四点共圆例题及答案

四点共圆精选习题及答案作为一种古老而神秘的数学理论，圆形一直是数学家们探究和研究的对象之一。

而在圆形领域中，四点共圆更是一个受到广泛关注和深入研究的问题。

四点共圆是指在平面上给出任意四个点，能否通过一个圆将这四个点完美地围起来。

今天我们精选了几个四点共圆的习题，希望能给大家带来一些启示。

题目一：已知在平面直角坐标系中，四点 A(0,0)，B(0,2)，C(4,0)，D(x,y)。

若四点在同一圆上，则点 D 的坐标为多少？解题思路：根据四点共圆基本知识，可以列出以下方程组：(x-2)²+y²=r²x²+(y-2)²=r²(x-4)²+y²=r²x²+y²=r²将方程组联立，消去 r，最终得到 x²+y²=5²，即点 D 的坐标为(3,4)或(−3,4)。

题目二：在平面直角坐标系中，四个点 A，B，C，D 分别为(7,0)，(0,7)，(−7,0) 和(0,−7)。

请证明：四点共圆。

解题思路：根据四点共圆定理，四个点共圆当且仅当它们构成的任意三角形的外接圆都存在。

可得三个三角形 ABC、ACD 和ABD 的外接圆都是以原点为圆心的半径为7 的圆，因此四点 A、B、C、D 构成的圆也一定存在。

题目三：在平面直角坐标系中，四点 A，B，C，D 分别为(−3,4)，(−4,−3)，(4,−3) 和(−1,−2)。

请计算过点 C 的直径的长度。

解题思路：通过计算可以知道，连接点 C 和其他三个点构成的三角形外接圆的圆心坐标分别为(−1,−1)、(−1,0) 和 (0,1)，因此过点 C 的直径所在的直线应为直线 y=x-1。

可得直线 y=x-1 与直线x=4、直线x=−3 和直线y=−3 的交点分别为 (4, 3)、(−3,−4) 和(0,−1)，因此该直径的长度为√145。

【例2】⑶设圆内接四边形ABCD，AB、DC延长交于E， AD、BC延长交于F，EF中点为G，AG与圆交于 K，求证：C、 E、F、K四点共圆。
有关垂心、外心、内心的基本性质：
1．如图，若H是△ABC的垂心，则 ∠BAC＋∠EHF＝180°， ∠ABC＋∠DHF＝180°， ∠ACB＋∠DHE＝180°。
【例1】⑶在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠ADE，∠AEC＝ ∠ADB， 求证：∠BAC＝∠DAE。
【例2】⑴如图，锐角△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB 上的高线，DG⊥CE于 G，EF⊥BD于F。求证： FG∥BC。
1
【例2】⑵如图，四边形ABCD和A1B1C1D1都是正方形，A与 A1重合。证明：BB1、CC1、DD1共点。
3
【例3】⑷如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的 内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内 心是I3。
【例3】求证： ①A2、I1、I2、A3四点共圆。
【例3】求证： ②∠I1 I2 I3 ＝90°。
4
四点共圆(二)
【例1】⑴⊙O、⊙O′相交相交于A、B，过A作两圆间的割线 CAD，若CO、DO′的交点为E，由E作CD的垂线EF 与BA的延长线相交于点F，求证： C、E、B、D、F 四五点共圆。
【例1】⑵C、D是以AB为直径的半圆上的两点，∠AOC＝90° ，P在直径AB上，且∠OCP＝∠ODP＝10°，求 ∠BOD。
2．如图，若O是△ABC的外心，则 ∠BOC＝2∠BAC， ∠AOB＝2∠ACB， ∠AOC＝2∠ABC。
2
3．如图，若I是△ABC的内心，则Leabharlann BIC90

1 2
BAC，

∴DG＝CG﹣CD＝ ＝ ，
在 Rt△ADG 中，由勾股定理得
＝
＝
，
∴
＝
＝
．
故答案为：6，
．
【变式 1-5】如图，AB⊥BC，AB＝5，点 E、F 分别是线段 AB、射线 BC 上的动 点，以 EF 为斜边向上作等腰 Rt△DEF，∠D＝90°，连接 AD，则 AD 的最 小值为 ．
【答案】 ． 【解答】解：连接 BD 并延长，如图，
模型解读：
模型 1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则 A、B、C、D 四点共圆 模型 2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则 A、B、C、D 四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC 与 BD 交于点 E,必有∠AEB=∠AOB； ③点 E 在△OAB 的外接圆上,即 O、A、B、E 四点共圆.同理：ODCE 也四点共圆.
∴S△ABC＝
＝
＝300 km2．
则当△ADC 的面积最大时，四边形 ABCD 的面积最大．
当 AD＝CD 时，DF 最大，此时四边形 ABCD 的面积最大．
在 Rt△ACE 中，AC＝
＝10 km，AF＝ AC＝5
km，
∵∠ADF＝
＝30°，
∴DF＝ AF＝5 km，
∴S△ADC＝
Hale Waihona Puke ＝＝925 km2．
C．15
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，
∴A、E、D、F 四点共圆，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴DE＝DF＝6，

24.24专题6：四点共圆一．【知识要点】 四点共圆模型：（1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（如图1）；（2）共斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（如图2,3）；（3）对角互补的四边形四个顶点共圆（如图4）；（4）共底边且在同侧的两个三角形顶角相等（如图5）。

二．【经典例题】1．已知OA=OB=OC=2，且∠ACB=45°，则AB 的长为（ ） A.2 B.3 C.22 D.322.如图所示，矩形ABCD 的边AB=3，Rt △BEF 的直角顶点E 在对角线AC 上，另一顶点F 在边CD 上，若△BEF 的一个锐角为30°，则BC 的长是（ ） A.3 B.33 C.333或 D.63.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB下方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD.4.如图，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，AE⊥EF交∠BCD的外角平分线于F，求证：AE=EF.5.如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限。

其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12厘米，（1）若OB=6厘米，①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离. （2）点C与点O的距离的最大值是多少厘米？6．（绵阳2015年第25题本题满分14分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG = AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN = HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．7.如图，菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E和点F分别是BC和CD上一动点，且∠EOF+∠BCD＝180°，∠ABC＝60°，连接EF．（1）求△OEF是什么特殊的三角形？（2）若AB=2，求CE+CF的长；三．【题库】【A】1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB下方,AD⊥BD,求∠BDC的度数.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,AD⊥BD,求∠BDC的度数.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,∠ADC=135°,求证:AD⊥BD.5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为△ABC外一点，且∠CEA=45°.求证：AE⊥BE.6.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）A．B．C．D．【B】1．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M 在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝a﹣；③△ABM≌△NGF；＝a2+b2；④S四边形AMFN⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的序号为．【C】1．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．【D】1.如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠AOC＝40°，P在直径AB上，且∠OCP＝∠ODP＝10°，则∠BOD的度数为（）．A.20°B.30°C.25°D.15°2.正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2．P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，P A ：PB ＝5：14．则PB 的长为（ ）． A.42cm B.40cm C.35cm D.50cm3.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．若AC ＝6，BC ＝8，则的最大值为（ ）A ．B ．C. D ．4.如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，P 和C 不重合，连接AP ，AP 的垂直平分线交BD 于点G ，交AP 于点E ，在P 点由B 点到C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是（ ）A ．变大B ．先变大后变小C ．先变小后变大D ．不变5. 如图，ABC ∆中，45B ∠=︒，75C ∠=︒，4AB =，D 为BC 上一动点，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．5D ．6。