

证明 如图6．连结BE、PG．∵BG切⊙O于B，则∠1=∠A．∵AB∥CD，则∠A＝∠2．于是∠1＝∠2，∴P、G、B、E四点共圆．由相交弦定理，得EF·FG=PF·FB．在⊙O中，由相交弦定理，得CF·FD=FP·FB．

七 用于证明平方式

例7 ABCD为圆内接四边形，一组对边AB和DC延长交于P点，另一组对边AD和BC延长交于Q点，从P、Q引这圆的两条切线，切点分别是E、F，(如图 7)求证：PQ2＝QF2＋PE2．

证明 作△DCQ的外接圆，交PQ于M，连结MC，∵∠1=∠2＝∠3，则P、B、C、M四点共圆．由圆幂定理得PE2＝PC·PD＝PM·PQ，QF2=QC·QB＝QM·QP，两式相加得PE2＋QF2＝PM·PQ＋ QM·QP=PQ(PM＋QM)＝PQ·PQ=PQ2

∴PQ2=PE2＋QF2．

八 用于解计算题

例8 如图8，△ABC的高AD的延长线交外接圆于H，以AD为直径作圆和AB、AC分别交于E、F点，EF交 AD于 G，若 AG=16cm，AH=25cm，求 AD的长．

解 连结DE、DF、BH．∵∠1=∠2＝∠C=∠H，∴B、E、G、H四点共圆．由圆幂定理，得AE·AB＝AG·AN．在△ABD中，∵∠ADB=90°，DE⊥AB，由射影定理，得AD2＝AE·AB，∴AD2＝AG·AH＝16×25＝400，∴AD=20cm．

九 用于证明三点共线 5

例9 如图9，D为△ABC外接圆上任意一点，E、F、G为D点到三边垂线的垂足，求证：E、F、G三点在一条直线上．

证明 连结EF、FG、BD、CD．∵∠BED=∠BFD=90°，则B、E、F、D四点共圆，∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4．

在△DBE和△DCG中，∵∠DEB＝∠DGC，∠DBE＝∠DCG，故∠1=∠4，易得∠2＝∠3，∴ E、F、G三点在一条直线上．

合集下载

【高中数学竞赛】四点共圆专题详解

【高中数学竞赛】四点共圆专题详解

1

四点共圆

四点共圆的定义

四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

证明四点共圆有下述一些基本方法：

【方法1】 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。

【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

【方法4】 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。

【方法5】 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．

【方法6】 根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。

【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。 2

【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。

上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．

一．某些知识的补充

1． 已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、 BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI

专题11 四点共圆模型(学生版)

专题11 四点共圆模型(学生版)

1专题11四点共圆模型

模型1：定点定长共圆模型

若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点

O为圆心、OA为半径的圆上．

模型2：对角互补共圆模型

2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

模型3：定弦定角共圆模型

若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个

端点共圆

如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D

四点在同一个圆上．解题策略

2【例1】．（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s

的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点

同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E．F运动时间为t秒．回答下列问题：

(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于45cm?

(2)如图2，在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说

明理由；

③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________

．经典例题

3【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，

△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，

则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）

（2）连接

AD、BC，若

AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.

①如图②，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）

圆锥曲线综合压轴,点轨迹、共线、四点共圆问题,含详细参考答案

圆锥曲线综合压轴,点轨迹、共线、四点共圆问题,含详细参考答案

圆锥曲线综合(一)

1.交轨法

2.三点共线

3.四点共圆

4.定值问题

典型例题

例1双曲线1

22

22



by

ax

的实轴为A

1A

2，点P是双曲线上的一个动点，引A

1Q⊥A

1P，A

2Q⊥A

2P，A

1Q与A

2Q

的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

例2抛物线)0(22

ppxy，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，

求P点轨迹方程.例3已知抛物线：xy42

焦点为F，过点K(-1，0)的直线l与C交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为

D，证明点F在直线BD上.

例4已知椭圆在焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx42

的焦点，离心率为

52

，过椭圆右焦点F

作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点M(m，0)是线段OF上的一个动点，且

ABMBMA)(，求m的取值范围.

(3)设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出

定点N的坐标，若不存在，请说明理由.例5已知O为坐标原点，F为椭圆C：1

22

2

y

x在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2的直线l与C

交于A、B两点，点P满足

0OPOBOA

(1)证明：点P在C上；

(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

例6设A、B是双曲线1

22

2

y

x上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点

(1)求直线AB的方程；

(2)如果线段AB的中垂线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？

例7已知椭圆1

42

2

y

x的左右两个顶点分别为A、B，曲线C是以A、B两点为顶点，离心离为5的双曲

线，设点P在第一象限且在曲线C上，直接AP与椭圆相交于另一点T.

(1)求曲线C的方程；

(2)设P、T两点的横坐标分别为x

1、x

2,证明：x

1x

2=1例8已知椭圆E:)0(1

22

22

ba

by

ax

的一个焦点为F

高考数学四点共圆问题练习专项讲解

高考数学四点共圆问题练习专项讲解

高考数学四点共圆问题练习专项讲解

一、解答题

1．已知直线:lyxm+＝交抛物线2:4Cyx=于,AB两点．

（1）设直线l与x轴的交点为T．若=2AT

TB，求实数m的值；

（2）若点,MN在抛物线C上，且关于直线l对称，求证：,,,ABMN四点共圆．

【答案】（1）8m＝－；（2）证明见解析．

【分析】

（1）设()()

1122,,,AxyBxy，直线方程代入抛物线方程后由判别式得m的范围，由韦达定理得1212,yyyy+，

再由向量的数乘可得122yy+＝0，结合韦达定理可得12,,yym值；

（2）设()()

3344,,,MxyNxy，由对称性得434yy=--，4342xmx=---．再由,MN在抛物线上，代入变

形得3y与m的关系，然后计算MAMB

，得MAMB⊥，

同理NANB⊥，得证四点共圆．

【详解】

解：由24yxm

yx=+

=得2440yym−+=．

设()()

1122,,,AxyBxy，

则12124,4yyyym+==．

因为直线l与C相交，

所以16160,m−=

得1m．

（1）由2ATTB

=，得1220yy+=，

所以240y+=，解得24,y=-

从而18y=，

因为124,yym=

所以432,m=-解得8m=-．

（2）设()()

3344,,,MxyNxy，

因为,MN两点关于直线yxm=+对称， 则4343

22

3443434

=1

44yyyy

yyxxyy−−

==

−+

−

解得434yy=--． 又4343

22yyxx

m++

=+ 于是33434

22yyxx

m−−++

=+

解得4342xmx=---．

又点N在抛物线上，

于是2

33()()4442ymx--=---．

因为2

334,yx=

所以2

3341640yym=+++，

于是13231323()()()()MAMxxxxyyyyB

=--+--

2222

3312

1323()()(-)(-)

4444yyyy