023八年级上数学上三角形与全等三角形 二

D
B
E
C
随堂练习
• 3、如图△ABD≌△CDB，若AB=4， AD=5，BD=6，求△CDB的周长.
A D
B
C
随堂练习
• 4、如图△ABD≌△EBC，AB=3cm， AC=8cm，求DE的长.
D E
A
B
C
知识小结
• • • • • 1、全等三角形的概念： 2、全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等． 3、注意字母位置的对应.
• 2、若△ABD≌△ACD，对应 边是___________________， 对应角是_______________； • 3、若△ABC≌△CDA，对应 B 边是___________________， 对应角是_______________.
C
A
D
O B
A
D B
A
C
D
C
例题解答
• 例1、△ABC≌△DEF，AB=DE， AC=DF，BC=EF. 写出所有对应角相等 的式子.
随堂练习
• 1、如图，已知△ABC≌△ADE， ∠C=∠E，BC=DE，其它的对应边有： _________________,对应角有： ____________________. A
E
B
D
C
随堂练习
• 2、如图，已知△ABC≌ △ADE，若 ∠D= ∠B，∠C= ∠AED，则 ∠DAE=___________； A ∠DAB=___________.
B E
• 解：∠A=∠EDF，
• • ∠B=∠E，
A D C F
∠BCA=∠EFD
• 对应边所对的角是对应角.
例题解答

基基础础巩巩固固
能力提升
核心素养
-10-
第3课时 利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
8.如图,课间小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两张 凳子之间(凳子与地面垂直).已知DC＝a,CE＝b,则两张凳子 的高度之和为 a＋b .
基基础础巩巩固固
能力提升
核心素养
-11-
第3课时 利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
∴△ABC≌△DCB(ASA),∴AB＝DC.
基基础础巩巩固固
能力提升
核心素养
-5-
第3课时 利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
知识点2 三角形全等的判定方法(AAS) 4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,D是AB上的一点,DM⊥AB,且DM ＝AC,过点M作ME∥BC交AB于点E,则△ACB≌△MDE , 判定依据是 AAS(答案不唯一) .(用字母表示)
-8-
第3课时 利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
解:∵AB∥DE,∴∠ABC＝∠DEF.
∠ABC＝∠DEF, 在△ABC 和△DEF 中, ∠A＝∠D,
AC＝DF,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴BC＝EF,∴EC＝BF＝3 m,
∴FC＝10－3－3＝4(m).
基基础础巩巩固固
能力提升
第3课时 利用两角一边判定三角形全 等(ASA,AAS)
第3课时 利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)
限时:15分钟
知识点1 三角形全等的判定方法(ASA)
1.如图,已知∠1＝∠2,则不一定能使△ABC≌△ABD的条件
是( B )
A.AC＝AD
B.BC＝BDC.∠C＝∠来自 D.∠3＝∠4第1题图

千里之行，始于足下。

八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
1. 什么是全等三角形？
- 全等三角形指的是两个三角形的对应边长相等，对应角度也相等的三角形。

2. 全等三角形的性质和判定方法有哪些？
- 全等三角形的性质包括：对应边长相等，对应角度相等，对应线段相等，对应角平分线相等。

- 判定两个三角形全等的方法有：SSS 判定法（边边边）、SAS 判定法
（边角边）、ASA 判定法（角边角）和 HL 判定法（斜边直角边）。

3. 全等三角形的基本性质有哪些？
- 对应的边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长相等。

- 对应的角度相等：若两个三角形全等，则它们的对应角度相等。

- 对应的线段相等：若两个三角形的对应边相等，它们的对应线段（如中线、高线、角平分线等）也相等。

4. 如何应用全等三角形解题？
- 利用全等三角形的性质可以在图形中推导出其他线段和角度的长度或关系，从而解决各种三角形的问题。

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锲而不舍，金石可镂。

- 典型的应用包括求角度的大小、线段长度的关系、面积的比较等。

5. 如何证明两个三角形全等？
- 根据要证明的条件选择合适的判定方法（SSS、SAS、ASA 或 HL）。

- 使用已知条件和全等三角形的性质，逐步推导出两个三角形的对应边长和对应角度相等。

- 利用已知条件的等式和全等三角形的性质，一步一步证明两个三角形全等。

注意：以上为八年级数学上册《全等三角形》的知识点梳理，具体内容可能与教材有所差异，建议参考教材进行学习。

第02讲全等三角形1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.一、全等三角形1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2.三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．3.三角形对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．二、全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.题型一：全等三角形概念【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．例2．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）关于全等三角形，下列说法正确的是（）A．大小相等的三角形是全等三角形B．面积相等的三角形是全等三角形C．三个角对应相等的三角形是全等三角形D．两个三角形全等，它们的形状一定相同【答案】D【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键．例3．（2021秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．【答案】85【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案．【答案】15【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有图中有()12n n＋个全等三角形，进而即可求解．【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有(1)2n n个全等三角形．∴第5个图形中有全等三角形的对数是：(5+1)×5=152．故答案为：15．【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．题型二：全等三角形性质例5.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，（1）求DE的长．（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据DE=BD ﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．【答案与解析】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，∴DE=BD﹣BE=3cm；（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键．【变式】下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】C；提示：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选C．例6、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.【思路点拨】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；（3）运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数x是比较常用的解题思路.【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN 等于（）A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4【答案】D；提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，则3x＋5x＋10x＝18x＝180°，x＝10°.又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠ABC＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.一．选择题（共10小题）1．（2022秋•亭湖区期中）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝2，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．2．（北塘区期中）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，则DF长为（）A．5B．8C．5或8D．7【分析】根据三角形全等的性质可得DF＝AC，再利用已知条件可求得AC的长，可得出答案．【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，∴AC＝7，∵△ABC≌△DEF，∴DF＝AC＝7，故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．3．（常熟市校级期中）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键，难度适中．4．（2022秋•云龙区校级月考）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据全等三角形性质求出EF＝BC＝5cm，求出CF，代入EF﹣CF即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝5cm，∵BF＝7cm，BC＝5cm，∴CF＝7cm﹣5cm＝2cm，∴EC＝EF﹣CF＝3cm，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，关键是求出BC和CF的长，注意：全等三角形的对应边相等．5．（2022秋•涟水县期中）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE ＝1，CD＝3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．4D．6【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝3，∴BC＝CE＝1，∴BD＝BC+CD＝3+1＝4，故选：C．【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．6．（2022秋•灌南县校级月考）如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（）A．FC＝BD B．EF平行且等于ABC．AC平行且等于DE D．CD＝ED【分析】利用全等三角形的性质进行推理即可．【解答】解：A、∵△ABC≌△EFD，∴FD＝CB，∴FD﹣CD＝BC﹣CD，即FC＝BD，故此选项不合题意；B、∵△ABC≌△EFD，∴∠F＝∠B，EF＝AB，∴EF∥AB，故此选项不合题意；C、∵△ABC≌△EFD，∴∠FDE＝∠BCA，∴AC∥DE，AC＝DE，故此选项不合题意；D、不能证明CD＝ED，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．7．（2021秋•仪征市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30B．27C．35D．40【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．8．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：①AM平分∠BMN②∠CMN＝∠BAM③∠MAC＝∠MNC其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质及角的和差求解即可．【解答】解：∵△ABC≌△AMN，∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN，∴∠ABM＝∠AMB，∴∠AMB＝∠AMN，∴AM平分∠BMN，故①正确，符合题意；∵△ABC≅△AMN，∴∠ABC＝∠AMN，∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM，∴∠CMN＝∠BAM，故②正确，符合题意；∵△ABC≅△AMN，∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM，∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB，∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB，∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC，∴∠MAC＝∠MNC故③正确，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．9．（2022秋•滨海县期中）如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则CD的长度为（）A．9B．6C．3D．2【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AC和AD的长，然后根据CD＝AC﹣AD，代入数据计算即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，AE＝3，AB＝6，∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝6，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3，故选：C．【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2022秋•海安市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝50°．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．二．填空题（共5小题）11．（2022秋•启东市期末）如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为127°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAC＝23°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝127°，∵△ABC≌△ADC，∴∠ACD＝∠ACB＝127°，故答案为：127°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．（2022秋•溧水区期末）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB＝5，BC ＝4，AC＝3．【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC的周长，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，∴△ABC的周长为12，又AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键．13．（2022秋•常州期末）如图，△ABC≌△EDF，则AC的长为4．【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△EDF，∴BC＝DF＝3，∵AC2+BC2＝AB2，AB＝5，∴．故答案为：4．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质及勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．14．（2022秋•宜兴市月考）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于180°．【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，∵三个三角形全等，∴∠4+∠9+∠6＝180°，又∵∠5+∠7+∠8＝180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：180°．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．15．（2021秋•射阳县校级期末）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是5．【分析】先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．【解答】解：∵BE＝4，AE＝1，∴AB＝BE+AE＝4+1＝5，∵△ABC≌△DEF，∴DE＝AB＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解题的关键．三．解答题（共13小题）16．（2022秋•淮安区期中）如图，△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，求DF的长．【分析】根据△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，可以得到AD的长，然后根据DF＝AD﹣AF，代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，∴AE＝AF，AD＝AC，∵AC＝11，AF＝5，∴AD＝11，∴DF＝AD﹣AF＝11﹣5＝6．【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．（2022秋•扬州期中）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝45°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝5，求BF的长．【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∠B＝45°，∴∠D＝∠B＝45°，∵∠DCF＝25°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝5，∴BE＝（10﹣5）÷2＝，∴BF＝BE+EF＝．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．18．（2022秋•江都区月考）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，求∠E的度数．【分析】根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，根据三角形的外角性质求出∠DCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∴∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，∵∠CGF＝88°，∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°，∵CD平分∠BCA，∴∠ACB＝2∠DCB＝116°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∴∠E＝∠B＝34°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．19．（2022秋•姜堰区月考）如图，△ABC≌△DBE，点A、D、C在同一条直线上，且∠A ＝60°，∠C＝35°，求∠DBC的度数．【分析】由△ABC≌△DBE，推出AB＝BD，推出∠A＝∠BDA＝60°，再根据∠BDA＝∠C+∠DBC，求出∠DBC即可．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴AB＝BD，∴∠A＝∠BDA＝60°，∵∠BDA＝∠C+∠DBC，∠C＝35°，∴∠DBC＝60°﹣35°＝25°，故∠DBC的度数为25°．【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（2022秋•崇川区期中）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：（1）∠1的度数．（2）AC的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可；（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝27°，∴∠E＝∠F＝27°，∵∠1＝∠B+∠E，∠B＝33°，∴∠1＝60°；（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，∴AD＝BC＝5cm，∵CD＝2cm，∴AC＝AD+CD＝7cm．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．21．（2022秋•京口区校级月考）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案．【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．22．（2022秋•东台市月考）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，∴∠BAD＝∠DCF，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CDF＝90°，∴CE⊥AB；（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解决问题的关键．23．（2022秋•邗江区期中）如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．【分析】根据全等三角形的性质可得BO＝DO，AO＝CO，进一步可证△BOF≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质可得BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，根据平行线的判定可得BF∥ED．【解答】解：FB＝ED，FB∥ED，理由如下：∵△ABO≌△CDO，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AF＝CE，∴OF＝OE，在△BOF和△DOE中，，∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，∴BF∥ED，∴FB＝ED，FB∥ED．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．24．（2022秋•句容市期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，∵∠ABC＝85°，∴∠DEB＝85°，∴∠AED＝95°，∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．25．（2022秋•盐都区月考）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；（2）当∠AED＝90°时，DE∥BC，根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，求出∠DEC ＝∠C，再根据平行线的判定得出即可．即可．【解答】（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC；（2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC，证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，∴∠C＝∠DEC．∴DE∥BC，即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．26．（2022秋•鼓楼区期中）已知：如图，△ABC≌△DCB，AC、DB相交于点E．求证：AE＝DE．【分析】由△ABC≌△DCB，得出∠A＝∠D，AB＝DC，再利用对顶角∠AOB＝∠DOC，证得结论成立．【解答】证明：∵△ABC≌△DCB，∴∠A＝∠D，AB＝DC，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS）．∴AE＝DE．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，注意边角关系的对应．27．（2022秋•溧水区期中）如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD．【分析】（1）要证OA＝OB，由等角对等边需证∠CAB＝∠DBA，由已知△ABC≌△BAD 即可证．（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB＝∠ACD，由已知和（1）可证∠OCD＝∠ODC，又因为∠AOB＝∠COD，所以可证∠CAB＝∠ACD，即AB∥CD获证．【解答】证明：（1）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA，∴OA＝OB．（2）∵△ABC≌△BAD，∴AC＝BD，又∵OA＝OB，∴AC﹣OA＝BD﹣OB，即：OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝∠COD，∠CAB＝，∠ACD＝，∴∠CAB＝∠ACD，∴AB∥CD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质及平行线的性质．解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来．28．（2022秋•靖江市月考）如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB ＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝×110°＝55°．∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．【点评】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）下列结论中正确的有（）①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形周长相等；④全等三角形面积相等．⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A【分析】根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：①全等三角形对应边相等，此结论正确；②全等三角形对应角相等，此结论正确；③全等三角形周长相等，此结论正确；④全等三角形面积相等，此结论正确；⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，此结论正确，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，全等三角形的周长相等，面积相等，解题的关键是牢记性质．2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，ABC DEF ≌△△，点A 与D ，B 与E 分别是对应顶点，且测得5cm =BC ，7cm BF =，则EC 长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm【答案】C 【分析】根据全等三角形性质求出5cm EF BC ==，求出CF ，代入EF CF -即可求出答案．【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，∴5cm EF BC ==，∵7cm BF =，5cm =BC ，∴752CF cm cm cm =-=，A ．50︒B ．58︒【答案】B 【分析】1∠的对应角为B ∠，根据三角形的内角和计算出【详解】解：如图，由三角形内角和定理得到18050B ∠=︒-︒ 图中的两个三角形全等，∴158B ∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形全等的性质，解决本题的关键是找到对应角．4．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，则ABC ∠的度数为（）A ．102︒B ．92︒【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出D ∠=根据三角形内角和定理求出即可．A ．30︒【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到30D A ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质求出性质求E ∠即可．【详解】解：∵CD 平分∴12ACD BCD ∠=∠=∠∵ABC DEF ≌△△，∴30D A ∠=∠=︒，B ∠∵CGF D BCD ∠=∠+∠∴BCD CGF D ∠=∠-∠∴116BCA ∠=︒，∴18030116B ∠=︒-︒-∴34E B ∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、6．（2022秋·八年级课时练习）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等其中正确的结论个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据全等三角形的判定及性质逐一判断即可．【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等；①正确，②全等三角形的对应边相等、对应角相等；②正确，③面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故③错误，④全等三角形的周长相等，④正确，∴①②④正确，故答案为：C ．【点睛】全等三角形的判定及性质，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．7．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知ABC DEF ≌△△，且7040A B ∠=︒∠=︒，，则F ∠的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出70ACB ∠=︒，再由全等三角形的性质即可得到70F ACB ==︒∠∠．【详解】解：∵7040A B ∠=︒∠=︒，，∴18070ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒，∵ABC DEF ≌△△，∴70F ACB ==︒∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．8．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，已知CAD CBE ≌，若2060A C ∠=︒∠=︒，，则CEB ∠的度数为（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C 【分析】在CAD 中，根据三角形内角和定理求出CDA ∠的度数，再根据“全等三角形对应角相等”可得CEB ∠的度数.【详解】CAD 中2060A C ∠=︒∠=︒，180CDA A C∴∠=︒-∠-∠1802060=︒-︒-︒100=︒CAD CBE≅ 100CEB CDA ∴∠=∠=︒（全等三角形对应角相等）故选:C【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.9．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（）A ．两个面积相等的图形，一定是全等图形B ．两个等边三角形是全等图形C ．两个全等图形的面积一定相等D ．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【答案】C【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：A 、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A 错误；B 、两个等边三角形不一定是全等图形，故B 错误；C 、两个全等图形的面积一定相等，正确；D 、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟记全等图形的判定和性质进行判断．10．（2022秋·八年级课时练习）如图，Rt ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到DEF ，下列结论错误的是（）A ．ABC ≌DEFB ．90DEF ∠=︒C ．BE EC =D ．D A∠=∠【答案】C 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．【详解】解：A 、Rt ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到DEF ，则ABC ≌DEF 成立，故正确，不符合题意；B 、DEF 为直角三角形，则90DEF ∠=︒成立，故正确，不符合题意；C 、BE EC =不能成立，故错误，符合题意；D 、D A ∠=∠为对应角，正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二、填空题11．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）已知,ABC DEF ABC ≌ 的周长为24cm ，若10cm,8cm,AB EF AC ===_______cm ．【答案】6【分析】根据全等三角形的性质可得8cm BC EF ==，即可求解．【详解】解∶∵ABC DEF ≌△△，8cmEF =∴8cm BC EF ==，∵ABC 的周长为24cm ，∴24cm AB BC AC ++=，∵10cm AB =，∴10824cm AC ++=，∴6cm AC =．故答案为：6【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．12．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）已知ABC 三边的长分别为3，5，7，DEF 三边的长分别为3，7，21x -，若这两个三角形全等，则x =______．【答案】3【分析】利用全等的性质列式计算即可．【详解】解：∵ABC 与DEF 全等，∴215x -=，解得：3x =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．13．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知ABC DEF ≅△△，40A ∠=︒，则D ∠=________︒．【答案】40【分析】直接根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：∵ABC DEF≅△△∴40D A ∠=∠=︒．故答案为40．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．14．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图，4520PAC PBD A BPD ∠=︒∠=︒≌，， ，则PDC ∠的度数为_____．【答案】65︒/65度【分析】先根据全等三角形，得到45B ∠=︒，然后根据外角定理得到PDC ∠的度数．【详解】∵PAC PBD ≌ ，45A ∠=︒，∴45B ∠=︒，∵20BPD ∠=︒，∴PDC B BPD∠=∠+∠4520=︒+︒65=︒，故答案为：65︒．【点睛】本题是全等三角形与三角形外角定理结合的题型，能够找到角的关系是解决本题的关键．15．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，ABC ADE △≌△，若75B ∠=︒，25C ∠=︒，20DAC ∠=︒，则EAC ∠的度数为______°．。