利用导数解参数范围的八种策略讲解

导数解参数问题的八种策略

策略一：分离变量法

所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.

解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求a的范围：

结论一、 不等式()()fxga恒成立min()()fxga（求解()fx的最小值）；不等式()()fxga恒成立max()()fxga（求解()fx的最大值）.

结论二、 不等式()()fxga存在解max()()fxga（求解()fx的最大值）；不等式()()fxga存在解min()()fxga（即求解()fx的最小值）.

案例1、（2009福建卷）若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.

分析：)0(12)(xxaxxf

依题意方程120axx在0,内有解，即)0,()0(212axxa

案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2fxxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（ ）

A. [1,) B. (1,) C. (,1] D. (,1)

分析：由题意可知02)(xbxxf，在(1,)x上恒成立，

即1)1()2(2xxxb在(1,)x上恒成立，由于1x，所以1b，

案例3、（2008广东卷）设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（ ）

A．3a B．3a C．13a D．13a

分析：'()3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即'()30axfxae有正根。当有'()30axfxae成立时,显然有0a,此时13ln()xaa，

由0x得3a.

案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()fxaxxxR，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，则实数a的值为

解：当0x，则不论a取何值，0fx显然成立；

当10x时，3()310fxaxx可化为，2331axx

令2331gxxx，则'4312xgxx，

所以gx 在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，

因此max142gxg，从而4a；

当01x时，3()310fxaxx可化为2331axx，'4312xgxx0

gx 在区间1,0上单调递增，因此ma14ngxg，从而4a，

综上4a

分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。

案例5、（2005湖北卷）已知向量a=(2x,1x)，a=(x1,t)，若baxf•)(在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.

解析：由向量的数量积定义，)(xf=2x(x1)+(1x)t=3x+2x+tx+t

∴)(xf=23x+x2+t.

若)(xf在区间(-1,1)上是增函数，则有)(xf≥0

t≥23x-x2在 (-1,1)上恒成立.

若令)(xg=23x-x2=-3(31x)2-31

在区间[-1,1]上，max)(xg=)1(g=5，故在区间(-1,1)上使t≥)(xg恒成立，

只需t≥)1(g即可，即t≥5.

即t的取值范围是[5，∞）.

利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体

现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。

案例6、已知函数lg2afxxx，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。

解：根据题意得：21axx在2,x上恒成立，

即：23axx在2,x上恒成立，

设23fxxx，则23924fxx

当2x时，max2fx 所以2a

案例7、已知,1x时，不等式21240xxaa恒成立，求a的取值范围。

解：令2xt，,1x 0,2t 所以原不等式可化为：221taat，

要使上式在0,2t上恒成立，只须求出21tftt在0,2t上的最小值即可。

22211111124tfttttt 11,2t

min324ftf 234aa 1322a

策略二：主次元变换法

案例1、.（2009北京卷）设函数()(0)kxfxxek（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若函数()fx在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.

分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）（Ⅱ）题略，对于题（Ⅲ），若借助（Ⅱ）的结论入手，须分1111kk或两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。

（Ⅲ）解：由题意上恒成立在)1,1(0)1()(xekxxfkx

即上恒成立在)1,1(01xkx

∴110110)1(1kkkk

又0k

∴k的取值范围是1,00,1.

本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k的讨论，简化了问题的求解。

案例2、若不等式2211xmx对满足2m的所有m都成立，求x的取值范围。

解：设2121fmmxx，对满足2m的m，0fm恒成立，

2221210202021210xxffxx 解得：171322x

策略三、极值法

有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。

案例1.（07全国卷二）已知函数3()fxxx．

（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa

解：（1）略23(31)2ytxt．

（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．

若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．

当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：

t (0)， 0 (0)a， a ()a，

()gt  0  0 

()gt 增函数 极大值ab 减函数 极小值()bfa 增函数

如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，

即32()23gttatab=0有三个相异的实数根，

则有0()0.abbfa，即 ()abfa．

本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性

案例2、（2009陕西卷）已知函数3()31,0fxxaxa 求()fx的单调区间；

若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

解析：（1）略

（2）因为()fx在1x处取得极大值，

所以'2(1)3(1)30,1.faa

所以3'2()31,()33,fxxxfxx

由'()0fx解得121,1xx。

由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，

在1x处取得极小值(1)3f。

因为直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，

由()fx的单调性可知，)1,3(m

案例3.（2008四川卷）．已知x=3函数f(x)=a ln(1+x)+x2-10x的一个极值点。

（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。

分析：（Ⅰ） （Ⅱ）略

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调增加，且当1x或3x时，'0fx

所以fx的极大值为116ln29f，极小值为332ln221f

因此21616101616ln291ff

213211213fef

所以在fx的三个单调区间1,1,1,3,3,直线yb有yfx的图象各有一个交点，当且仅当31fbf

因此，b的取值范围为32ln221,16ln29。

充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。

策略四、零点法

案例1、（2009浙江文）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb (,)abR．

（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；

（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．

解析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）)2()1(23)(2aaxaxxf

函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于

导函数)(xf在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数)(xf在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有