3.3三角函数的积化和差与和差化积知识梳理1.积化和差公式 sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］; cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］; cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］; sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. 特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.2.和差化积公式 sinx+siny=2sin2y x +cos 2y x -; sinx-siny=2cos 2y x +sin 2y x -; cosx+cosy=2cos 2y x +cos 2y x -; cosx-cosy=-2sin 2y x +sin 2y x -. 3.常用到的三角恒等变换 f(x)=asinx+bcosx=22b a +sin(x+θ)(ab≠0)，其中tanθ=ab ,由a 和b 的符号确定θ所在的象限.知识导学复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.疑难突破1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.(1)积化和差公式的推导∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，②∴①+②，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，即sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］. ①-②得sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ， 即cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］. ∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，③cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，④∴③+④得cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ.即cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］. ③-④得cos (α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ， 即sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. (2)和差化积公式的推导令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-， 代入sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］, 得sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=21［sin(2ϕθ++2ϕθ-)+sin(2ϕθ+-2ϕθ-)］， ∴sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=21(sinθ+sinφ). 整理得sinθ+sinφ=2sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-. 同理可得sinθ-sinφ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-； cosθ+cosφ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-； cosθ-cosφ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-. 2.和差化积与积化和差公式有什么作用？剖析:难点是推导出了公式，但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点，还要依赖于平时经验的积累.可从以下几方面来理解这两组公式：(1)这些公式都是指三角函数值间的关系而言，并不是指角的关系；(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差，才能直接应用公式化为积的形式.如sinα+cosβ就不能直接化积，应先化成同名函数后，再用公式化成积的形式；(3)三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，则因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式就起什么作用.积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此,“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式,往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.。
3.3三角函数的积化和差与和差化积预习课本P149～151，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？(2)两组公式有何特点？[新知初探]1．三角函数的积化和差cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．[点睛] 积化和差公式的结构特点(1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差． (2)角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后． 2．三角函数的和差化积 sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y2cos x －y2， sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2， cos x ＋cos y ＝2cosx ＋y2cosx －y2，cos x －cos y ＝－2sinx ＋y2sinx －y2.[点睛] 和差化积公式的特点 (1)同名函数的和或差才可化积． (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积． (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积．(4)等式左边为单角α和β，等式右边为α－β2与α＋β2的形式．(5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正．[小试身手]1．下列等式错误的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin BC ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos BD ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cos B 答案：D2．sin 37.5°cos 7.5°等于( ) A.2＋12 B.3＋22 C.2＋14D.3＋24答案：C3．cos 75°cos 15°＝________. 答案：14化简求值[典例] 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． [解] 原式＝2sin θ[2sin(60°－θ)·sin(60°＋θ)] ＝－2sin θ[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θ·cos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ.用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．[活学活用]求sin 270°＋cos 240°－sin 70°cos 40°的值．解：原式＝1－cos 140°2＋1＋cos 80°2－sin 70°cos 40°＝1＋12(cos 40°＋cos 80°)－sin 70°cos 40°＝1＋cos 60°cos 20°－12(sin 110°＋sin 30°)＝1＋12cos 20°－12cos 20°－14＝34.三角恒等式证明[典例] 在△ABC 中，求证：sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝4sin A sin B sin C . [证明] 左边＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2sin 2A ＋2B 2 cos 2A －2B2＋sin 2C＝2sin(A ＋B )cos(A －B )－2sin(A ＋B )cos(A ＋B ) ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin C ·(－2)sinA －B ＋A ＋B2sinA －B －A ＋B2＝4sin A sin B sin C ＝右边． 所以原等式成立．三角恒等式的证明(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值． (2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．(3)证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、变更论证等． [活学活用]求证：cos 2x ＋cos 2(x ＋α)－2cos αcos x cos(x ＋α)＝sin 2α. 证明：左边＝1＋cos 2x 2＋1＋x ＋2α2－2cos αcos x ·cos(x ＋α)＝1＋12[cos 2x ＋cos(2x ＋2α)]－2cos αcos x cos(x ＋α)＝1＋cos 2x ＋2x ＋2α2cos 2x －2x －2α2－cos α[cos(2x ＋α)＋cos α]＝1＋cos(2x ＋α)cos α－cos αcos(2x ＋α)－cos 2α ＝1－cos 2α＝sin 2α＝右边， ∴原等式成立．层级一 学业水平达标1．cos 15° sin 105°＝( ) A.34＋12 B.34－12 C.32＋1 D.32－1 解析：选 A cos 15°sin 105°＝12[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝12[sin120°－sin(－90°)]＝12×32＋12×1＝34＋12.2．化简cos α－cos 3αsin 3α－sin α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2α C.1tan αD.1tan 2α解析：选B 原式＝－2sin 2α－α2cos 2α·sin α＝tan 2α.3．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－x2的最大值等于( )A ．2sin 2α2 B ．－2sin 2α2 C ．2cos2α2D ．－2cos2α2解析：选A f (x )＝2sin x 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－x2＝－[cos α－cos(x －α)] ＝cos(x －α)－cos α. 当cos(x －α)＝1时，f (x )取得最大值1－cos α＝2sin 2α2.4．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是( ) A ．－sin(x ＋y )sin(x －y ) B ．cos(x ＋y )cos(x －y ) C ．sin(x ＋y )cos(x －y ) D ．－cos(x ＋y )sin(x －y )解析：选B cos 2x －sin 2y ＝1＋cos 2x 2－1－cos 2y2＝12(cos 2x ＋cos 2y ) ＝cos(x ＋y )cos(x －y )．5．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( ) A ．－m B ．m C ．－m 2D.m2解析：选A ∵cos 2α－cos 2β＝m ，∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m .6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________． 解析：cos 2α－cos 3α＝－2sin 2α＋3α2sin 2α－3α2＝－2sin 5α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α2＝2sin 5α2sin α2.答案：2sin 5α2sin α27．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋β化为和差的结果是________．解析：原式＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＋sin ()α－β＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 答案：12cos(α＋β)＋12sin(α－β)8.sin 35°＋sin 25°cos 35°＋cos 25°＝________.解析：原式＝2sin 35°＋25°2cos35°－25°22cos 35°＋25°2cos35°－25°2＝cos 5°3cos 5°＝33.答案：339．求下列各式的值： (1)sin 54°－si n 18°；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°. 解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18° ＝2·2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝2sin 36°cos 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝cos 18°2cos 18°＝12.(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73° ＝2cos 120°cos 26°＋2×12(cos 120°＋cos 26°)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×cos 26°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋cos 26° ＝－cos 26°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋cos 26°＝－12.10．求证：1＋cos α＋cos 2α＋cos 3α2cos 2α＋cos α－1＝2cos α.证明：因为左边＝＋cos 2α＋α＋cos 3α2α－＋cos α＝2cos 2α＋2cos 2αcos αcos 2α＋cos α＝2cos αα＋cos 2αcos α＋cos 2α＝2cos α＝右边，所以原等式成立．层级二 应试能力达标1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( ) A.14 B.32 C.12D.34解析：选A 原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin50°－14＋12cos 40°＝14.2．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析：选C ∵y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－sin 2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12sin 2x ，∴此函数是最小正周期为π的奇函数．3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A ．－23B ．－13C.23D.13解析：选 D cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β＝13.4．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．[0,1]解析：选C ∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ，∴cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2B 2＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －2π3＋1，∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －2π3≤1， ∴12≤－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －2π3＋1≤32.5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期T ＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34，∴T ＝2π2＝π.答案：π6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.解析：cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝12＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝12＋cos 80°－cos 80°＝12. 答案：127．已知f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2cos θcos x cos(x ＋θ)＋cos 2θ，求f (x )的最大值、最小值和最小正周期．解：∵f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2×12[cos(x ＋θ)＋cos(x －θ)]cos(x ＋θ)＋cos 2θ＝cos 2(x ＋θ)－cos 2(x ＋θ)－cos(x －θ)·cos(x ＋θ)＋cos 2θ ＝cos 2θ－12(cos 2θ＋cos 2x )＝1＋cos 2θ2－12cos 2θ－12cos 2x ＝－12cos 2x ＋12，∴f (x )的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cos A ＋1cos C ＝－2cos B .求cosA －C2的值．解：∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵－2cos 60°＝－22，∴1cos A ＋1cos C＝－22， ∴cos A ＋cos C ＝－22cos A cos C . 由和差化积与积化和差公式，得2cosA ＋C2cosA －C2＝－2[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]，∴cosA －C2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2cos 2A －C 2－1. 化简，得42cos 2A －C2＋2cosA －C2－32＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2cosA －C2－2⎝⎛⎭⎪⎫22cosA －C2＋3＝0.∵22cos A －C2＋3≠0，∴2cos A －C2－2＝0， ∴cosA －C2＝22.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝2cos 2x2＋1的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析：选B ∵y ＝2cos 2x 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1＋2＝cos x ＋2，∴函数的最小正周期T ＝2π.2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 3．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值是( )A.210 B ．－210C.7210D ．－7210解析：选A 由题意，sin α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210.4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：选B f (x )＝sin x －⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π6－sin x sin π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∵x ∈R ，∴x －π6∈R ，∴f (x )∈[]－3，3. 5．设a ＝22(sin 17°＋co s 17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析：选A a ＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17° ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin(37°＋23°)＝sin 60°，故c <a <b .6．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2θ等于( ) A ．－429B ．－79C.429D.79解析：选C ∵cos θ＝13>0，θ∈(0，π)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝223，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋2θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝sin 2θ＝2sin θ·cos θ ＝2×223×13＝429，选C.7．化简：cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选B 依题意得cos 20°1－cos 40°cos 50°＝cos 20°2sin 220°cos 50°＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22sin 40°sin 40°＝22.8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255解析：选A 由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，故sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55. 9．化简：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.10．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中，tanA ＋B2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B2cosA ＋B2，∴2cos2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．11．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值为( )A ．－2 B.12 C.43D.12或－2 解析：选A 根据题意得tan α＋tan β＝－4a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a －3a ＝43.又∵a >1，∴tan α＋tan β<0，tan αtan β>0， ∴tan α<0，tan β<0.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴－π2<α＋β2<0，∴tan α＋β2<0，由tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2得2tan2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0， ∴tan α＋β2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋β2＝12舍去.12．已知0<β<α<π2，点P (1,43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＋cosαcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝3314，则角β＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D ∵P (1,43)，∴|OP |＝7， ∴sin α＝437，cos α＝17.又sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1314，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. ∵0<β<π2，∴β＝π3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin θ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ，13，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则θ＝________.解析：若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin 2θ＝1，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π4.答案：π414．若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22.答案：2215.3tan 12°－3212°－＝________.解析：原式＝3· sin 12°cos 12°－3212°－＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23－2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 答案：－4 316．式子“cos( )(1＋3tan 10°)＝1”，在括号里填上一个锐角，使得此式成立，则所填锐角为________．解析：设cos α·(1＋3tan 10°)＝1，则cos α＝11＋3tan 10°＝cos 10°cos 10°＋3sin 10°＝cos 10°2sin 40°＝sin 80°2sin 40°＝cos 40°.又α为锐角，故α＝40°. 答案：40°三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知π6＜α＜π2，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值．解：因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝817.所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝83＋1534， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝153－834.18．(本小题满分12分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 解：(1)由0<α<π2，sin α＝45，得cos α＝35，∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.19．(本小题满分12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取f (x )的最大值为1， 所以f (x )的最大值为32.20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解：(1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.21．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32.∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－277×32＋217×12＝－2114.(2)∵π4<α＋β2<3π4，∴sin α＋β2＝1－cos2α＋β2＝5714. ∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5311.22．(本小题满分12分)(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥n )．(1)(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值．解：(1)(cos α，sin α)，n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥n )，∴m n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255，⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210， ∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22.。
