四点共圆的判定与性质

四点共圆的性质
四点共圆是一个几何性质，指的是一个平面上任意取四个点，如果这四个点共面且在同一个圆上，那么这四个点就满足四点共圆的性质。

四点共圆的性质是几何学中常见的定理之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。

四点共圆的充要条件
要证明四个点共圆，通常需要证明它们在同一个圆周上。

四点共圆的充要条件可以表述为：四个点共圆的充分必要条件是存在一个圆使得这四个点都在这个圆周上。

举例说明
举一个例子来说明四点共圆的性质。

假设有四个点A、B、C、D，它们共面且在同一个圆周上。

我们可以通过连结这四个点，构成四条弦，然后验证这四条弦是否有一个公共圆。

如果这四条弦有一个公共圆，那么就证明了这四个点共圆。

四点共圆的应用
四点共圆的性质在几何学中有广泛的应用。

在解决圆周问题和几何证明中，常常需要利用四点共圆的性质来简化问题或者证明。

另外，在工程和建筑等领域，四点共圆的性质也有重要的应用，例如在设计曲线和轨道时的定位和调整。

总结
四点共圆的性质是几何学中重要的定理，它描述了四个点在同一个圆周上的几何关系。

通过充分必要条件的分析和具体例子的讲解，我们可以更好地理解四点共圆的性质以及其在实际应用中的价值。

在学习几何学和解决实际问题时，我们可以灵活运用四点共圆的性质，提高问题的解决效率和准确性。

四点共圆在二维几何中，我们经常遇到一些有趣的现象和形状。

其中之一便是四点共圆。

当四个点都在同一个圆周上时，我们称它们是共圆的。

下面，我们将详细介绍四点共圆的性质和证明。

性质1：共圆定义四点共圆指的是四个点A、B、C、D可以构成一个圆，即这四个点都在同一个圆周上。

记这个圆为O，我们可以用如下方式表示四点共圆的条件：AB + CD = AC + BD共圆示意图共圆示意图性质2：共圆的判定判断四个点是否共圆的一种方法是通过计算它们的距离来判断。

具体而言，有如下定理：若四个点A、B、C、D的任意三点不共线，则ABCD四个点共圆的充要条件为：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)性质3：四边形共圆四边形ABCD是共圆的充要条件是，它的对角线交点E满足AB EC + BC EA =AC*EB。

这说明，当四个点A、B、C、D能够构成一个四边形，且满足这个等式时，它们就是共圆的。

性质4：垂直弦交点当ABCD四点共圆时，圆心为O，连接两点的弦AD和BC垂直，交点为M。

那么，我们可以得出以下结论：AM * MC = BM * MD证明接下来，我们将对性质2进行证明。

假设四个点A、B、C、D的任意三点不共线。

首先，我们构造三角形ADC，以及四边形ABCD的两条对角线，连接点A和C，以及点B和D。

根据余弦定理，我们可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)同理，我们可以得到：BD^2 = AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC)进一步地，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = (AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)) * (AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC))展开上式，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * AB^2 + AD^2 * CD^2 + CD^2 * AB^2 + CD^4 - 2 * AD * AB * CD^2 * cos(∠BAC) - 2 * AD^2 * CD * cos(∠ADC) - 2 * AB^2 * CD * cos(∠BAC) + 4 * AB * AD * CD^2 * cos(∠BAC) * cos(∠ADC) - 2 * AB * AD * CD^2 * cos(∠ADC) *cos(∠BAC)我们可以观察到一些项可以进行合并和简化，最终得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)由此可见，当AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)成立时，四个点A、B、C、D共圆。

四点共圆的性质、判定及应用一、四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

1、四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

2、四点共圆的判定方法：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆(或其一个外角等于其邻补角的内对角⇔四点共圆)． 判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD ⋅BP =PC ⋅AP ⇔四点共圆． 判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD ⋅PC =PB ⋅PA ⇔四点共圆． 判定定理6：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上⇔四点共圆． 判定定理7：四点到某一定点的距离都相等⇔四点共圆．二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD ⋅AC=BC ⋅AD+CD ⋅AB ． 托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――1．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：B 、E 、F 、C 四点共圆．2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是AC 、AB 边上的高，∠A ＝60°. 求证：BC ED 21=3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ．求证：AD · BE ＝BC · DC ．4．已知：如图所示，P 为等边三角形ABC 的外接圆的上任意一点．求证：P A ＝PB + PC ．A D C BE5．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989 cm 2．P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，PA ∶PB ＝5∶14．则PB ＝______.．6．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠B ，△ABD 的外接圆和BC 交于E ．求证：AD ＝EC ．7．已知：梯形 ABCD 中，AD ＝BC ，AB ∥CD ．求证：BD 2＝BC 2＋AB · CD ．8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，那么AC 的长等于______.9．在△ABC 中，∠A 的内角平分线AD 交外接圆于D ．连结BD ．求证：AD · BC ＝BD · (AB + AC )．10．如图，AD 、BC 为过圆的直径AB 两端点的弦，且BD 与AC 相交于E 。

四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C BAD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP OQ =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。

四点共圆的性质、判定及应用（一）柳州市龙城中学 谭兵一、四点共圆的概念：二、四点共圆的性质： （1（2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

三、四点共圆的判定方法：判定方法1：四点到某一定点的距离都相等 四点共圆．判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上 四点共圆． 判定方法3：若凸四边形的对角互补 四个顶点共圆判定方法4：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角 判定方法5：共斜边的两个直角三角形 四个顶点共圆，且斜边为直径判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧 四个顶点共圆． 判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于P ，若PD⋅BP =PC ⋅AP 四个顶点共圆．判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于PD ⋅PC =PB ⋅PA 四个顶点共圆若四边形ABCD 内接于圆 BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB ．此四边形必内接于圆。

若BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB 四边形ABCD 内接于圆．―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ．求证：AD · BE ＝BC · DC ．D ED C A D CA6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．性质1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．判定*5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989 cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求PB判定．A B7．已知：梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB ·CD．托勒密定理DC9．在△ABC 中，∠A 的内角平分线AD 交外接圆于D ．连结BD,CD ．求证：)． 托勒密*8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，求AC 的长.**10．如图，AD 、BC 为过圆的直径AB 两端点的弦，且BD 与AC 相交于E 。

四点共圆专题（圆内接四边形）展开全文2018中考数学1.四点共圆概概念：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

2.四点共圆性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

3.四点共圆判定：（1）若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆；（2）把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

中考应用：习题：（1）四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD和∠BCD的度数。

（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且PA∥DB，求证：PD·BC＝AB·AD（3）如图，已知半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm 的弦，当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是否为定值？如果不是，说明理由；如果是，求出这个定角的正弦值。

（4）如图3，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧上的两点，∠D＝115°，则∠CAB的度数为（）（5）如图4，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F的度数为（）（6）如图8，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，且∠C＝2∠A，则BD＝________.（7）如图11，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD＋∠OCD的度数．（8）如图12，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．求证：(1)∠DCF＝∠DAB；(2)OE＝1/2CD。

四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质： (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； (2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角。

以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

判定定理折叠方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆)(2011全国)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

解(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =-+,代入2212y x +=并化简得242210x x --= 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则122626,44x x -+==， 1212121221,,2()2124x x x x y y x x +==-+=-++= 由题意得3123122(),()12x x x y y y =-+=-=-+=-，所以点P 的坐标为2(,1)2--. 经验证点P 的坐标2(,1)2--满足方程2212y x +=，故点P 在椭圆C 上 …6分(II)解法一【圆的定义】由P 2(1)-和题设知Q 2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x = ① 设AB 的中点为M ，则21)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为214y x =+ ② 由①、②得1l 、2l 的交点为21(,)88N -于是22221311||()(1)2888NP =-++--=, 22132||1(2)||2AB x x =+--=，32||4AM =， 22221133||()()4828MN =++-=22311||||||NA AM MN =+=||||NP NA =， 又||||NP NQ =，||||NA NB =，于是||||||||NA NP NB NQ ===,由此可知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …12分 解法二【对角互补】由(1)知2613,)42A ，22(,1),(,1)22P Q ，于是 13311122221226226244244AP AQ K K ，因此，90PAQ ，由轴对称可知90PQB 由对角互补，可知,,,A P B Q 四点共圆。

四点共圆的证明的所有方法证明：“四点共圆”的概念是指四个点在同一个圆上。

下面将介绍六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。

方法一：通过圆的定义证明1.过给定的四个点中任意三个点相互连接得到三条线段。

2.如果这三条线段的两个线段互相垂直，则可以得出结论：它们共同交于同一个圆心，因此四个点在一个圆上。

方法二：通过圆锥曲线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。

2.将直径完全平分，将A、B两点之间的弦平分。

3.如果C、D两点相等于刚才的这两个点之间的任意一点，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。

方法三：通过三角形内角平分线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，选择其中任意两个点A、B，并通过这两个点画出一个与直线CD平行的线段DE。

2.根据三角形的内角平分线性质，线段DE将角ADC与角BDC平分成两个相等的角。

3.如果这两个相等的角的顶点分别为A和B，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。

方法四：通过周重圆定理证明1.给定四个点A、B、C、D。

2.假设AB与CD相交于点E，并假设AC与BD相交于点F。

3.如果EF垂直于CD，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。

方法五：通过正交变换证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。

2.进行适当的正交变换，将这个圆形变换为一个单位圆，使得A点位于单位圆的正上方并成为圆心，B点位于单位圆的负下方。

3.如果C、D两点与单位圆有相同的距离，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。

方法六：通过托勒密定理证明1.给定四个点A、B、C、D，假设B、D两点在圆内，且BD为这个圆的直径。

2.根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD。

3.如果AB×CD+AD×BC=AC×BD成立，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。

综上所述，我们介绍了六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。

通过不同的几何定理和性质，可以找到不同的路径来达到证明的目的。

高中四点共圆知识点高中数学中，圆是一个非常重要的几何形状。

而在圆的相关知识点中，有一个特殊的性质叫做四点共圆。

本文将逐步介绍四点共圆的定义、性质以及相关解题方法。

定义四点共圆，顾名思义就是四个点共同位于同一个圆上。

形式化的定义是：对于给定的四个点A、B、C、D，如果这四个点都位于同一个圆上，那么我们就说它们四点共圆。

性质四点共圆的性质有很多，下面将介绍其中一些重要的性质。

性质1：共圆四点与圆心的关系设四点共圆的圆为O，那么O就是这个圆的圆心。

也就是说，如果四个点A、B、C、D共圆，那么它们都位于圆O上，并且O是这个圆的圆心。

性质2：共圆四点所确定的圆唯一如果四个点A、B、C、D共圆，那么它们所确定的圆是唯一的。

也就是说，不存在其他的圆可以同时包含这四个点。

性质3：四点共圆的充分必要条件四个点A、B、C、D共圆的充分必要条件是：ABCD四条弦的中垂线共点。

也就是说，如果四条弦的中垂线交于一点，那么这四个点必定共圆。

性质4：四点共圆的推论根据四点共圆的定义和性质，我们可以得到一些推论。

例如，如果一个三角形的三个顶点和三角形外接圆的圆心共圆，那么这个三角形是直角三角形。

解题方法在解决与四点共圆相关的问题时，我们可以运用以下方法：方法1：利用垂心定理垂心定理是指：对于一个三角形ABC，它的三条高线交于一点H，那么H就是这个三角形的垂心。

在解题中，我们可以使用垂心定理来判断四个点是否共圆。

方法2：利用勾股定理勾股定理是指：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

当我们已知一个三角形是直角三角形时，可以利用勾股定理来判断四个点是否共圆。

方法3：利用向量运算在二维平面上，我们可以使用向量运算来判断四个点是否共圆。

具体方法是，计算任意三个点所确定的两条向量，然后判断这两条向量是否垂直。

如果垂直，则四个点共圆。

总结四点共圆是高中数学中重要的几何概念之一。

通过了解四点共圆的定义、性质以及解题方法，我们可以更好地理解和应用这一知识点。

四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD。

例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。

解答：归纳法。

我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。

n=1，n=2很轻松。

当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。

我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。

假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。

假设直径为r（整数）。

找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。

把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。

这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。

于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。

（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。