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九年级数学四点共圆例题讲解
知识点、重点、难点
四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。
在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。
、、、＝＝＝OCOB四个点到定点DO 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A的距离相等，即BOAC、、、D四点共圆．，那么ACB OD 由此，我们立即可以得出
1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。
将上述判定推广到一般情况，得：
2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。
运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：
正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。
其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是：
、、、D四点共圆。B =CE·ED，则AC· 1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交
于E，且AEEB、、、BPD，则APA，且·PB =PC 2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB·PD上各有一点A、C
、D四点共圆。C
3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=
AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。
另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。
例题精讲
、、、、、、、、、、F四点共圆，上。已知PPDAC1例：如图，P为△ABC内一点，DEEF分别在BCECAAB、、、
F四点共圆。D 四点共圆，求证：BP
、、、、、=
BDPDFC证明连PD四点共圆，所以∠PE．由于PFP、、、= ．于是∠BDPPEC =．又由于AE ∠PAFPF四点共圆，所以∠PEC∠、、、PB∠AFP，故四点共圆。DF
、、、、的对称点共CDDA，证明：点ACBD互相垂直，垂足为EE关于ABBC的对角线：设凸四边形例2ABCD 圆。
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1、、、、AB在DABC的对称点变为CD 证明以E为相似中心作相似变换，相似比为E，此变换把E关于AB
2、、、、、S（如图）.只需证明RBCPQRSCD是圆内接四边形。DA上的射影P Q、、、、P都是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角为直角），由EPBQEEQCR及由于四边形ESAPERDS、Q共圆有∠EPQ =
B、、R共圆有∠ERQ=∠ECQ，于是∠EPQ＋∠ERQ = ∠EBQ＋∠ECQ=90°E∠EBQ.由、Q.C 同理可得∠EPS＋∠ERS =90°.从而有∠SPQ＋∠QRS =180°，故PQRS是圆内接四边形。
例3：梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K位于这两个圆之外，证明：由点K向这两个圆所作的切线长度相等。
、、、AMB.与相应二圆的第二个交点分别为M由于∠的两腰为AB和CD，并设ACNBDABCD 证明如图，设梯形、、、四点共圆，MCNB = 90°．从而∠BMC =∠BNC=90°，故∠CND是半圆上的圆周角，所以∠AM B=∠CND、、、.·KD·KAN = DKNA四点共圆，因此．又∠ACB =∠KAD，所以∠MNK =∠KAD.于是MKM因此∠MNK=∠ACB K向两已知圆所引的切线相等。由切割线定理得、、.
=ACOA，求证：DHAC⊥BD垂直于直径EF，例4：如图，ABHB为半圆O上的任意两点，、、，所⊥OAEF、ABBHOB.由于BD 在BD上取一点A'，使A'D = AC，则ACDA'是矩形。连结A'H ⊥证法一、B于是D，∠BHO=90°.以∠BDO =、、、、∠=ABH四点共圆。故∠A'DA'HAHB ∠HDB.由于∠=∠AA'B = 90H°，所以O四点共圆，所以∠HOB =. AC，故DH = A'H.所以DH=DA'∠而OA = OB，所以∠OBA=OAB，于是∠DHA'=∠DOAB，因此∠DHA'=∠OBA.
、、、=HBD)，则∠AOC=∠H作HG⊥DH，与圆O'为点证法二设圆O'D交于BG(H如图O四点所共的圆，过.
OA，GD = OB = ∠DGH . ，故DH = AC因此Rt△OAC≌Rt△GDH、、、，利用正弦定义及正弦定理，AOCRt△B的斜边为HOAO四点共圆，且直径为OB证法三因为D．而DHAC.,OBOA??. ，所以DH = AC得OB，∠AOC=∠DBHOA由于=
DBH?AOCsin?sin
、为直径的N，以为直径的圆与AB边的高线CC'及其延长线交于MAC例5：如图，已知锐角三角形ABC，以AB、、、、证：NQMP圆与AC边的高线BB'及其延长线交于P四点共圆。Q，
求
同理=MH×HN.在以ABC的垂心为H，则A'AB为直径的圆上，从而AH×HA'上的高为证明设BCAA'，△、四点共圆。、QH×HQ，故MN、P=PHAH×HA'=×HQ.于是MH×HN P
2∽△ACC'，有AC'·AB·=中，AM' AC'·AB，AP= AB'AC.又△ABB'△△说明另证：在RtABM和RtACP22、、因AC对称，故AM=ANAP=AQ.，．但，即．于是=AB'·ACAM= APAM =APM 关于NAB对称，PQ关于、、、在以Q此MANP为圆心的圆上。、、推出×=×=×=×也可由MHHNBHHB'CHHC'PHHQMNPQ四点共圆。、
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OOH、、垂心分别是和、P，△PAB与△PCD例6：如图，ABCD是圆内接四边形，AD的外心、BC的延长线交于121HOOHH、、，求证：、21212四点共圆。
BP HOH以所外心，是△PCD的.＋∠ABP = 90°又证明因为垂是△PAB的心，所以因为
